Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết
Chương 14
3/13/2015
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM 1
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
2. Phương trình Lagrange II
NỘI DUNG
1. Phương trình tổng quát động lưc học
1. Phương trình tổng quát động lực học
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Phương trình tổng quát động lực học



1
0
N
kx k k k ky k k k kz k k k
k
Fmxx Fmy y Fmzz




  
Từ phương trình tổng quát động lực học, ta biểu diễn theo hệ tọa
độ suy rộng đầy đủ và độc lập tuyến tính
Phương trình Lagrange II

1
0
N
kkkk
k
FmW r


11
rr
iii
ii
ii
dT TqQq
dt q q












i
ii
dT T
Q
dt q q



Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết
Chương 14
3/13/2015
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM 2
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Trường hợp các lực có thế
0
ii
dL L
dt q q





Nếu tất cả các lực tác dụng lên hệ là các lực có thế, thì áp dụng
công thức sau
LT
Hàm L của các tọa độ suy rộng và vận tốc suy rộng bằng hiệu giữa
động năng và thế năng của hệ, được gọi là hàm Lagrange hay hàm
thế. Khi đó phương trình Lagrange của các lực có thế có dạng:
Đây là hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. Số lượng
phương trình bằng đúng số bậc tự do của hệ.
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Ví dụ Không kể đến ma sát, viết phương trình chuyển động của hệ bao
gồm thanh AB đồng chất chiều dài l, trọng lượng P và có thể qua quanh
trục A trên mặt phẳng thẳng đứng. Viên bi M trọng lượng Q chuyển động
trên thanh. Chiều dài tự nhiên của lò xo AM là l0, độ cứng bằng k.
Q
B
A
P
0
l
x
1
2
q
qx
Chọn tọa độ suy rộng
10
sin ( )sin
2
Pl
QQlx

2cosQQ kx

Lực suy rộng
Phương trình Lagrange II
i
ii
dT T
Q
dt q q





Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết
Chương 14
3/13/2015
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM 3
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
AB M
TT T
Tính động năng của hệ
Thanh AB qua quanh A cố định
2
1
2
AB A
TJ
22
11
23
Pl
g
22
1
6
Pl
g
M chuyển động trượt tương đối trên thanh AB và chuyển
động kéo theo của M là quay quanh A
r
M
V
B
A
a
M
V
e
M
V
M
2
1
2
M
M
Q
TV
g
are
M
MMM
VVVV
  

Với
22
2rere
M
MMMM
VV V VV
 
22 cos
rere
MMMM
VVVV

22
re
MM
VV

22
0
()xlx

22 22
0
()
M
Vxlx

222
0
1(( ))
2
Qxlx
g

(Hoặc dùng Pitago để tính)
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
22 2 2 2
0
11
(( ))
62
AB M
PQ
TT T l x l x
gg


Phương trình Lagrange II i
ii
dT T
Q
dt q q





Tính các đạo hàm theo tọa độ suy rộng thứ nhất
22
0
1
1()
3
TT P Q
llx
qgg


 
1
11
2
22
dT T
Q
dt q q
dT T
Q
dt q q












22
00
1
12( ) ( )
3
dT P Q Q
llxxlx
dt q g g g





 
1
0
TT
q

22
00 0
12( ) ( ) sin ( )sin
32
PQ Q Pl
llxxlx Qlx
gg g


 
Phương trình vi phân chuyển động thứ nhất
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết
Chương 14
3/13/2015
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM 4
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Tính các đạo hàm theo tọa độ suy rộng thứ hai
2
TTQ
x
qxg




1
dT Q
x
dt q g





2
0
2
()
TTQ
lx
qxg


2
0
() cos
QQ
x
lx Q kx
gg



Phương trình vi phân chuyển động thứ hai
Vậy hệ phương trình vi phân chuyển động của toàn hệ
22
00 0
2
0
12( ) ( ) sin ( )sin
32
() cos
PQ Q Pl
llxxlx Qlx
gg g
QQ
xlx Q kx
gg




 

2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Ví dụ: Cho tải A khối lượng m1, con lăn khối lượng m2, các bán kính
R=3r và bán kính quán tính đối với trục qua tâm là .Biếtconlănlăn
không trượt, bỏ qua khối lượng dây và ma sát lăn, giả sử hệ ban đầu
đứng yên. Xác định vận tốc, gia tốc tải A.
A
B
I
H
M
Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết
Chương 14
3/13/2015
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM 5
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
Cơ hệ một bậc tự do nên ta chọn hệ tọa độ suy
rộng q1=h
*Tính lực suy rộng Q1
Cho hệ một DCKD từ vị trí ban đầu: tải A đi lên
2
h
r

Công di khả dĩ
() () ()
kA B
A
AP AP AM


A
B
I
H
M
h
A
P
B
P
I
N
ms
F
0
A
Ph M


2
A
h
PhMr

1
22
kA A
MM
A
Ph Pq
rr





12
A
M
QP
r
2. Phương trình Lagrange II
CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phương
trình Lagrange II
*Tính động năng
AB
TT T
222
12
111
222
AB B
mV J mV

22
22
12 2
2
11 1
22424
AA
A
VV
mV m m
r

222
2
12
2
4( )1
24 A
rm r m V
r




222
2
12
2
4( )1
24
rm r m h
r




*Tính các đạo hàm
222
12
2
1
4( )
4
rm r m
TT h
qr
h






222
12
2
1
4( )
4
rm r mdT h
dt q r









1
;0
T
q