5/30/2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Website: http://www.nuce.edu.vn Bộ môn Cầu và Công trình ngầm Website: http://bomoncau.tk/

PHƯƠNG PHÁP SỐ  TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU

TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học: http://phuongphapso.tk/

Link dự phòng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau

Hà Nội, 5‐2015

CHƯƠNG III

Tính hệ thanh chịu uốn và kéo nén

109

1

5/30/2015

Nội dung chương 3

• 3.1. Các ký hiệu và quy ước

• 3.2. Phần tử dầm (Beam)

• 3.3. Phần tử khung phẳng (Frame‐2D)

• 3.4. Phần tử khung không gian (Frame‐3D)

110

3.1. Các ký hiệu và quy ước

2

• Các ký hiệu địa phương

3

– Hệ trục tọa độ địa phương: o123 – Biến số trong các trục 1, 2, và 3

1

lần lượt là x, y, và z

1 , ui

2 , và ui

3

– Các chuyển vị thẳng tại “Nút i" theo hệ tọa độ địa phương ui – Các chuyển vị xoay tại “Nút i" theo hệ tọa độ địa phương ui

11 , ui

22 , và ui

33

trục 1, 2, và 3 lần lượt là: fi

– Các lực tác dụng tại “Nút i” của phần tử theo phương của các 1 , fi

2 , và fi

3

phương của các trục 1, 2, và 3 lần lượt là : fi

– Các lực là mô men tác dụng tại “Nút i” của phần tử theo 22 , và fi

11 , fi

33

111

2

5/30/2015

Các ký hiệu và quy ước (t.theo)

– Ma trận độ cứng của phần tử theo hệ tọa độ địa phương: [k] – Véc tơ chuyển vị nút tại “Nút j” của phần tử: {uj} – Véc tơ lực nút tại “Nút j” của phần tử: {fj} – Véc tơ chuyển vị nút của phần tử: {u} – Véc tơ lực nút của phần tử: {f}

• Các ký hiệu tổng thể

– Hệ trục tọa độ tổng thể: OXYZ – Các chuyển vị thẳng tại “Nút n" theo hệ tọa độ tổng thể bao

gồm: Un

X , Un

Y , và Un

Z

– Các chuyển vị xoay tại “Nút n" theo hệ tọa độ tổng thể bao

gồm: Un

XX , Un

YY , và Un

ZZ

112

Các ký hiệu và quy ước (t.theo)

– Các lực tác dụng tại “Nút n” theo hệ tọa độ tổng thể gồm: Fn

X ,

Fn

Y , và Fn

Z

– Các lực là mô men tác dụng tại “Nút n” theo hệ tọa độ tổng

thể gồm: Fn

XX , Fn

YY , và Fn

ZZ

– Ma trận độ cứng của phần tử theo hệ

tọa độ tổng thể: [K]

1 j Y

– Véc tơ chuyển vị nút của “Nút n” : {Un} – Véc tơ lực nút của “Nút n” : {Fn} – Véc tơ chuyển vị nút của phần tử: {U} – Véc tơ lực nút của phần tử: {F}

O X i

113

3

Z

5/30/2015

Các ký hiệu và quy ước (t.theo)

– Ma trận độ cứng tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới điều

kiện biên: [Ks]

– Véc tơ chuyển vị nút tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới

điều kiện biên: {Us}

– Véc tơ lực nút tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện

biên: {Fs}

– Ma trận độ cứng tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều kiện

biên: [Ko]

– Véc tơ chuyển vị nút tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều

kiện biên: {Uo}

– Véc tơ lực nút tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều kiện

biên: {Fo}

114

3.2. Phần tử dầm

• Chọn đa thức xấp xỉ và ma trận hàm dạng

33

2

θj = uj 2

33

2

vj = uj θi = ui vi = ui J, E j 1 i L

33

33

– Khi bỏ qua biến dạng dọc trục, mọi điểm trên phần tử chỉ tồn tại chuyển vị thẳng theo trục 2 và chuyển vị xoay quanh trục song song với trục 3.

ui uj

2

2

– Một điểm bất kỳ có tọa độ x (0 ≤ x ≤ L) trên phần tử sẽ có

chuyển vị thẳng v(x) theo trục 2 và chuyển vị xoay tương ứng quanh trục 3 là θ(x) = dv/dx

115

4

ui uj

5/30/2015

Phần tử dầm (t.theo)

33

θj = uj 2

2

33

2

– Số bậc tự do của phần tử là 4, do đó số phần tử của véc tơ tham số {a} cũng là 4 và đa thức xấp xỉ là bậc 3.

vj = uj θi = ui vi = ui J, E j 1 i L

– Ta chọn đa thức xấp xỉ

33

33

ui uj

2

2

để biểu diễn hàm chuyển vị trong phần tử như sau:

v(x) = a1 + a2x + a3x2 + a4x3

Góc xoay của mặt cắt ngang bất kỳ chính là đạo hàm của v(x)

θ(x) = 0 + a2 + 2a3x + 3a4x2

116

Phần tử dầm (t.theo)

– Thực hiện đồng nhất hàm chuyển vị tại các chuyển vị nút:

uj ui

u

v

33

33

Tại nút i:

i 2

a 1

v i

0

x

ui uj

j i

2

2

i u 33

 i

a 2

dv dx

x

0

Tại nút j:

u

v

v

j 2

j

a 1

2 a L a L  2

3

3 a L 4

x L 

2

j u 33

 j

a 2

a L 3

2 a L 3 4

dv dx

x L 

117

5

ui uj

5/30/2015

Phần tử dầm (t.theo)

u

Nếu đặt:

q 1

i 2

u

q 2

i 33

θj = q4 y

u

q 3

j 2

vj = q3 θi = q2 J, E vi = q1

u

q 4

j 33

j i x L

thì:

q 1

a 1

q4 q2

q 2

a 2

q 3

a 1

2 a L a L  2

3

3 a L 4

2

q 4

a 2

a L 3

2 a L 3 4

118

Phần tử dầm (t.theo)

– Hoặc viết dưới dạng ma trận

1 0 0 1

hay:

  q

  A a

e

0 0 2 L L

0 0 3 L

1

0 1

2

3

L

2 L

     

     

q   1   q   2   q   3   q   4

a   1   a   2   a   3   a   4

Trong đó:

1 0

0

0

1 0

0 1

0 0

0 0

0 1

A

và 

 1

A

1

0 1

0 2 L L L 2

0 3 L 2 L 3

     

     

3  2 L 2 3 L

2  L 1 2 L

3 2 L 2  3 L

1  L 1 2 L

         

        

119

6

q1 q3

5/30/2015

Phần tử dầm (t.theo)

1

A

  q

  A a

   a 

q   

e

e

– Hàm chuyển vị v(x) của dầm có thể được viết lại như sau:

1 

P x

P x

A

N x

  v x

   q

e

e

    a  

 

    

 

 

    q  

e

trong đó [N(x)]e là ma trận các hàm dạng của phần tử dầm:

1 

P x

A

  N x

 

 

    

 

e

1 0

0 1

0 0

0 0

2

3

x

x

x

N

N

N

  N x

N 1

2

3

4

 

 

e

 1 

3  2 L 2 3 L

2  L 1 2 L

3 2 L 2  3 L

1  L 1 2 L

          

        

120

Phần tử dầm (t.theo)

– Như vậy, hàm chuyển vị v(x) của phần tử dầm chịu uốn là:

4

N

  v x

   q

  N x q i

i

e

e

i

1 

2

3

1 3

2

 

trong đó:

N 1

x 2 L

x 3 L

2

3

2

N

x  

2

x L

x 2 L

2

3

3

2

N

3

x 2 L

x 3 L

2

3

N

 

4

x L

x 2 L

121

7

5/30/2015

Phần tử dầm (t.theo)

– Với giả thiết mặt phẳng dầm vẫn phẳng và chỉ bị xoay đi góc θ



dv dx

dv dx

do đó, chuyển vị dọc trục là u có quan hệ với độ võng v như sau:

dv dx

u

y

sin

y

 

 

  

dv dx

v

u

y

 

dv dx

122

Phần tử dầm (t.theo)

– Biến dạng dọc trục

y



 

du dx

2 d v 2 dx

N

– Hàm chuyển vị

, do đó biến dạng có thể

  e q

e

  v x được viết lại như sau:

2

3

1 3

2

 

N 1

x 2 L

x 3 L

e

y

 

  q

  B q

e

e

2

3

 2 d N 2 dx

N

2

x  

2

x L

x 2 L

2

3

trong đó:

N

3

2

3

x 2 L

x 3 L

e

2

3

B

y

 

N

 

4

 2 d N 2 dx

x L

x 2 L

123

8

y

5/30/2015

Phần tử dầm (t.theo)

khai triển ma trận tính biến dạng [B]:

B

y

 

6 2 L

x 12 3 L

4   L

x 6 2 L

6 2 L

x 12 3 L

2   L

x 6 2 L

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

– Ứng suất tại mọi điểm trên dầm chịu uốn

E

 

 e  E B q

– Ma trận độ cứng của phần tử dầm được xác định như sau:

T

T

B

  k

  B E B dV E

 

 B dF dx

 

L F

V e

124

Phần tử dầm (t.theo)

khai triển ma trận độ cứng phần tử [k] như sau: u

u

i 2

i u 33

j 2

j u 33

u

i 2

L 6 2 L 4

L 6 2 L 2

33

  k

i u 33 u

j 2

12  6 L  12

E I  3 L

j u 33

6 L  2 L 4

12      

     

Đối xứng

2

2

2

33

33

ui uj ui uj

2 y dF

I

33

trong đó:                         là mô men quán tính của mặt cắt ngang

 

F

lấy đối với trục 3 (là trục z vuông góc với mặt phẳng chứa dầm)

125

9

1 j i

5/30/2015

Phần tử dầm (t.theo)

– Do hệ tọa độ tổng thể trùng với hệ tọa độ địa phương nên:

U

U

U

U

i Y

i ZZ

j Y

j ZZ

U

i Y

L 6 2 L 4

U

i ZZ

33

K

  k

12  6 L  12

E I  3 L

U

j Y

L 6 2 L 2 6 L  2 4 L

U

j ZZ

12      

     

Đối xứng

Y

Y

Y

ZZ

ZZ

Ui Uj Ui Uj

126

Phần tử dầm (t.theo)

• Ví dụ 3.1.

Cho kết cấu dầm liên tục như hình vẽ:

X j i

P w

1 2 3 Eo, 2Io 1 2 Eo, Io

Eo = 200000MPa Io = 20000mm4 Lo = 4000mm P = 15000N w = 4N/mm

– Tìm các chuyển vị và góc xoay tại các gối – Vẽ biểu đồ mô men uốn trong hệ

127

10

Lo/2 Lo/2 Lo

5/30/2015

Phần tử dầm (t.theo)

Hệ có 6 bậc tự do:

– Bốn bậc tự do bằng 0 đã biết là: θ1, v1, v2 và v3

– Hai bậc tự do chưa biết là: θ2 và θ3

v1 = 0 v2 = 0 v3 = 0

– Quy ước dấu:

128

Phần tử dầm (t.theo)

u ẫ m ử t n ầ h p ố s

t ộ m o h c n e m ô m a r t g n ả B

129

11

θ3 θ2 θ1 = 0

5/30/2015

Phần tử dầm (t.theo)

Xác định lực nút phần tử dựa trên bảng tra nội lực phần tử mẫu:

– Phần tử 1

P

M  g

PL 1 8

PL 1 8

gM

gM

PL 1 8

M  0.5

PL 1 8

P 2

0.5M

– Phần tử 2

w

M  g

2 wL 2 12

2 wL 2 12

1 2 1 2 P 2

2 wL 2 12

gM

gM

L w 2

M  0.5

L w 2

3 2

2 wL 2 24

0.5M

130

131

12

3 2

5/30/2015

132

133

13

5/30/2015

134

135

14

5/30/2015

136

137

15

5/30/2015

138

139

16

5/30/2015

140

141

17

5/30/2015

142

143

18

5/30/2015

Phần tử dầm (t.theo)

75 N

1925N

200 N m

2367N m

2

3

2

1 100 N m

75 N

1925N

5333N m

w

P

7500N m

7500N m

5333N m

5333N m

2

3

1

2

0.5M

0.5M

7500N

7500N

8000N

8000N

144

Begin

(1). Tạo ma trận chỉ số nút [b]  (2). Xác định số ẩn số Sas. (3). Tạo ma trận số không [k]  có kích thước là [Sas*Sas]

t := t + 1

c t := j

i := 1

x := 1

Thuật toán sử dụng ma trận chỉ số [b] để thiết lập ma trận độ cứng tổng thể [Ko]

[Ko] := [k]

i <= Spt

‐

i := i + 1

x <= t

+ t := 0

Đưa ra [Ko]

+

k

k

kk

: 

,

,

bi c

bi c

c c , t x

x

bi c t

x

bi c t

End

T

{c} := [0,0,0,0] T   [kk] := [K] i {bi} := [b] (i)

‐

x < t

j := 1

+

k

k

kk

: 

‐

c c , t

x

j <= 4

bi bi , c c t

x

bi bi , c c t

x

+

‐

j := j + 1

x := x + 1

bi j = 0 +

145

19

‐

5/30/2015

Phần tử dầm (t.theo)

• Bài tập 3.1.

Cho kết cấu dầm liên tục như hình vẽ:

P w

1 2 3 Eo, 2Io 1 2 Eo, Io

Eo = 200000MPa Io = 20000mm4 Lo = 4000mm P = 15000N w = 4N/mm

– Tìm các chuyển vị và góc xoay tại các gối – Vẽ biểu đồ mô men uốn trong hệ

146

Phần tử dầm (t.theo)

• Bài tập 3.2.

Cho kết cấu dầm liên tục như hình vẽ:

Lo/2 Lo/2 Lo

P w

1 2 3 ko Eo, 2Io 1 2 Eo, Io

Eo = 200000MPa Io = 20000mm4 Lo = 4000mm ko = 10kN/m P = 15000N w = 4N/mm

– Tìm các chuyển vị và góc xoay tại các gối – Vẽ biểu đồ mô men uốn trong hệ

147

20

Lo/2 Lo/2 Lo

5/30/2015

Phần tử dầm (t.theo)

• Trường hợp phần tử Beam có xét đến biến dạng dọc:

– Nếu kể đến biến dạng dọc trục trong phần tử dầm thì mỗi nút thuộc phần tử có số bậc tự do là 3 => số bậc tự do của phần tử là 6.

– Ma trận độ cứng của phần tử dầm có xét biến dạng dọc được kết hợp giữa ma trận độ cứng của phần tử thanh dàn (chỉ chịu nén) và ma trận độ cứng của phần tử dầm (chỉ chịu uốn)

truss

beam

K

K

K

148

Phần tử dầm (t.theo)

Y

Y

Y

ZZ

ZZ

truss

beam

K

K

K

Ui Uj Ui Uj

X

X

i U U X

j X

U

i X

s

tr

K

 us

U

j X

1

AE L

1   

1    1 

U

U

U

U

i Y

i ZZ

j Y

j ZZ

U

i Y

L 6 2 L 4

beam

U

i ZZ

33

K

12  6 L  12

E I  3 L

U

j Y

Ui Uj X j i

L 6 2 L 2 6 L  2 4 L

U

j ZZ

12      

     

149

21

Đối xứng

5/30/2015

Phần tử dầm (t.theo)

Ma trận độ cứng của phần tử dầm (trong hệ tọa độ địa phương,  OXY ≡ o12) có xét đến biến dạng dọc trục:

U

U

U

U

U

U

i Y

i ZZ

j X

j Y

j ZZ

i X

0

0

0

0

U

i X

EA L

EA L

0

U

i Y

12 EI 3 L

0

U

i ZZ

6 EI 2 L EI 4 L

12 EI 3 L EI 6 2 L

6 EI 2 L EI 2 L

K

0

0

U

j X

EA L

U

j Y

12 EI 3 L

U

j ZZ

6 EI 2 L 4 EI L

                 

                

150

3.3. Phần tử khung phẳng 2D‐Frame

• Xét phần tử dầm chỉ chịu uốn

trong hệ tọa độ phẳng – Trong hệ tọa độ địa phương o12, chuyển vị v(x) của phần tử dầm chịu uốn được biểu diễn qua véc tơ chuyển vị nút như sau:

N x

  v x

  

    q  

trong đó:

T

T

v

 i

j

 j

q 1

q 2

q 3

q 4

   v q  i

151

22

Đối xứng

5/30/2015

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

– Trong hệ tọa độ tổng thể OXY

Y = Q5

Uj

X = Q4

các chuyển vị nút vi và vj có thể được phân tích thành các thành phần theo hai phương X và Y.

Uj

Y = Q2

Ui

X = Q1

Khi đó, nếu gọi véc tơ chuyển vị nút phần tử trong hệ tọa độ OXY là {Q}  thì:

U

i X

i U U Y

i ZZ

j X

j U U Y

j ZZ

   U Q 

α X Ui

T

T

   Q 

Q Q Q Q Q Q 6

1

2

3

4

5

152

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

– Quan hệ giữa {q} và {Q} như sau:

sin

cos

  

 

 

 

Q 1

Q 2

m Q l Q 1 2

sin

cos

  

 

 

 

Q 4

Q 5

m Q l Q 4 5

 q   1 q Q  2 3  q   3 q Q  4 6

      

Y = Q5

Uj

X = Q4

trong đó:

Uj

Y = Q2

Ui

X = Q1

α là góc nghiêng giữa trục phần tử o1 với trục nằm ngang OX.

153

23

α X Ui

5/30/2015

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

0 0

  q

   T Q

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

  T 4 6 

  q  4 1 

  Q   6 1 

m l  0

0 0

0 1

0

m l   0   0  

q q

Hoặc biểu diễn quan hệ {q}e và {Q}e dưới dạng ma trận: Q  1  Q   2   Q   3   Q  4   '  5  '   6

          

[T] được gọi là ma trận biến đổi trục tọa độ, trong đó l và m là các cosin chỉ phương của trục phần tử o1 trong hệ tọa độ tổng thể.

m l  0

0 0 1

0 0

0 0 0 0

sin 0

cos  0

0 0

0 0

0 1

0 0

 T

0 0

0 0 0 0

m l  0

0 0 1

0 0

0 0

sin 0

cos  0

0 0

0 1

     

     

     

     

154

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

Tương tự, quan hệ giữa lực nút trong hệ tọa độ địa phương {f}e và lực nút trong hệ tọa độ tổng thể {F}e dưới dạng ma trận:

  f  4 1 

 

  T  4 6 

  F  6 1 

– Xét phương trình cân bằng PT trong hệ tọa độ địa phương:

     f k q

  k T Q

   

  T F

T

T

k T Q

 T

  

   T 

 

  T F

T

K

k T Q

 T

   k T

TT 

  

    F 

155

24

5/30/2015

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

– Ma trận độ cứng phần tử dầm trong hệ tọa độ tổng thể OXY là

[K]beam được xác định như sau:

beam

T

K

 T

   k T

trong đó: [k] là ma trận độ cứng phần tử dầm trong tọa độ o12

u

u

u

i 2

i 33

j 2

j u 33

2

u

6

12

6

i 2

ui

uj

2

2

uj

33

L 2 L

4

33

  k

i u 33 u

L 6  12

E I  3 L

j 2

1

j

ui

33

i

Đối xứng

L 2 L 2 L 6  2 L 4

j u 33

12      

     

156

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

beam

T

K

Thực hiện các phép nhân ma trận:

 T

   k T

Ta được ma trận độ cứng của phần tử dầm trong hệ tọa độ tổng thể OXY như sau:

U

U

U

U

U

U

i X

i Y

i ZZ

j X

j Y

j ZZ

2

2

U

i X

U

i Y

U

m 12 6 m 12 12 6   lm 2 lm 2  12 l  12 l

2 L

i ZZ

beam

  6 

 L m  L l 

2

U

 12

j X

 L l lm 2

U

j Y

U

2 L

j ZZ

  6   6    4

 L m  L l  2 L  L m  L l 

157

25

4 6 6 2  K  EI 3 L lm  L m m 12   12  12 l 6 Đối xứng  12                     

5/30/2015

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

– Nhớ lại ma trận độ cứng tổng thể của phần tử thanh dàn trong

hệ tọa độ tổng thể OXY:

U

U

i X

i U Y

j X

j U Y

2

2

U

i X

l

l

cos

truss

lm 2 lm m

K

2

 m

sin

EA L

i U Y U

j X

l lm   2 lm m   2 l lm lm l   2 2 lm m lm m  

     

     

j U Y

158

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

hoặc viết lại dưới dạng tổng quát như sau:

U

U

U

U

i X

i Y

i ZZ

j X

j U U Y

j ZZ

2

2

U

i X

l

U

lm 2 m

 

i Y

U

truss

0 0 0

lm 2 m 0

0 0 0

i ZZ

K

l  lm  0 2

EA L

U

l

j X

U

lm 2 m

j Y

0 0 0

U

j ZZ

         

         

Uj Y

Uj X

Ui Y

l

cos

α

 m

sin

X

Ui X

159

26

Đối xứng

5/30/2015

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

• Phần tử khung phẳng (2D‐Frame)

– Là phần tử chịu kéo (nén) và uốn đồng thời;

Y

Uj

X

Uj

Y

• Mỗi phần tử khung phẳng có 2 nút; • Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do  Trong hệ tọa độ tổng thể OXY  các chuyển vị nút bao gồm: + Chuyển vị ngang Ui X + Chuyển vị đứng Ui Y + Chuyển vị xoay Ui ZZ = θi

Ui

X

 Trong hệ tọa độ địa phương o12

các chuyển vị nút bao gồm: + Chuyển vị dọc trục thanh: ui 1 + Chuyển vị thẳng góc với trục thanh: ui 2 + Chuyển vị xoay ui

33 = θi

160

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

– Các chuyển vị tại nút của phần tử sẽ gây ra 2 nhóm biến dạng

độc lập trong phần tử, cụ thể như sau:

Ui

Y

Uj

X

• Phần tử bị biến dạng dọc trục bởi các chuyển vị dọc trục thanh:  {ui (truss)

1 , uj

1}T

Uj

Y

• Phần tử bị biến dạng uốn bởi các

Ui

X

chuyển vị thẳng góc với trục thanh và các chuyển vị xoay:  {ui

(beam)

2 , θi , uj

2 , θj}T

– Do vậy, ma trận độ cứng phần tử khung phẳng (2D‐Frame)  trong hệ tọa độ tổng thể OXY là [K] được xác định như sau:

truss

beam

K

K

K

161

27

Ui

5/30/2015

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

– Ma trận độ cứng phần tử khung phẳng 2D‐Frame trong hệ tọa

độ tổng thể OXY là :

U

U

U

U

U

U

i X

i Y

j X

j Y

j ZZ

i ZZ

2

2

U

m

Al

2 m

Al

2 m

A

lm

A

lm

i X

I 6 L

I 12 2 L

I 12 2 L

I 12 2 L

I 12 2 L

I 6 L

  

   

  

  

  

   

  

2

2

U

i Y

l

A

lm

l

2 Am

l

2 Am

l

    I 6 L

I 12 2 L

   I 12 2 L

   I 12 2 L

    I 6 L

  

  

   

  

  

  

   

  

  

  

U

i ZZ

m

l

I 4

I 2

I 6 L

I 6 L

  

 K

E L

2

U

j X

A

lm

m

Al

2 m

       I 12 2 L

6 I L

   12 I 2 L

  

  

  

  

U

j Y

2

2 Am

l

l

   12 I 2 L

  

  

U

j ZZ

   6 I    L   4 I

   

                   

 m                

162

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

B

Hoặc có thể viết gọn hơn bằng cách đặt

12I 2 L

U

U

U

U

U

U

j Y

i X

i Y

i ZZ

j X

j ZZ

2

2

U

Al

2 Bm

Al

2 Bm

m

i X

 A B lm

 A B lm

BL 2

BL 2

  

  

  

  

2

2

U

i Y

l

l

2 Am Bl 

2 Am Bl 

 A B lm

BL 2

BL 2

  

  

  

  

U

i ZZ

4 I

m

l

2 I

K

BL 2

BL 2

  

  

  

  

E L

U

j X

2

Al

2 Bm

m

 A B lm

  

U

j Y

2

l

2 Am Bl 

Đối xứng

U

j ZZ

BL   2  BL 2 4 I

                 

 m                

163

28

Đối xứng

5/30/2015

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

• Trình tự giải bài toán khung phẳng

– (B1). Tính các ma trận độ cứng phần tử (theo hệ tọa độ tổng

thể) cho từng phần tử [K]e

– (B2). Xây dựng ma trận chỉ số nút [b]

– (B3). Sử dụng ma trận chỉ số nút [b] để thiết lập ma trận độ

cứng tổng thể của hệ đã kể tới điều kiện biên [Ko]

– (B4). Tính các véc tơ lực nút {F}e cho từng phần tử theo hệ tọa

độ tổng thể

– (B5). Sử dụng ma trận chỉ số nút [b] để thiết lập véc tơ lực nút

tổng thể {Fo} đã kể tới điều kiện biên

164

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

– (B6). Giải hệ phương trình:  [Ko] {Uo} = {Fo} để tìm các chuyển vị

nút chưa biết {Uo} theo hệ tọa độ tổng thể

– (B7). Từ các chuyển vị nút {Uo} và các chuyển vị nút bằng 0 đã biết (theo điều kiện biên của bài toán), thiết lập véc tơ chuyển vị nút của từng phần tử theo hệ tọa độ tổng thể {Q}e

– (B8). Tính các giá trị nội lực tại nút của phần tử (do riêng các chuyển vị nút gây ra) theo công thức sau:  {Fu}e = [K]e{Q}e

– (B9). Tính các giá trị nội lực tại nút của phần tử do riêng tải trọng cục bộ tác dụng lên các phần tử của hệ cơ bản gây ra:  {Fp}e = ‐ {F}e

165

29

5/30/2015

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

– (B10). Các giá trị nội lực cuối cùng tại nút của phần tử (theo hệ

tọa đô tổng thể) là tổng của 2 nguyên nhân trên và bằng:

{MV}e = {Fu}e + {Fp}e

Các giá trị của véc tơ {MV}e thực chất chỉ là các lực ngang, lực đứng và mô men tại 2 nút của phần tử theo hệ tọa độ tổng thể

i F X i F Y F

i ZZ

MV

e

j

j F X F Y F

j ZZ

           

          

166

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

– (B11). Vẽ biểu đồ mô men và lực cắt trong các phần tử

Do các giá trị của véc tơ {MV}e là các nội lực tại các nút của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể => Để vẽ được các biểu đồ nội lực cần quy đổi các giá trị nội lực trên về hệ tọa độ địa phương của phần tử. Tiến hành làm như sau:

 

N

i

 

i X i m F   X

i

F

 mv

e

j

N

j

 

j

 

j X j m F   X

j M

j

F

  V  i  M     V   

          

j ZZ

i  l F m F  Y  i l F  Y  i  ZZ  l F m F   Y  l F  Y  

          

167

30

5/30/2015

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

Hoặc có thể biểu diễn dưới dạng véc tơ như sau:

 mv

  T MV

e

e

trong đó, [T] là ma trận chuyển từ hệ tọa độ tổng thể sang hệ tọa độ địa phương:

m

0

0

0

0

m l

X

X

Y

j

i

j

Y i

;

l

m

0

0 1

0 0

0 0

0 0

L

L

 T

2

2

0

0

0

l

m

0

L

X

X

Y

i

j

j

Y i

0 0

0 0

0 0

m l  0 0

0 1

l     0      

        

168

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

w

169

31

“Nội lực trong khung” bằng “Nội lực do tải trọng cục bộ tác dụng lên khung bị chốt tại nút”  cộng với “Nội lực trong khung do các chuyển vị nút gây ra”

5/30/2015

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

• Ví dụ 3.2.

w P

3 2 2 E  2Io Lo 1

Cho hệ khung phẳng như hình vẽ – Phần tử 1 và 2 có cùng chiều dài Lo và mô đun đàn hồi Eo – Mô men quán tính của phần tử 1 là Io, của phần tử 2 là 2Io

E  Io 1

Yêu cầu: 1. Tìm các chuyển vị nút và các phản

lực tại nút.

2. Vẽ biểu đồ mô men uốn.

Eo = 200000MPa Ao = 6000mm2 Io = 500000mm4 Lo = 4000mm P = 15000N w = 3N/mm

170

171

32

Lo

5/30/2015

172

173

33

5/30/2015

174

175

34

5/30/2015

176

177

35

Xem giải thích ở  cuối ví dụ !

5/30/2015

178

179

36

5/30/2015

180

181

37

5/30/2015

182

183

38

5/30/2015

184

Giải thích cách tạo ma trận Kof

U

U

U

U

U

U

i X

i Y

j X

j Y

j ZZ

i ZZ

2

2

U

Al

2 m

A

lm

m

Al

2 m

A

lm

i X

I 12 2 L

I 12 2 L

I 6 L

I 12 2 L

I 12 2 L

I 6 L

  

  

  

   

  

   

  

2

2

U

i Y

l

2 Am

l

A

lm

l

2 Am

l

   I 12 2 L

    I 6 L

I 12 2 L

   I 12 2 L

    I 6 L

  

  

  

  

   

  

   

  

  

  

U

i ZZ

4 I

m

l

2 I

6 I L

6 I L

  

 K

E L

2

U

j X

A

lm

m

Al

2 m

       I 12 2 L

6 I L

   12 I 2 L

  

  

  

  

U

j Y

2

2 Am

l

l

   12 I 2 L

  

  

U

j ZZ

   6 I    L   4 I

   

                   

 m                

185

39

Đối xứng

5/30/2015

Giải thích cách tạo ma trận Kof

2

2

d

d

1 1 1

mm

  

i

j

N mm / mm

N mm

2

2

d

d

2

mm

1 2   

i

j

/ N mm mm

N mm

4

d

d

1 33 33

N

 

i

j

2 N mm mm mm

/ mm

2

2

d

d

2 2 4

mm

  

i

j

N mm / mm

N mm

4

d

d

2 33 66

N

 

i

j

2 N mm mm mm

/ mm

2

4

d

d

mm

33 33 1089 

N mm 

i

j

/ N mm mm

186

Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)

• Bài tập 3.3.

Cho hệ khung phẳng như hình vẽ Yêu cầu: 1. Tìm các chuyển vị nút và các phản

4

lực tại nút.

60o Eo Io

2. Vẽ biểu đồ mô men uốn.

P w 3 2 Eo 2Io Lo Eo Io

1

Eo = 200000MPa Ao = 6000mm2 Io = 500000mm4 Lo = 4000mm P = 15000N w = 3N/mm

187

40

Lo

5/30/2015

3.4. Phần tử khung không gian 3D‐Frame

• Định nghĩa phần tử khung không gian 3D‐Frame

– Là phần tử dầm thẳng có tiết diện không đổi mà trên mặt cắt

ngang của nó có thể tồn tại các thành phần nội lực sau:

• Lực dọc N1 • Mô men uốn trong 2 mặt phẳng quán tính chính là M22 và

M33

• Mô men xoắn theo trục của dầm M11 • Lực cắt theo 2 trục chính của mặt cắt ngang là V22 và V33.

• Chú ý: Do ảnh hưởng của biến dạng cắt là tương đối nhỏ

nên thường được bỏ qua => khi đó, trong ma trận độ cứng của phần tử sẽ không có thành phần liên quan đến biến dạng cắt.

188

Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo)

– Các thành phần nội lực trong phần tử khung không gian theo

hệ tọa độ địa phương

2

j

N

N

11

11

j

f 1 f

V

i f 1 f

V

V22 1 M11 2 3 M33 1 M22 V33 N11 M33 3 V22

2

22

i 2

22

j

f

V

f

V

3

N11

33 M

11

11

j f 11 f

M

i 3 33 i f M  11 f

M

j 22

22

i 22

22

f

M

f

M

j 33

33

i 33

33

          

          

189

41

M11 V33 M22

5/30/2015

Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo)

– Các chuyển vị nút của phần tử theo hệ tọa độ địa phương

2

11

33

2 uj uj 1 uj

3

1

22

3 uj uj uj

2

1

j u 1 u

q 1 q

j 2

2

ui ui

11

33

3

q 3 q

22

j u 3 j u 11 u

i u 3 i u 11 u

j 22

4 q 5

i 22

j u 33

q 7 q 8 q 9 q 10 q 11 q 12

i u 33

q 6

          

i   u 1  i u  2        

190

Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo)

• Véc tơ chuyển vị nút của phần tử 3D‐Frame

– Mỗi nút thuộc phần tử có 6 bậc tự do => phần tử 3D‐Frame có

12 bậc tự do.

T

  q

– Véc tơ chuyển vị nút phần tử theo hệ tọa độ địa phương {q}e q q q q q q q q q q 1 5

q 12

q 11

10

2

8

3

7

4

9

6

e

trong đó: • q1 và q7: là các chuyển vị dọc trục phần tử (trục 1) và chỉ

gây biến dạng dọc trục thanh

• q4 và q10: là các góc xoắn quanh trục của phần tử (trục 11)

và chỉ gây biến dạng xoắn trong thanh

• q2 và q8: là các chuyển vị thẳng theo phương trục 2 => gây

uốn trong mặt phẳng o12

191

42

ui ui ui ui

5/30/2015

Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo)

• q6 và q12: là các góc xoay quanh trục 33 => gây uốn trong

mặt phẳng o12

• q3 và q9: là các chuyển vị thẳng theo phương trục 3 => gây

uốn trong mặt phẳng o13

• q5 và q11: là các góc xoay quanh trục 22=> gây uốn trong

mặt phẳng o13

– Như vậy, 12 chuyển vị nút này gây ra 4 nhóm biến dạng độc

lập nhau

• Có thể xét riêng rẽ các nhóm biến dạng • Ma trận độ cứng [k]e của phần tử 3D‐Frame có kích thước

(12x12) sẽ được thiết lập từ 4 ma trận con tương ứng với 4  nhóm biến dạng kể trên.

192

Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo)

• Xây dựng ma trận độ cứng phần tử khung không gian

[k]e theo hệ tọa độ địa phương

 Ma trận độ cứng của bài toán biến dạng dọc trục:

Là ma trận độ cứng của phần tử dàn (Truss) trong tọa độ trục:

q 1

K

e

AE L

1   1 

q 7 1    1 

 Ma trận độ cứng của bài toán biến dạng xoắn:  Tương tự như đối với bài toán biến dạng dọc trục ta có

• Phần tử chịu xoắn cũng chỉ có 2 bậc tự do => có thể giả thiết hàm góc xoắn là đa thức bậc nhất θx(x) = a1 + a2x

193

43

5/30/2015

Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo)

N

  x

  N q

 x

x

q 4 q 10

• Hàm góc xoắn được nội suy theo các bậc tự do q4 và q10   

  

trong đó: [N] = ma trận các hàm dạng

N

x L

x L

 1  

  

  

  

  

  

• Trên mặt cắt ngang của phần tử chỉ tồn tại biến dạng góc

γyz và ứng suất tiếp τyz

r

  yz

d  x dx

(r = khoảng cách từ tâm đến điểm khảo sát)

yzG  

yz

194

44