Bài giảng Phép tính vi phân hàm một biến - TS. Lê Xuân Trường

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

265
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phép tính vi phân hàm một biến trình bày các nội dung: Giới hạn hàm số, hàm số liên tục, đạo hàm, vi phân, khai triển Taylor-Maclaurin, qui tắc L’Hospital, bài toán tối ưu và ứng dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phép tính vi phân hàm một biến - TS. Lê Xuân Trường

Các nội dung chính Giới hạn hàm số PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1 2 Hàm số liên tục 3 Đạo hàm Ts. Lê Xuân Trường 4 Vi phân 5 Khai triển Taylor-Maclaurin 6 Qui tắc L’Hospital 7 Bài toán tối ưu và ứng dụng Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2 / 55 1. Giới hạn hàm số 1.1. Một số giới hạn cơ bản  +∞, khi α > 0  limx →+∞ xα = 1, khi α = 0 0, khi α < 0  PHẦN 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ limx →a C = C (C là hằng số) sin x limx →0 x =1 ax − 1 ln(x +1) limx →0 x = ln a, limx →0 x =1 limx →±∞ 1 + 1 x = limx →0 (1 + x )1/x = e ! x (1+x ) α −1 limx →0 x =α Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 4 / 55
1. Giới hạn hàm số 1. Giới hạn hàm số 1.3. Một số tính chất của giới hạn Nếu f là hàm số sơ cấp, xác định tại a thì limx →a f (x ) = f (a). 1.2. Điều kiện tồn tại giới hạn Ví dụ: limx →2 x 3 − 2x 2 + 4 = 23 − 2.22 + 4 = 4 !  limx →a+ f (x ) , limx →a− f (x ) hữu hạn  tồn tại lim f (x ) ⇔ Tính chất kẹp: x →a limx →a+ f (x ) = limx →a− f (x )  g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) ⇒ lim f (x ) = A Ví dụ: Xét sự tồn tại của giới hạn sau limx →a g (x ) = limx →a h (x ) = A x →a |x − 1| Ví dụ:Tính giới hạn limx →0 x sin x1 lim x →1 x −1  − |x | ≤ x sin x1 ≤ |x |  1 ⇒ lim x sin =0 x →0 x limx →0 (− |x |) = limx →0 |x | = 0  Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 5 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 6 / 55 1. Giới hạn hàm số 1. Giới hạn hàm số 1.3. Một số tính chất của giới hạn 1.3. Một số tính chất của giới hạn Khi xét giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương các hàm số ta cũng Giả sử limx →a f (x ) và limx →a g (x ) tồn tại hữu hạn. Khi đó ta có lưu ý một số điểm như sau ∞ + một số hữu hạn = ∞, ∞ × một số dương = ∞ (i ) limx →a [f (x ) ± g (x )] = limx →a f (x ) ± limx →a g (x ) ∞ × một số âm = −∞, một số hữu hạn /∞ = 0 (ii ) limx →a [f (x ) .g (x )] = limx →a f (x ) . limx →a g (x ) ∞/ một số hữu hạn = ∞ limx →a f (x ) (iii ) limx →a f (x ) = limx →a g (x ) (nếu limx →a g (x ) 6= 0) Chú thích: Cách viết trên đây là hình thức. Chẳng hạn g (x ) (iv ) limx →a [f (x )]g (x ) = [limx →a f (x )]limx →a g (x ) ∞ + một số hữu hạn = ∞, (limx →a f (x ) > 0) được hiểu là nếu lim f (x ) = ∞ và lim g (x ) 6= ∞ thì lim [f (x ) + g (x )] = ∞. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 8 / 55
1. Giới hạn hàm số 1. Giới hạn hàm số 1.4. Dạng vô định Các dạng vô định 1.5. Vô cùng bé 0 ∞ Định nghĩa: Nếu limx →a α (x ) = 0 thì ta nói α (x ) là một vô cùng bé , , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞ , 00 , ∞0 0 ∞ (vcb) khi x dần đến a. Khử dạng vô định Ví dụ: sin x, ln (1 + x ) , (1 + x )α − 1 là các vcb khi x → 0. Ví dụ:Tính các giới hạn sau Lưu ý: Tổng, hiệu và tích các vcb cũng là một vcb √ 1 − cos x 3+x −2 A = lim và B = lim x →0 x2 x →1 x −1 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 9 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 10 / 55 1. Giới hạn hàm số 1. Giới hạn hàm số 1.5. Vô cùng bé So sánh các vcb: Giả sử α (x ) , β (x ) là các vcb khi x → a và 1.5. Vô cùng bé α (x ) K = lim Một số cặp vcb tương đương: khi x → 0 ta có x →a β ( x ) sin x ∼ x tan x ∼ x arcsin x ∼ x - K = 0: α (x ) là vcb bậc cao hơn β (x ). Ký hiệu α (x ) = 0 ( β (x )) - K 6= 0, ∞: α (x ) và β (x ) cùng bậc. Ký hiệu α (x ) = O ( β (x )) arctan x ∼ x 1 − cos x ∼ 12 x 2 ex − 1 ∼ x - K = 1: α (x ) và β (x ) tương đương. Ký hiệu α (x ) ∼ β (x ) ln (1 + x ) ∼ x (1 + x )α − 1 ∼ αx Ví dụ: So sánh hai vcb sau khi x → 0 α (x ) = 4 + x 2 − 2 và β (x ) = sin x p Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 11 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 12 / 55
1. Giới hạn hàm số 1. Giới hạn hàm số 1.5. Vô cùng bé 1.5. Vô cùng bé Khử dạng vô định 00 : Khử dạng vô định 00 : Ví dụ 2: Tính giới hạn - Nếu α (x ) và β (x ) là các vcb (khi x → a) và α ∼ α1 , β ∼ β 1 thì e 2x − 1 sin x ! α (x ) α1 (x ) lim lim = lim x →0 x 3 + 1 − cos x x →a β ( x ) x →a β 1 ( x ) . - Hai nguyên tắc khi thay vcb tương đương Ví dụ 1: Tính giới hạn √ α ∼ α′ và β ∼ β′ ⇒ α.β ∼ α′ .β′ 5 1 + x3 − 1 lim x →0 ln (1 + 2x 3 ) α1 = 0 ( α2 ) ⇒ α1 + α2 ∼ α2 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 13 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 14 / 55 1. Giới hạn hàm số 1.6. Bài tập Tính các giới hạn sau đây (e x −1). sin2 x A = limx →0 x 3 +tan4 x PHẦN 2 B = limx →0 cot x − ! 1 HÀM SỐ LIÊN TỤC sin x ln(cos(x −1)) C = limx →1 √ 3 2 x −2x +2−1 1 D = limx →0 (cos x ) x Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 15 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16 / 55
2. Hàm số liên tục 2. Hàm số liên tục 2.1. Định nghĩa 2.2. Ví dụ: Hàm số y = f (x ) liên tục tại a nếu f xác định tại a và √ 3 1+x −cos x x 6= 0,  x ,  lim− f (x ) = lim+ f (x ) = f (a) Tìm m để hàm số y = f (x ) = liên tục tại 0. x →a x →a m, x = 0.  Liên tục một bên Cho hàm số e x +1 − 1 x < −1,  liên tục bên trái: limx →a− f (x ) = f (a)    x +1 ,   f (x ) = ax + b, − 1 ≤ x < 1, liên tục bên phải: limx →a+ f (x ) = f (a)    x 2 − 2, x ≥ 1.   Liên tục trên đoạn [a, b ] - Liên tục tại mọi điểm c ∈ (a, b ) Tìm a, b để hàm số liên tục trên R. - Liên tục bên phải tại a và bên trái tại b Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 17 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 18 / 55 2. Hàm số liên tục 2.3. Một số tính chất Mọi hàm số sơ cấp xác định tại a sẽ liên tục tại a. Tổng, hiệu, tích và thương các hàm số liên tục là một hàm liên tục. Hợp hai hàm số liên tục là một hàm số liên tục. PHẦN 3 Nếu hàm số f liên tục trên [a, b ] thì ta có ĐẠO HÀM  f (x1 ) = m = minx ∈[a,b ] f (x )  (i ) ∃x1 , x2 ∈ [a, b ] : f (x2 ) = M = maxx ∈[a,b ] f (x )  (ii ) ∀c ∈ [m, M ] , ∃xc ∈ [a, b ] : f (xc ) = c (iii ) f (a) f (b ) < 0 ⇒ ∃x0 ∈ (a, b ) : f (x0 ) = 0 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 19 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 20 / 55
3. Đạo hàm 3. Đạo hàm 3.1. Định nghĩa f ′ (a) = limh→0 f (a+h)−f (a) h 3.2. Xét sự tồn tại và tính đạo hàm bằng định nghĩa (nếu giới hạn tồn tại hữu hạn) Ví dụ: Tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau Nhận xét:  x sin x1 ,  2 khi x 6= 0, f ′ (a) = limx →a f (x )−f (a) x −a f (x ) = tại x0 = 0 Nếu giới hạn trên không tồn tại thì ta nói f không có đạo hàm tại a  0, khi x = 0, Đạo hàm một phía g (x ) = 2 − |x + 1| tại x0 = −1 đạo hàm trái: ft′ (a) = limx →a− f (x )−f (a) x −a đạo hàm phải: fp′ (a) = limx →a+ f (x )−f (a) x −a Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 21 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 22 / 55 3. Đạo hàm 3. Đạo hàm 3.3. Một số qui tắc 3.4. Đạo hàm các hàm số sơ cấp (hàm lũy thừa) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 23 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 24 / 55
3. Đạo hàm 3. Đạo hàm 3.4. Đạo hàm các hàm số sơ cấp 3.4. Đạo hàm các hàm số sơ cấp (hàm lượng giác) (hàm mũ và logarit) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 25 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 26 / 55 3. Đạo hàm 3. Đạo hàm 3.5. Ý nghĩa của đạo hàm 3.4. Đạo hàm các hàm số sơ cấp Ý nghĩa hình học (hàm lượng giác ngược) f ′ (a) là hệ số góc của tiếp tuyến tại P (a, f (a)) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 27 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 28 / 55
3. Đạo hàm 3. Đạo hàm 3.5. Ý nghĩa của đạo hàm 3.5. Ý nghĩa của đạo hàm Ý nghĩa kinh tế Ý nghĩa kinh tế f có đạo hàm tại a limh→0 f (a+h)−f (a) f ′ (a ) = h - Hệ số co dãn: =⇒ f (a + h) − f (a) = f ′ (a) h + 0 (h) % thay đổi của y ∆y /y ε f (x ) = = % thay đổi của x ∆x /x - Biên tế: Mf (x ) = f (x + 1) − f (x ) ≃ f ′ (x ) Ví dụ: Hàm cầu của một loại hàng hóa được cho bởi Qd = Qd (P ) = 60 − 2P 2 . Ví dụ: Giả sử chi phí sản xuất làm một hàm số của sản lượng, Q, ⋄ Tính hệ số co dãn của lượng cầu tại mức giá P = 4 C = C (Q ) ⋄ Từ kết quả trên hãy tính phần trăm thay đổi của sản lượng khi giảm giá xuống còn 3, 6. thì chi phí biên xác định bởi MC (Q ) ≃ C ′ (Q ). Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 29 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30 / 55 3. Đạo hàm 3.6. Đạo hàm cấp cao f (n−1) (x ) , n ≥ 1, ( dnf f (n ) ( x ) = dx n (x ) = d dx f (0) ( x ) = f ( x ) . PHẦN 4 Công thức Leibnitz: VI PHÂN n (u (x ) .v (x ))(n) = ∑ Cnk u (k ) (x ) .v (n−k ) (x ) k =0 Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm số 1 f (x ) = ax +b và g (x ) = x 2 e −3x . Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 31 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 32 / 55
4. Vi phân 4. Vi phân 4.1. Vi phân 4.2. Vi phân và xấp xỉ tuyến tính khi dx bé f (a + dx ) − f (a) ≃ f ′ (a) dx = dy hay khi x gần a f (x ) ≃ f (a ) + f ′ (a ) (x − a ) : = L (x ) Ta gọi L (x ) là xấp xỉ tuyến tính của f (x ) trong lân cận điểm a √ Ví dụ: Cho hàm số f (x ) = x + 3. - Tìm vi phân của f tại a = 1 - Tìm xấp xỉ tuyến tính của f tại a = 1 vi phân của f tại x : dy = f ′ (x ) dx phụ thuộc vào x và dx √ - Sử dụng xấp xỉ tuyến tính, tính gần đúng giá trị 4, 05. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 33 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 34 / 55 4. Vi phân 4.3. Vi phân cấp cao Vi phân cấp n của hàm số y = f (x ) PHẦN 5 d f (x ) = f n (n ) (x ) dx n KHAI TRIỂN TAYLOR-MACLAURIN Ví dụ: Tính vi phân cấp n của hàm số 1 y = f (x ) = x2 − 1 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 35 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 36 / 55
5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5.1. Khai triển Taylor với phần dư Peano 5.1. Khai triển Taylor với phần dư Peano Nếu f (x ) có đạo hàm đến cấp n trên (a − ε, a + ε) thì Ví dụ: Viết khai triển Taylor đến cấp 3 cho hàm số f (x ) = f (a ) + f ′ (a ) (x − a ) + f ′′ (x0 ) (x − a )2 y = f (x ) = ln (2 + x ) 2! (n ) ( a ) trong lân cận điểm a = −1 + · · · +f n! (x − a)n + 0 ((x − a)n ) Ta có Nhận xét: f (x ) = ln (2 + x ) ⇒ f (−1) = 0 - Khi x − a bé (x gần a), ta có xấp xỉ f ′ (x ) = 1/ (x + 2) ⇒ f ′ (−1) = 1 f ′′ (x ) = −1/ (x + 2)2 ⇒ f ′′ (−1) = −1 f ′(k ) (a) f (3) (x ) = 2/ (x + 2)3 f (3) (−1) = 2 n f (x ) ≃ (x − a)k := Pn (x ) ⇒ ∑ k! k =0 Suy ra - Phần dư 1 1 f (x ) = (x + 1) − (x + 1)2 + (x + 3)3 + 0 (x + 1)3 Rn (x ) = f (x ) − Pn (x ) = 0 ((x − a) ) n 2 3 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 38 / 55 5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5.2. Khai triển Maclaurin với phần dư Peano 5.2. Khai triển Maclaurin với phần dư Peano Công thức Maclaurin Ví dụ: Viết khai triển Maclaurin của hàm số f (x ) = sin x (đến cấp n) f ′′ (0) 2 f (n ) ( 0 ) n Ta có f (x ) = f (0) + f ′ (0) x + x +···+ x + 0 (x n ) 2! n!  0, n = 2k  π f (n) (x ) = sin x + n ⇒ f (n ) ( 0 ) = 2 Nhận xét: (−1)k n = 2k + 1  - Khai triển Maclaurin là là trường hợp đặc biệt của khai triển Taylor Do đó ta suy ra - Khai triển Maclaurin của hàm số f (x ) chính là khai triển Taylor của hàm số x3 x5 x 2k +1 − · · · + (−1)k + 0 x 2k +1 g (x ) = f (x − a ) f (x ) = x − + 3! 5! (2k + 1)! trong lân cận điểm a Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 39 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 40 / 55
5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5.3. Khai triển Maclaurin với phần dư Peano Khai triển Maclaurin một số hàm sơ cấp x2 ex = 1 + x + 2! +···+ xn n! + 0 (x n ) LUYỆN TẬP sin x = x − x3 x5 − · · · + (−1)m−1 x 2m−1 + 0 x 2m Cho hàm số y = f (x ) = cos2 x ! 3! + 5! (2m−1)! Viết khai triển Maclaurin của f đến cấp 4 x2 x 2m cos x = 1 − x4 − · · · + (−1)m + 0 x 2m+1 ! 2! + 4! (2m)! Sử dụng kết quả trên, tính gần đúng giá trị cos2 120 ln (1 + x ) = x − x2 2 + x3 3 − · · · + (−1)n−1 xn n + 0 (x n ) 1 1−x = 1 + x + x 2 + · · · + x n + 0 (x n ) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 41 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 42 / 55 5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5.4. Phần dư Lagrange và đánh giá sai số Nếu f có đạo hàm đến cấp n + 1 trên (a − ε, a + ε) thì PHẦN 6 QUY TẮC L’HOSPITAL f (n +1) ( c ) Rn (x ) = (x − a ) n +1 , (n + 1) ! trong đó c nằm giữa x và a. Ví dụ: Tính gần đúng số e với sai số không quá 10−2 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 43 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 44 / 55
6. Quy tắc L’Hospital 6. Quy tắc L’Hospital Giả sử f (x ) , g (x ) có đạo hàm trong (a − ε, a + ε) và - limx →a f (x ) = limx →a g (x ) = 0 (hoặc ∞) LUYỆN TẬP - tồn tại giới hạn limx →x0 f ′ (x ) g ′ (x ) = A (hữu hạn) Tính các giới hạn sau Khi đó ta có e x + e −x − 2 f (x ) f ′ (x ) A = lim lim = lim ′ =A x →0 3x 2 x →x0 g (x ) x →x0 g (x ) B = lim+ x x Ví dụ: x →0 tan x − x 1 + tan2 x − 1 x2 1 lim = lim = lim = 1 x →x0 x 3 x →x0 3x 2 x →x0 3x 2 3 C = lim co tan2 x − x →0 x2 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 45 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 46 / 55 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Cực trị địa phương và cực trị toàn cục PHẦN 7 BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ ỨNG DỤNG Cho hàm số y = f (x ) xác định trên tập S ⊂ R. f đạt cực đại toàn cục tại x0 trên tập ràng buộc S nếu f (x ) ≤ f (x0 ) , ∀x ∈ S. f đạt cực đại địa phương tại x0 nếu tồn tại ε > 0 sao cho f ( x ) ≤ f ( x0 ) , với mọi x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) ∩ S. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 47 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 48 / 55
7. Bài toán tối ưu và ứng dụng 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Cực trị địa phương và cực trị toàn cục Điều kiện cần Theorem f đạt cực trị tại x0 và f khả vi tại x0 thì ta có f ′ (x0 ) = 0 Nhận xét: Điểm x0 thỏa điều kiện f ′ (x0 ) = 0 được gọi là điểm dừng. Với khái niệm cực tiểu ta có các bất đẳng thức ngược lại. x0 là điểm dừng  Khi f đạt cực đại hoặc cực tiểu thì ta nói f đạt cực trị. f đạt cực trị tại x0 thì  . Nếu f đạt cực đại toàn cục tại x0 thì nó cũng đạt cực đại địa phương f không có đạo hàm tại x0 tại đó. Các điểm thuộc một trong hai loại trên được gọi là điểm tới hạn. Trên tập ràng buộc S, hàm số có thể đạt cực trị tại nhiều điểm khác nhau. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 49 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 50 / 55 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Điều kiện đủ cho cực trị địa phương Điều kiện đủ cho cực trị địa phương Theorem (theo đạo hàm cấp một) Theorem (theo đạo hàm cấp cao) Giả sử x0 là một điểm dừng của hàm số y = f (x ) và f có đạo hàm trong Cho x0 là một điểm dừng của hàm số y = f (x ). Giả sử tồn tại số tự nhiên lân cận x0 . Khi đó n ≥ 2 sao cho  f (x ) > 0, ∀x ∈ (x0 − δ, x0 ) f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0 và f (n) (x0 ) 6= 0.  ′ ⇒ f đạt cực đại địa phương tại x0 . f (x ) < 0, ∀x ∈ (x0 , x0 + δ)  ′ Nếu n là số chẵn thì x0 là một điểm cực trị của hàm số x0 là điểm cực đại nếu f (n) (x0 ) < 0  f (x ) < 0, ∀x ∈ (x0 − δ, x0 ) x0 là điểm cực tiểu nếu f (n) (x0 ) > 0  ′ ⇒ f đạt cực tiểu địa phương tại x0 . Nếu n là số lẻ thì x0 không là điểm cực trị của hàm số f ′ (x ) > 0, ∀x ∈ (x0 , x0 + δ)  Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của hàm số y = f (x ) = x 4 + 2x 3 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 51 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 52 / 55
7. Bài toán tối ưu và ứng dụng 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Điều kiện đủ cho cực trị toàn cục Tìm sản lượng để có lợi nhuận lớn nhất Cho hàm số y = f (x ) xác định trên khoảng S = (a, b ) Giả thiết: Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử Theorem Hàm cầu của sản phẩm là Qd = Qd (P ), với P là giá bán Giả sử x0 là một điểm dừng của hàm số y = f (x ) Chi phí sản xuất: C = C (Q ) , trong đó C là chi phí và Q là sản lượng. Nếu f là hàm lồi trên S (f (x ) > 0, ∀x ∈ S ) thì f đạt cực tiểu toàn ′′ cục tại x0 . Sản phẩm làm ra được tiêu thụ hết Nếu f là hàm lõm trên S (f (x ) < 0, ∀x ∈ S ) thì f đạt cực tiểu ′′ Yêu cầu:Định mức sản lượng Q để xí nghiệp thu được lợi nhuận lớn nhất toàn cục tại x0 . Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 53 / 55 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 54 / 55 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Đánh thuế doanh thu Giả thiết: Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử Hàm cầu của sản phẩm là Qd = Qd (P ), với P là giá bán Chi phí sản xuất: C = C (Q ) , trong đó C là chi phí và Q là sản lượng. Sản phẩm làm ra được tiêu thụ hết Yêu cầu:Xác định mức thuế trên 1 đơn vị sản lượng để thu được của xí nghiệp nhiều thuế nhất. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 55 / 55