Bài giảng Phương pháp tính: Chương 6 - TS. Nguyễn Quốc Lân

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

276
lượt xem 59
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp tính: Chương 6 trình bày phương pháp giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng. Nội dung chương này bao gồm: Ba dạng phương trình đạo hàm riêng cơ bản, phương trình Elliptic, bài toán Laplace, phương trình Parabolic, bài toán truyền nhiệt, sơ đồ hiện – ẩn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp tính: Chương 6 - TS. Nguyễn Quốc Lân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------------------- PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CHƯƠNG 6 GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2006)
NỘI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1- BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN 2 –PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC. BÀI TOÁN LAPLACE 3– PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC. BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT. SƠ ĐỒ HIỆN – ẨN
BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ∂u ∂u 2 2 Phương trình elliptic (tĩnh – static): + 2 = f ( x, y ) ∂x ∂y 2 2 ∂u 2∂ u Phương trình parabolic (truyền nhiệt): −a =0 ∂t ∂x 2 ∂ 2u ∂ 2u Phương trình hyperbolic (truyền sóng): − a2 2 = 0 ∂t 2 ∂x ( x, t + ∆t ) ∂u u ( x, t + ∆t ) − u ( x, t ) Xấp xỉ đạo hàm riêng: ( x, t ) ≈ ∆t ∂t ∆t ( x, t ) ∂ 2u u ( x + ∆x, y ) − 2u ( x, y ) + u ( x − ∆x, y ) ∆x ( x, y ) ≈ ∂x 2 ( ∆x ) 2 x − ∆x x x + ∆x P4 ∂ u ∂ u u ( P ) + u ( P2 ) + u ( P3 ) + u ( P4 ) − 4u ( P ) P 2 2 P P3 + 2≈ 1 1 ∂x ∂y 2 ( ∆x ) 2 P2
BÀI TOÁN ELLIPTIC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ptrình Poisson (f ≡ 0: Laplace) & điều kiện biên Dirichlet  ∂ 2u ∂ 2u ∆u = 2 ( x, y ) + 2 ( x, y ) = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ Ω ⊂ R 2  ∂x ∂y u ( x, y ) = g ( x, y ), ( x, y ) ∈ Γ = ∂Ω  ∂ 2u ∂ 2u Toán tử Laplace: u = u ( x, y ) ⇒ ∆u = 2 + 2 ∂x ∂y Giải bằng sai phân hữu Ω : ∆u = f ( x, y ) hạn: Chia nhỏ Ω . Tính xấp xỉ giá trị nghiệm u Γ : u = g ( x, y ) tại các điểm chia
MINH HỌA Ý TƯỞNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính giá trị nghiệm u(x, y) của bài toán sau:  ∂ 2u ∂ 2u ∆u = ∂x 2 + ∂y 2 = 2 y + 4 x, 1 < x < 4, 1 < y < 3  Ñieàu Kieän Bieân :  u ( x,1) = x 2 + 2 x, 1≤ x ≤ 4 ( *) u ( 4, y ) = 8 y 2 + 16 y, 1 ≤ y ≤ 3  u ( x,3) = 3 x 2 + 18 x, 1 ≤ x ≤ 4  u (1, y ) = 2 y 2 + y, 1≤ y ≤ 3 tại các điểm chia bên trong miền đang xét với bước chia cách đều ∆ x = ∆ y = 1
GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN ELLIPTIC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phân hoạch Ω : Chia nhỏ Ω bởi các đường thẳng // Ox, Oy ∆ x = ∆ y = h: Tạo lưới bước chia P2 cách đều h. Ký hiệu: P1, P2, P3, P4 P P P3 1 − 4 điểm kề P P4 ∆y Công thức xấp xỉ Laplacian ∆ u (công thức đạo hàm hướng tâm!) ∆x u ( P ) + u ( P2 ) + u ( P3 ) + u ( P4 ) − 4u ( P ) ∆u ( P ) ≈ 1 ( *) h2 Lần lượt thay Pk(x, y) vào phương trình elliptic, dùng (*) & điều kiện biên (giá trị u trên biên) ⇒ Hệ phương trình ẩn uk= u(Pk)
VÍ DỤ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ∂ 2u ∂x 2 + ∂ 2u ∂y 2 = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1  Giải bài toán u ( x,0) = 0, u ( x,1) = x 0 ≤ x ≤ 1 u (0, y ) = 0, u (1, y ) = y, 0 ≤ y ≤ 1  bởi lưới bước chia cách đều h = 1/3 trên 2 trục Ox và Oy Lưới 4 nút ẩn ⇒ 4 giá trị cần tìm. Đánh số, tính giá trị biên: 13 23 Nút 1: 1 3 + u3 + u2 − 4u1 = 0 P1 P2 0 23 Nút 2: 2 3 + u4 + u1 + 2 3 − 4u2 = 0 0 13 Nút 3: u1 + u4 − 4u3 = 0 P3 P4 Nút 4: u2 + u3 + 1 3 − 4u4 = 0 u=0 u=0
KẾT QUẢ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hệ phương trình Au = b với  4 − 1 − 1 0 0.33 0.2208 − 1 4 0 − 1 1.33  0.4429 [ A b] =   ⇒u =  − 1 0 4 −1 0  0.1104  0 − 1 − 1 4 0.33 0.2208     Chú ý: Phương trình Poisson ∆ u = f(x, y) (≠ Laplace: ∆ u = 0) 13 23 ∂ 2u ∂ 2u ∆u = 2 + 2 = x + y ⇒ ∆u ( P ) = f ( P ) 1 1 P1 P2 ∂x ∂y 0 23 1 0 + + u2 + u3 − 4u1 = f  ,  =1 0 13 3 1 2 P3 P4 ⇒   1 3 3 9 u =0 u =0
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài toán truyền nhiệt 1 chiều (đkiện biên + đk ban đầu) ∂u ∂ 2u ( x, t ) − a 2 2 ( x, t ) = f ( x, t ), 0 < x < 1, t > 0 ∂t ∂x u (0, t ) = u (1, t ) = 0, t > 0 u ( x,0) = u0 ( x), 0 ≤ x ≤ 1 t u=0 u=0 Miền Ω = { (x,t) | 0 ≤ x ≤ 1 , t ≥ 0 Ω } Phân hoạch Ω : Lưới theo x độ ∆t dài ∆ x, theo t độ dài ∆ t ⇒ Các ∆x đường thẳng x = i ∆ x, t = k ∆ t u0 ( x ) 1 x Xấp xỉ ∂ u/∂ t, ∂ u/ ∂ x & ĐK biên, đầu ⇒ Giá trị u tại điểm chia
MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN TIẾN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ∂u ∂ 2u  ∂t ( x, t ) − ∂x 2 ( x, t ) = xt , 0 < x < 1.5, t > 0   u (0, t =u (1.5, ) = 0, t > 0; u ( x,0 = x15 x ) ,  0  x ≤1.5   )   t      )  ( . − ≤    Ñieàu Bieân=0 & x =1.5 Kieän :x Kieän : t = 0 Ñieàu Ñaàu Xây dựng công thức tính u(1) (mức thời gian 1) theo u(0) với ∆ t = 0.2, ∆ x = 0.5 bởi: Sai phân tiến theo t từ mốc thời gian 0 t 0 u u 1 0 ∂u 1 u1 − 0.5 1 0.2 1 Tiến: 2 ( 0.5,0) ≈ ∂t 0.2 u ( 0) 0 0.5 0.5 0 ∂ 2u 0.5 − 2 × 0.5 + 0 ( 0.5,0) ≈ x = 0 x = 0.5 x = 1.0 x = 1.5 ∂x 2 ( 0.5) 2 ∂u ∂ 2u u1 − 0.5 − 0.5 1 (0.5,0) − 2 (0.5,0) = 0.5 × 0 ⇒ − = 0 ⇒ u1 = 0.1 1 ∂t ∂x 0.2 0.52
MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN LÙI ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ∂u ∂ 2u  ∂t ( x, t ) − ∂x 2 ( x, t ) = xt , 0 < x < 1.5, t > 0   u (0, t =u (1.5, ) = 0, t > 0; u ( x,0 = x15 x ) ,  0  x ≤1.5   )   t      )  ( . − ≤    Ñieàu Bieân=0 & x =1.5 Kieän :x Kieän : t = 0 Ñieàu Ñaàu Xây dựng công thức tính u(1) (mức thời gian 1) theo u(0) với ∆ t = 0.2, ∆ x = 0.5 bởi: Sai phân lùi theo t từ mốc thời gian 1 t 0 u u 1 0 ∂u1 0.5 − u11 0.2 1 Lùi: 2( 0.5,0.2) ≈ ∂t − 0.2 u ( 0) 0 0.5 0.5 0 ∂ 2u u1 − 2u1 + u0 1 1 ( 0.5,0.2) ≈ 2 x = 0 x = 0.5 x = 1.0 x = 1.5 ∂x 2 ( 0.5) 2 ∂u ∂ 2u 0.5 − u1 u1 − 2u1 1 1 (0.5,0.2) − 2 (0.5,0.2) = 0.5 × 0.2 ⇒ − 2 2 = 0.1 ∂t ∂x − 0.2 0.5