Bài giảng Phương pháp tính: Chương 3 - Ngô Thu Lương

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

357
lượt xem 68
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Phương pháp tính - Chương 3: Nội suy" có cấu trúc gồm 3 phần cung cấp cho người học các kiến thức: Nội suy đa thức, nội suy Spline bậc 3, phương pháp bình phương tối thiểu. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp tính: Chương 3 - Ngô Thu Lương

Chương III : NOÄI SUY 1) Noäi suy ña thöùc 2) Noäi suy Spline baäc 3 3) Phöông phaùp bình phöông toái thieåu Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 1
1.1) Noäi suy ña thöùc theo Lagrange a) Noäi dung : Bieát caùc giaù trò yi = f ( xi ) cuûa haøm y = f ( x) taïi caùc ñieåm x i theo baûng Tìm haøm laïi haøm f ( x) Lôøi giaûi : Voâ soá haøm Tìm f ( x) = P( x) chæ laø ña thöùc baäc n thoûa P ( xi ) = yi Lôøi giaûi laø duy nhaát Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 2
Caùc böôùc tìm ña thöùc P (x) Böôùc 1 : Thieát laäp ña thöùc cô sôû Lagrange n ( x − xk ) L i ( x) = ∏ k = 0 , k ≠ i ( xi − x k ) Ví duï : L0 ( x) = ( x − x1)...(x − xi −1)(x − xi )..(x − xn ) = ( x0 − x1)...(x0 − xi −1)(x0 − xi )..(x0 − xn ) Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 3
Böôùc 2 : Coâng thöùc tính P(x) n P ( x ) = ∑ yi L i ( x ) = i=0 y 0 L 0 ( x ) + y1 L 1 ( x ) + ... + y n L n ( x ) b) Sai soá : f ( x) − P( x) ≤ M ( n +1) ≤ ( x − x0 )( x − x1 )....( x − x n ) ( n + 1)! Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 4
c) Nhaän xeùt : *) Soá moác noäi suy caøng lôùn thì sai soá caøng nhoû , tuy nhieân baäc cuûa ña thöùc seõ lôùn, tính toaùn seõ daøi . *)Sai soá phuï thuoäc vaøo M ( n +1) , thöïc teá khoâng bieát vì haøm f ( x) chöa bieát *)Ña thöùc noäi suy P (x) laø duy nhaát Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 5
Ví du ï : Tìm ña thöùc noäi suy P(x) töø baûng soá lieäu x0 = − 1 , x1 = 0 , x2 = 1 1 y0 = , y1 = 1 , y2 = 3 3 Tính gaàn ñuùng giaù trò cuûa bảng taïi x = 0.7 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 6
Giaûi : Ta tìm caùc ña thöùc Lagrange ( x − 0)( x − 1) x 2 − x L0 ( x) = = (−1 − 0)(−1 − 1) 2 [ x − (−1)](x − 1) x 2 − 1 L1( x) = = [0 − (−1)](0 − 1) −1 [ x − (−1)]( x − 0) 2 x +x L2 ( x) = = [1 − (−1)](1 − 0) 2 1 2 x + 4x + 3 2 P( x) = L0 ( x) + 1L1( x) + 3 L2 ( x) = 3 3 2.(0.7) 2 + 4.(0.7) + 3 P ( 0. 7 ) = = 2.26 3 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 7
d) Tyû sai phaân Tyû sai phaân baäc 0 cuûa f taïi x0 : f [ x0 ] = f ( x0 ) Tyû sai phaân baäc 1 cuûa f taïi x0 , x1 : f [ x 1 ] − f [ x0 ] f [ x0 , x 1 ] = x 1 − x0 Tyû sai phaân baäc 2 cuûa f taïi x 0 , x 1 , x 2 f [ x 1, x 2 ] − f [ x0 , x 1 ] f [ x0 , x 1, x2 ] = x 2 − x0 Töông töï cho tyû sai phaân baäc cao hôn Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 8
e) Baûng tyû sai phaân Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 9
f) Noäi suy Newton tieán theo baûng tyû sai phaân Ña thöùc P (x) coù theå tìm döôùi daïng P( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1) + .. .. + an ( x − x0 )( x − x1)..( x − xn −1) Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 10
1 2 2 2 2 4 P( x) = + ( x + 1) + ( x + 1)(x − 0) = x + x + 1 3 3 3 3 3 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 11
g) Noäi suy Newton luøi P( x) = a0 + a1( x − xn ) + a2 ( x − xn )(x − xn−1) + .. ... + an ( x − xn )( x − xn −1 )..( x − x1 ) a0 = f [ x n ] a1 = f [ xn , xn −1 ]. a 2 = f [ xn , xn −1 , xn − 2 ] ak = f [ xn , xn −1, ... xn − k +1, xn − k ] a n = f [ x n , x n −1 ,.. x3 , x 2 , x1 , x 0 ] Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 12
2 P ( x ) = 3 + 2( x − 1) + ( x − 1)( x − 0) 3 2 2 4 = 3 x + 3 x +1 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 13
2) Noäi suy Spline baäc 3 a) Noäi dung : Cho baûng soá lieäu Tìm moät haøm S (x) thoûa caùc ñieàu kieän : S (x) : Đi qua các điểm đã cho trong bảng S (x) laø ña thöùc baäc 3 treân moãi ñoaïn nhoû [ x j , x j +1] ( caùc ña thöùc naøy coù caùc heä soá khaùc nhau) Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 14
Goïi S j (x) laø ña thöùc treân moãi ñoaïn nhoû [ x j , x j +1] S j (x) thoûa caùc ñieàu kieän : a) S j ( x j ) = y j S j ( x j + 1) = y j +1 b) S /j ( x j + 1) = S / ( x j + 1) j +1 // c) S j ( x j + 1) = S // j +1( x j + 1) d) S0/ / ( x0 ) = Sn/ /−1 ( xn ) ñieàu kieän bieân töï nhieân Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 15
h j = x j +1 − x j a j = yj (c j + 1 − c j ) dj = 3h j ( a j + 1 − a j ) h j (c j + 1 + 2c j ) bj = − hj 3 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 16
Ñeå tìm c j ta giaûi töø heä Ax = b 1 0 0 0 0 0  h 2 ( h0 + h 1) h1 . . 0   0  0 h1 2 ( h 1 + h2 ) h2 . 0  A=  0 0 . . . 0  0 0 . hn − 2 2 ( hn − 2 + hn −1 ) hn −1    0 0 0 0 0 1   c0   0   c1   3 (a2 − a 1) − 3 (a 1 − a0 )     h1 h0    x= .   B =  .     c  .  3   n −1   ( a n − a n −1 ) − 3 ( a n −1 − a n − 2 )   c n   hn −1 hn − 2   0  Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 17
Ví duï : Noäi suy Spline baäc 3 cuûa baûng x0 = 0 x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 y0 = 0 y1 = 1 y2 = 4 y3 = 0 a0 = y0 = 0 a1 = y1 = 1 a2 = y2 = 4 a3 = y 3 = 0 Caùc heä soá ci tính theo heä phöông trình 1 0 0 0 c0   0  c0  0 1 4 1 0  c   6  c  3    1 =    1 =   0 1 4 1 c2  − 21 c2   − 6 0 0 0 1 c   0  c  0    3    3   b0 = 0 b1 = 3 b2 = 0 d0 = 1 d1 = −3 d2 = 2 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 18
Ta coù haøm : S ( x) =  1( x − 0)3 0 ≤ x ≤1   2 3 1 + 3( x − 1) + 3( x − 1) − 3( x − 1) 1≤ x ≤ 2  2 3 4 −6( x − 2) + 2( x − 2) 2≤ x ≤3 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 19
Spline với ñieàu kieän bieân raøng buoäc d ) S 0/ ( x0 ) = f '( x0 ) , S n/ −1 ( xn ) = f '( xn ) trong ñoù f ' ( x0 ) , f ' ( xn ) laø caùc ñaïi löôïng cho tröôùc 2h0 h0 0 0 0 0     h0 2(h0 + h 1) h1 . . 0   0 h1 2(h1 + h2 ) h2 . 0  A=    0 0 . . . 0   0 0 . hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1     0 0 0 0 hn−1 2hn−1  Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 20