Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

74
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất cung cấp cho người học kiến thức về đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất

CHÖÔNG 2 Ñaïi löôïng ngaãu nhieân – Phaân phoái XS 1. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc 1.1 Ñònh nghóa Neáu moãi keát quaû cuûa moät pheùp thöû ngaãu nhieân ñöôïc bieåu thò baèng moät giaù trò soá, ta coù moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân (ÑLNN). Chính xaùc hôn, ÑLNN X laø moät haøm soá xaùc ñònh treân khoâng gian maãu Ω sao cho moïi taäp hôïp coù daïng (X < x) = {ω∈Ω / X(ω) = x} ñeàu laø bieán coá. Ghi chuù (X < x) laø bieán coá thì (X > x), (X = x) … ñeàu laø bieán coá.
ÑLNN rôøi raïc laø ÑLNN maø caùc giaù trò noù coù theå nhaän lieät keâ ñöôïc. Luùc naøy bieán coá ñeå X nhaän giaù trò x ghi laø (X = x). Xaùc suaát cuûa bieán coá naøy ñöôïc ghi laø P(X = x). Ví duï (1) Tung con xuùc saéc, goïi X laø soá chaám xuaát hieän thì X laø moät ÑLNN coù theå nhaän caùc giaù trò 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ñaây laø moät ÑLNN rôøi raïc. Ta coù P(X=1) = 1/6. (2) Mua moät veù soá 5.000ñ cuûa thaønh phoá A, goïi X laø soá tieàn truùng soá thì X laø moät ÑLNN rôøi raïc. (3) Goïi X laø soá laàn tung ñoàng xu cho ñeán khi ñöôïc maët saáp thì X laø ÑLNN rôøi raïc.
(4) Chieàu cao X (cm) cuûa moät sinh vieân trong lôùp ñöôïc choïn ngaãu nhieân coù theå nhaän giaù trò laø moät soá thöïc trong khoaûng [140; 220]. Caùc giaù trò naøy khoâng lieät keâ ñöôïc. X khoâng phaûi laø ÑLNN rôøi raïc.
1.2 Baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa ÑLNN rôøi raïc Quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa ÑLNN rôøi raïc ñöôïc bieåu thò döôùi daïng baûng phaân phoái xaùc suaát (baûng PPXS): X x1 x2 ... xn P p1 p2 ... pn Baûng phaân phoái kyù hieäu laø (xi, pi), i= 1, n. Ta phaûi coù: pi > 0, i=1, n vaø p1 + p2 + ... + pn = 1.
Ví duï (1) Loâ haøng goàm 6 chính phaåm vaø 4 pheá phaåm. Laáy ngaãu nhieân 2 saûn phaåm. Goïi X laø soá chính phaåm. Caùc giaù trò coù theå nhaän cuûa X laø 0, 1, 2. Ta coù: C24 2 C14 .C16 8 p1 = P(X=0) = 2 = p2 = P(X=1) = 2 = C10 15 C10 15 5 p3 = P(X=2) = 1 – p1 – p2 = 15 X 0 1 2 Baûng phaân phoái cuûa X: P 2/15 8/15 5/15 (2) Xaùc suaát trò khoûi beänh cuûa 1 vieân thuoác laø 90%. Beänh nhaân uoáng töøng vieân, chöa heát beänh thì uoáng tieáp nhöng toái ña 3 vieân. Goïi X laø soá vieân thuoác beänh nhaân uoáng. Laäp baûng phaân phoái XS cuûa X.
2. Caùc soá ñaëc tröng cuûa ÑLNN 2.1 Kyø voïng 2.1.1 Ñònh nghóa Ñeå ñaùnh giaù giaù trò trung bình cuûa moät ÑLNN, ta tính kyø voïng. Kyø voïng cuûa ÑLNN X kyù hieäu laø E(X). Kyø voïng cuûa ÑLNN X coù baûng phaân phoái (xi, pi), i=1, n ñöôïc ñònh nghóa: n E(X) = ∑ x i pi i =1 Excel Neáu caùc giaù trò xi, pi ñöôïc ghi trong mieàn M1, M2 thì E(X) =SUMPRODUCT(M1; M2) .
Ví duï (1) Moät lôùp coù 50 sinh vieân. Sau moät kyø thi, keát quaû ñieåm ñöôïc thoáng keâ nhö sau: Ñieåm 3 4 5 6 7 8 9 Soá SV 3 7 15 10 5 6 4 Goïi X laø ñieåm cuûa moät sinh vieân gaëp ngaãu nhieân. Baûng phaân phoái cuûa ÑLNN X: X 3 4 5 6 7 8 9 3 7 15 10 5 6 4 P 50 50 50 50 50 50 50 Ñieåm trung bình: E(X) = 5,82 (ñieåm) (2) Moät loâ haøng goàm 15 chính phaåm vaø 3 thöù phaåm. Chính phaåm ñöôïc baùn vôùi giaù 200.000ñ coøn thöù
phaåm baùn vôùi giaù 150.000ñ. Tính trung bình thì thu ñöôïc bao nhieâu tieàn khi baùn moät saûn phaåm? (3) Tung con xuùc saéc. Neáu xuaát hieän maët 1 hoaëc maët 2 hoaëc maët 3 thì thua 1ñ, maët 4 thì hoaø, maët 5 thì thaéng 1ñ, maët 6 thì thaéng 2ñ. Goïi X laø soá tieàn thu ñöôïc sau moãi laàn chôi. Tính kyø voïng cuûa ÑLNN X. (4) Xeùt ÑLNN X coù baûng phaân phoái (xi, pi), i = 1, m . Thöïc hieän pheùp thöû n laàn. Goïi ki laø soá laàn X nhaän giaù trò xi. Giaù trò trung bình cuûa X trong n pheùp thöû: k x + k 2 x 2 + ... + k m x m X = 1 1 n k k k = 1 x1 + 2 x2 + ... + m x m = f1 x1 + f2 x 2 + ... + f m x m n n n Trong ñoù fi laø taàn suaát cuûa bieán coá (X=xi) ( i = 1, m ).
Cho n → ∞ thì fi → pi ( i = 1, m ) vaø do ñoù X → E(X). Vaäy khi n ñuû lôùn thì X ≈ E(X). Ta noùi kyø voïng cuûa moät ÑLNN gaàn baèng vôùi giaù trò trung bình cuûa moät quan saùt cuûa ÑLNN naøy.
2.1.2 Tính ñoäc laäp cuûa ÑLNN rôøi raïc Hai ÑLNN rôøi raïc X, Y goïi laø ñoäc laäp neáu moãi bieán coá (X = x) ñeàu ñoäc laäp vôùi moïi toå hôïp tích cuûa caùc bieán coá coù daïng (Y = yj). Ví duï Goïi X laø ñieåm thi moân Toaùn, Y laø ngaøy sinh, U laø soá ngaøy ñi hoïc moân toaùn cuûa moät sinh vieân trong lôùp ñöôïc choïn ngaãu nhieân thì X, Y laø hai ÑLNN ñoäc laäp. X, U laø hai ÑLNN khoâng ñoäc laäp.
2.1.3 Tính chaát (i) E(c) = c (c laø ÑLNN haèng vaø baèng c) (ii) E(cX) = cE(X) (iii) E(X + Y) = E(X) + E(Y) (iv) E(X.Y) = E(X).E(Y) neáu X, Y ñoäc laäp.
Ví duï (1) Moät sinh vieân saép thi moân Toaùn vaø moân Kinh teá. Khaû naêng ñaït ñieåm nhö sau: Ñieåm Toaùn 3 4 5 6 7 8 9 Ñieåm K.Teá 4 5 6 7 8 9 Khaû naêng (%) 5 10 15 20 25 15 10 Khaû naêng (%) 5 15 15 30 25 10 Döï kieán ñieåm trung bình hai moân cuûa sinh vieân naøy laø bao nhieâu? Goïi X, Y laø ñieåm thi moân Toaùn vaø moân Kinh teá. Caàn tính E( (X+Y)/2 ). Ta coù: E(X) = 6,35 E(Y) = 6,85 ⇒ E( (X+Y)/2 ) = (E(X) + E(Y))/2 = 6,6 (ñieåm)
(2) Trong moät tuaàn, moät ngöôøi coù theå ñieåm taâm töø 5 cho ñeán 7 laàn. Soá tieàn phaûi traû cho moãi laàn ñieåm taâm thay ñoåi töø 20 ngaøn ñeán 40 ngaøn. Chi tieát cho bôûi baûng: Soá ngaøy 5 6 7 Soá tieàn 20 25 30 35 40 Khaû naêng (%) 25 60 15 Khaû naêng (%) 10 15 35 25 15 Ñöôïc bieát soá ngaøy ñieåm taâm vaø chi phí cho moãi laàn ñieåm taâm khoâng phuï thuoäc nhau. Trung bình moãi tuaàn ngöôøi naøy chi bao nhieâu cho ñieåm taâm?
2.2 Phöông sai 2.2.1 Phöông sai cuûa ÑLNN rôøi raïc Ñoä leänh cuûa X so vôùi E(X) laø X – E(X). Tuy nhieân, ñeå tieän cho caùc pheùp tính vi tích, ngöôøi ta xeùt ñoä leäch bình phöông [X – E(X)]2. Ñoä leäch bình phöông lôùn thì ñoä leäch cuõng lôùn vaø ngöôïc laïi. Ñeå ñaùnh giaù möùc ñoä phaân taùn caùc giaù trò cuûa ÑLNN X quanh giaù trò trung bình E(X), ta tính kyø voïng cuûa ñoä leäch bình phöông vaø goïi giaù trò naøy laø phöông sai: var(X) = E([X − E(X)]2) Trong thöïc teá, phöông sai cuûa ÑLNN X ñöôïc tính theo coâng thöùc: var(X) = E(X2) − [E(X)]2
Ñeå coù cuøng ñôn vò ño vôùi X, ta laáy caên cuûa phöông sai vaø goïi giaù trò naøy laø ñoä leäch chuaån: σ(X) = Var(X) Phöông sai cuûa ÑLNN X coù baûng phaân phoái (xi, pi), i=1, n ñöôïc tính theo coâng thöùc: 2 n  n  var(X) = ∑ xi pi −  ∑ x i pi  2   i =1  i =1 
Ví duï Laáy ngaãu nhieân 100 goùi mì aên lieàn nhaõn hieäu A vaø 100 goùi mì nhaõn hieäu B roài ñem caân, ta coù baûng: Caân naëng (g) 82 83 84 85 86 87 Soá goùi mì A 10 20 10 30 20 10 Soá goùi mì B 18 6 16 31 16 13 Neân mua mì aên lieàn nhaõn hieäu naøo? Goïi X (Y) laø troïng löôïng moät goùi mì nhaõn hieäu A (B) ñöôïc choïn ngaãu nhieân. Ta coù baûng PPXS cuûa ÑLNN X vaø X2: X2 6.724 6.889 7.056 7.225 7.396 7.569 X 82 83 84 85 86 87 P 10% 20% 10% 30% 20% 10% E(X) = 84,6 E(X2) = 7159,4
var(X) = E(X2) − [E(X)]2 ≈ 2,24 Baûng phaân phoái cuûa ÑLNN Y vaø Y2: Y2 6.724 6.889 7.056 7.225 7.396 7.569 Y 82 83 84 85 86 87 p 18% 6% 16% 31% 16% 13% E(Y) = 84,6 E(Y2) = 7159,7 ⇒ var(Y) = E(Y2) − [E(Y)]2 ≈ 2,54 Troïng löôïng trung bình cuûa moät goùi mì cuûa caû 2 nhaõn hieäu ñeàu laø 84,6g. Tuy nhieân var(X) < var(Y) neân goùi mì nhaõn hieäu A coù troïng löôïng oån ñònh hôn. Neân mua mì aên lieàn nhaõn hieäu A.
2.2.2 Tính chaát (i) var(c) = 0 (c laø ÑLNN haèng vaø baèng c) (ii) var(cX) = c2.var(X) (iii) var(X ± Y) = var(X) + var(Y) X, Y ñoäc laäp (iv) var(X + c) = var(X)
Ví duï (1) Xeùt X, Y laø hai ÑLNN ñoäc laäp. Bieát var(X) = 4, var(Y) = 1. Haõy tính σ(2X – 3Y + 1). Theo tính chaát cuûa phöông sai: var(2X – 3Y + 1) = 4var(X) + 9var(Y) = 25 ⇒ σ(2X – 3Y + 1) = 25 = 5
(2) Troø chôi A: Tung con xuùc saéc. Neáu xuaát hieän maët 1 hoaëc maët 2 hoaëc maët 3 thì thua 1ñ, maët 4 thì hoaø, maët 5 thì thaéng 1ñ, maët 6 thì thaéng 2ñ. Troø chôi B: Tung con xuùc saéc. Neáu xuaát hieän maët chaún thì thì thaéng 2ñ, maët leû thì thua 2ñ. Caùch chôi I: Chôi 2 vaùn theo troø chôi A vaø 3 vaùn theo troø chôi B. Caùch chôi II: Chôi 3 vaùn theo troø chôi A vaø 2 vaùn theo troø chôi B. Tính kyø voïng vaø phöông sai cuûa soá tieàn thaéng cuoäc khi chôi theo caùch I, caùch II. Caùc caùch chôi naøy coù coâng baèng? Caùch chôi naøo coù tính ñoû ñen hôn?