intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 18: Ứng dụng tích phân để tính thể tích

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST
Báo xấu
1
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 môn Toán - Chuyên đề 18: Ứng dụng tích phân để tính thể tích" hỗ trợ học sinh luyện tập các dạng bài tính thể tích vật thể bằng phương pháp tích phân. Tài liệu bao gồm phần lý thuyết trọng tâm, ví dụ minh họa từ sách giáo khoa, bài tập tự luận, trắc nghiệm nhiều mức độ, bài đúng sai và câu hỏi trả lời ngắn. Đây là một trong những chủ đề quan trọng thường xuyên xuất hiện trong đề thi. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu chuyên đề này để nắm chắc kỹ năng tính thể tích bằng tích phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 18: Ứng dụng tích phân để tính thể tích

  1. CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ 18. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/ Để đảm bảo quyền lợi cho giáo viên đã mua tài liệu, thì nội dung file pdf này bên mình sẽ cắt giảm đi số lượng câu hỏi so với file thực tế. PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ Công thức tính thể tích vật thể Cho một vật thể trong không gian Oxyz . Gọi  là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x  a , x  b . Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S ( x ) . Giả sử S ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] . Khi đó thể tích V của phần vật thể  được tính bởi công thức b V   S ( x)dx a Ví dụ 1: Tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h . Giải Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ và hai đáy nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x  0 và x  h . Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x (0  x  h ) cắt khối lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không đổi là S ( x )  S . h h h Do đó, thể tích của khối lăng trụ là V   S ( x)dx   S dx  Sx 0  Sh. 0 0 Ví dụ 2: Tính thể tích của khối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh L và chiều cao là h . Giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Chọn trục Ox sao cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và trục đi qua tâm của đáy. Khi đó, đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng vuông góc với Ox tại x  h . Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x (0  x  h) , cắt khối chóp theo mặt cắt là hình vuông có cạnh là a . a x 2 L Theo định lí Thalès, ta có  , suy ra a  x . h L h 2 L2 Do đó, diện tích của mặt cắt này là S ( x)  2 x 2 . h h h h L2 L2 x3 1 Vậy thể tích của khối chóp này là V   S ( x)dx   2 x 2 dx  2  L2 h . 0 0 h h 3 0 3 Chú ý. Bằng ứng dụng của tích phân, người ta chứng minh được thể tích của khối chóp bất kì 1 bằng diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của nó. 3 Công thức tính thể tích của khối tròn xoay Cho hàm số f ( x ) liên tục, không âm trên đoạn [ a; b ] . Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x  [ a; b ] được một hình tròn có bán kính f ( x ) . b Thể tích của khối tròn xoay này là V    f 2 ( x)dx a Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  1 . Giải Thể tích khối tròn xoay cần tính là 1 1 1 1 2 2  x2  V    f ( x)dx    ( x ) dx    x dx   0 0 0 2 0 2 Ví dụ 4: Tính thể tích của khối cầu bán kính R . Giải Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Khối cầu bán kính R có thể xem là vật thể sinh ra khi quay quanh trục hoành nửa hình tròn giới hạn bởi đồ thị hàm số y  R 2  x 2 ( R  x  R) , trục hoành và hai đường thẳng x   R, x  R . Do đó, thể tích của khối cầu bán kính R là R 2 R V   R R2  x2  dx    R R 2   x 2 dx R  x3  4    R 2 x     R3 .  3  R 3 PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1. Tính thể tích khối tròn xoay Câu 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: x a) y  cos , y  0, x  0, x   ; 2 2 b) y  x  2 x, y  0, x  0, x  2 . Câu 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số f ( x)  x , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  2 . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox . Câu 3. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox : a) y  2 x , y  0, x  1, x  4 ; b) y  4 x, y  x3 , x  0, x  2 . Câu 4. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  1 , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành. Câu 5. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi đường parabol y  x 2  3x  2 , trục hoành và các đường thẳng x  1 ; x  2 . Câu 6. Cho đồ thị hàm số y  (1,5) x và khối tròn xoay như Hình. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường nào để khi quay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay như Hình? b) Tính thể tích khối tròn xoay đó. Giải a) Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  (1,5) x , trục hoành và các đường thẳng x  1, x  2 . b) Thể tích khối tròn xoay đó là: 2 2 2 x 2 2 x 1,52 x  45 V     (1, 5)  dx     (1, 5)  dx       . 1 1 2 ln(1,5) 1 32 ln(1,5) x ~!Câu 7. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos , trục hoành và hai đường thẳng 2  x  0, x  . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox . 2 Câu 8. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2x , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  2 . a) Tính diện tích S của hình phẳng H . b) Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox . Câu 9. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  x 2  2 x , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  2 . a) Tính diện tích S của hình phẳng H . b) Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox . Câu 10. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình thang OABC có A(0;2), B(4;1) và C(4;0) như Hình. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác OABC quanh trục Ox . Câu 11. Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  2 x3 , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  1 . a) Tính diện tích của D . b) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Câu 12. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y  x 2 và y  x (Hình). a) Tính diện tích của D . b) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox . Câu 13. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  1  x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  1 quanh trục Ox . Câu 14. (Mã 110 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  sin x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x   . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? Câu 15. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng 1  H  xác định bởi các đường y  x3  x2 , y  0 , x  0 và x  3 quanh trục Ox 3 Câu 16. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2  2 x , trục hoành và đường thẳng x  1 . Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi  H  khi quay  H  quanh trục Ox . Câu 17. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hình phẳng  D  được giới hạn bởi hai đường y  2  x 2  1 ; y  1  x2 . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do  D  quay quanh trục Ox . NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 2. Ứng dụng toán thực tế Câu 27. Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số 1 2 3 y x  x  5(0  x  30)( x, y tính theo cm ) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục hoành 175 35 Ox . Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu cm3 đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm . Câu 28. Cô Hạnh đổ bê tông một đường đi trong vườn (phần được tô màu) với kích thước được cho trong Hình. Biết rằng đường cong AB được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong DC nhận được từ đường cong AB bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên 2 m . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Ngoài ra, cô Hạnh quyết định đổ lốp bê tông dày 15 cm và giá tiền 1m3 bê tông là 1080000 đồng. Tính số tiền cô Hạnh cần dùng để đổ bê tông con đường đó. Câu 29. Xét chiếc chén trong bộ ấm chén uống trà ở phần mở đầu, bạn Dương ước lượng được rằng chiếc chén được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x )  0,14 x 3  0,87 x 2  1,92 x  0,85 , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  3 quay quanh trục Ox (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét). Tính thể tích của chiếc chén (làm tròn đến hàng đơn vị của centimét khối). Câu 30. Sau khi đo kích thước của thùng rượu vang (Hình), bạn Quân xác định thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 2 y  0, 011x  0, 071x  40, trục Ox và hai đường thẳng x  35, x  35 quay quanh trục Ox . Tính thể tích thùng rượu vang đó, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét. NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHÓM CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Câu 1. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b ( a  b ) . Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay D quanh trục hoành là: b b b b 2 2 2 A. V     f ( x) dx . B. V  2   f ( x ) dx . B. V   2   f ( x) dx . D. V   2  f ( x)dx . a a a a 1 Câu 2. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  , trục hoành và hai đường thẳng x x  1, x  4 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox là: 4 4 4 4 1 1 1 2 1 A. V    dx . B. V   2 dx . C. V    2 dx . D. V    2 dx . 1 x 1 x 1 x 1 x Câu 3. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   sin x , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x   . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng D quay xung quanh trục Ox là:     2 2 2 A. V    |sin x | dx B. V    sin x dx . C. V    ( sin x)dx . D. V    sin x dx . 0 0 0 0 Câu 4. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  2 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay xung quanh trục Ox là: 2  2 2 2 2 A. V    x dx . B. V    x dx . C. V    x dx . D. V    x dx . 1 0 1 1 Câu 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  2 quay quanh trục Ox được khối tròn xoay có thể tích tính theo công thức là: 2 2 2 2 A.  x dx . B.   x 2 dx . C. 2  x dx . D.   x dx . 0 0 0 0 Câu 6. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  1 , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  2 quanh trục hoành là 2 2 2 2 A. V   ( x  1)2 dx . B. V    ( x  1)2 dx . C. V   |x  1| dx . D. V    |x  1| dx . 1 1 1 1 Câu 7. Cho một vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x  1 và x  1 . Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x( 1  x  1) cắt vật thể đó theo một mặt cắt là hình vuông có cạnh bằng 1  x 4 . Thể tích của vật thể đó bằng 4 4 8 8 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 8. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x )  x  2 , trục hoành và hai đường thẳng x  3, x  4 . Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành là 4 4 A. V   |x  2 | dx . B. V    x 2  4 x  4 dx . 3 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 4 4 C. V    |x  2 | dx . D. V     x 2  4 x  4 dx . 3 3 Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x , y  0, x  0 và x  1 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng 1 1 1 1 A.   e 2 x dx . B.  e x dx C.  e x dx . D.  e 2 x dx . 0 0 0 0 2 Câu 10. (Mã 103 2018) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x  3 , y  0 , x  0 , x  2 . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 A. V    x 2  3 dx B. V     x 2  3 dx 0 0 2 2 2 2 C. V    x  3 dx 2 D. V     x 2  3 dx 0 0 Câu 11. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  1 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0  x  1) thì được thiết diện là hình vuông có cạnh bằng ( x  1) . 3 7 7 3 A. V  . B. V  . C. V  D. V  . 2 3 3 2 Câu 12. Cho phần vật thể (T ) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x  0 và x  2 . Cắt phần vật thể (T ) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0  x  2) , ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2  x . Tính thể tích V của phần vật thể (T ) . 4 3 A. V  . B. V  . C. V  4 3 . D. V  3 . 3 3 Câu 13. Gọi ( D ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x , y  0, x  0 và x  2 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D ) quanh trục Ox được định bởi công thức 2 2 2 2 x 1 x 1 x A. V    2 dx . B. V   2 dx . C. V   4 dx . D. V    4 x dx . 0 0 0 0 Câu 14. Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos x , trục hoành và các đường thẳng  x  0, x  . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục Ox . 2 A. V  2 2 . B. V   . C. V  2 . D. V   2 . Câu 15. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x , trục hoành và x  9 quay xung quanh trục Ox . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành. 27 41 40 A. V  . B. V  13 . C. V  . D. V  . 2 3 3  Câu 16. Cho hàm số y  cos x với 0  x  , có đồ thị là ( H ) như hình vẽ bên, quay hình ( H ) quanh 2 trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu? Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 2  A.  2 . B. . C. . D.  . 4 4 Câu 17. (Mã 105 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  e x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x  1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V    e2  1  B. V  e2  1 C. V  e 2 D. V    e2  1  2 2 3 2 Câu 18. (Mã 104 2017) Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y  x 2  1 , trục hoành và các đường thẳng x  0, x  1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 4 4 A. V  2 B. V  C. V  2 D. V  3 3 Câu 19. (Mã 123 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  cos x , trục hoành và các  đường thẳng x  0, x  . Khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích 2 V bằng bao nhiêu? A. V  (   1) B. V    1 C. V    1 D. V  (   1) NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT NHÓM CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI Câu 33. (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng 2024) Cho hai đường tròn  O1 ;5  và  O2 ;3  cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn  O2 ;3  . Gọi  D  là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần tô dấu chấm như hình vẽ). Quay  D  quanh trục OO2 ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay 1 được tạo thành. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A. V  36 . 68 B. V  . 3 14 C. V  . 3 40 D. V  . 3 Câu 34. (Cụm Hải Dương 2024) Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 8cm và một hình tròn có bán kính 5cm được xếp chồng lên nhau sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ bên. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY . 260 3 290 3 A. V  cm . B. V  cm . 3 3 580 3 520 3 C. V  cm . D. V  cm . 3 3 Câu 35. (Sở Hưng Yên 2024) Một người có miếng đất hình tròn có bán kính bằng 5 m . Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được 100 nghìn. Tuy nhiên cần có một khoảng trống để dựng một cái chòi và để đồ dùng nên người này bớt lại một phần đất nhỏ không trồng cây (phần màu trắng như hình vẽ), trong đó AB  6 m . Hỏi khi thu hoạch cây thì người này thu được bao nhiêu tiền? A. 3722 nghìn đồng. B. 3723 nghìn đồng. C. 7445 nghìn đồng. D. 7446 nghìn đồng. Câu 36. (Sở Phú Thọ 2024X) Cho hai đường tròn  O1 ;10  và  O2 ; 6  cắt nhau tại hai điểm A , B sao cho AB là một đường kính của đường tròn  O2  . Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần tô đậm như hình vẽ). Quay hình ( H ) quanh trục O1O2 ta được một khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bằng Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 608 400 320 680 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 37. Cho hai mặt cầu  S1  ,  S 2  có cùng bán kính R  3 thỏa mãn tính chất tâm của  S1  thuộc  S 2  và ngược lại. Tính thể tích V phần chung của hai khối cầu tạo bởi  S1  ,  S 2  . 45 45 45 45 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 8 4 4 8 Câu 38. (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y  x và y  x 2 quay quanh trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng   2 4 A. . B. . C. . D. . 6 3 15 15 NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT PHẦN D. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI Câu 1. Cho vật thể tròn xoay như ở Hình. Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau: Mệnh đề Đúng Sai a) Vật thể được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) và hai đường thẳng x  a , x  b quay quanh trục Ox b) Vật thể được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b quay quanh trục Ox c) b Thể tích của vật thể được tính theo công thức V    f ( x)dx a d) b 2 Thể tích của vật thể được tính theo công thức V     f ( x)  dx a Câu 2. Cho các hàm số y  f ( x ), y  g ( x ) liên tục trên đoạn [0;1] và có đồ thị như hình bên. Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f ( x ), y  g ( x ) và hai đường thẳng x  0, x  1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau: Mệnh đề Đúng Sai a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục hoành và 1 hai đường thẳng x  0, x  1 là S   f ( x)dx 0 b) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  1 quanh 1 trục hoành là V   f 2 ( x)dx 0 c) 1 Diện tích hình phẳng ( H ) là S    f  x   g  x  dx .   0 d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) quanh trục Ox là 1 V     f 2 ( x)  g 2 ( x) dx.   0 x2 Câu 3. Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  , x  0, x  4 . 8 Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau: Mệnh đề Đúng Sai a) 8 Diện tích hình phẳng là . 3 b) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  0, x  0, x  4 quanh trục Ox là V1  8 c) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x2 16 y  , y  0, x  0, x  2 quanh trục Ox là V2  8 5 d) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox là 24 V 5 x 1 Câu 4. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x)  , trục hoành và hai đường x thẳng x  2, x  6 . Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau: Mệnh đề Đúng Sai a) Diện tích hình phẳng ( H ) là S  4  ln 3 . b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x )  1 , trục hoành và hai đường thẳng x  2; x  6 là S  2ln 3 . c) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) quanh trục Ox là (13  6ln 3) V . 3 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) và các đường thẳng y  1, x  2, x  6 quanh trục 1  6ln 3 Ox là V  . 3 Câu 5. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y  2 x 2  C1  , y 2  4 x  C2  . Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau: Mệnh đề Đúng Sai a) Các đường  C1  và  C2  đều đi qua hai điểm O (0;0) và M (1; 2) . b) 2 Diện tích của hình phẳng ( H ) là S   2 x 2  2 x dx . 0 c) Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) quanh trục 1   hoành là V    4 x  4 x 4 dx 0 d) V a a Nếu    (với là phân số tối giản) thì 2a  b  17 . S b b Câu 6. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây. Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục hoành và các đường thẳng x  1, x  4 . Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau: Mệnh đề Đúng Sai a) 4 Diện tích S của hình phẳng ( H ) là S   | f ( x) | dx . 1 b) 1 4 Diện tích S của hình phẳng ( H ) là S   f ( x) dx   f ( x) dx . 1 1 c) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F (1)  F ( 1)  F (4) . d) Thể tích vật thể được tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành là 4 2 V    f  x   dx .   1 Câu 7. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x)  2e x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x  1 . Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau: Mệnh đề Đúng Sai a) x  f ( x)dx  2e  C b) 1 e2  f ( x)dx  0 e c) Diện tích của hình phẳng ( H ) bằng 2  2 e d) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành bằng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2 2  2 e Câu 8. Cho hàm số f ( x)   x 2  1. Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau: Mệnh đề Đúng Sai a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x ) và Ox là nghiệm của phương trình f ( x )  0 b) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt c) Nếu D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox thì khối tròn xoay có được khi quay D xung quanh Ox một vòng có thể tích V được 1 2   tính theo công thức V   1  x 2 dx 1 d) Nếu D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox thì khối tròn 16 xoay có được khi quay D xung quanh Ox một vòng có thể tích bằng 15 1 Câu 9. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x , y  x và hai đường thẳng 2 x  0, x  4 . Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau: Mệnh đề Đúng Sai a) Gọi V1 là thể tích của khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  0, y  x , x  0, x  4 quanh trục Ox . Khi đó, 4 V1    x dx . 0 b) Gọi V2 là thể tích của khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới 1 hạn bởi các đường y  0, y  x , x  0, x  4 quanh trục Ox . Khi đó, 2 4 1 V2   x dx . 0 4 c) Giá trị của biểu thức V1  V2 bằng 12 . d) Một vật thể A có hình dạng được tạo khi quay hình phẳng D quanh trục Ox (đơn vị trên hai trục tính theo centimét). Thể tích của vật thể đó (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị centimét khối) là 37,7 cm3 . 1 Câu 10. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đường cong y  f ( x)  x3  x 2 và trục hoành. Các mệnh 3 đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Hàm số y  f ( x ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. b) x4 x3  f ( x)dx   C. 12 3 c) 9 Diện tích hình phẳng ( H ) bằng . 2 d) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox (làm tròn đến hàng phần chục) bằng 2,3 (đơn vị thể tích). NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025   Câu 25. Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA  a nằm trên tục Ox và     0     . Gọi  AOB  2 là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox . Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Phương trình đường thẳng OB là y  x  tan  . b)   a3 Khi   thì thể tích V của khối  là . 4 3 c)  a3 Khi tan   cot  thì thể tích V của khối  là . 3 d) 4 a 3 1 Khi thể tích V của khối  là thì giá trị cos   . 3 2 TRẢ LỜI NGẮN Câu 1. Cho khối tròn xoay như Hình. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bởi hình phẳng cho ở Hình khi quay quanh trục Ox (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần mười). Trả lời: ………….. Câu 2. Một khối bê tông cao 2 m được đặt trên mặt đất phẳng. Nếu cắt khối bê tông này bằng mặt phẳng nằm ngang, cách mặt đất x ( m)(0  x  2) thì được mặt cắt là hình chữ nhật có chiều dài 5 m, chiều rộng (0,5) x ( m) (Hình). Tính thể tích của khối bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối). Trả lời: ………….. 3 Câu 3. Một bình chứa nước dạng như hình có chiều cao là dm. Nếu lượng nước trong bình có 2 3 chiều cao là x (dm) thì mặt nước là hình tròn có bán kính 2  sin x (dm) với 0  x  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Tính dung tích của bình (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của đềximét khối). Trả lời: ………….. Câu 4. Một bể cá có dạng là một phần hình cầu được tạo thành khi cắt hình cầu bán kính 2 dm bằng mặt phẳng cách tâm của hình cầu 1 dm (Hình). Tính dung tích của bể cá (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của đềximét khối). Gợi ý: Có thể coi bể cá là khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  4  x 2 với 2  x  1 , trục hoành và đường thẳng x  1 quanh trục hoành. Trả lời: ………….. Câu 5. Khi sử dụng phần mềm mô phỏng để thiết kế một chậu cây, người ta quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  2 , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  4 quanh trục hoành. Biết đơn vị trên các trục toạ độ là đềximét. Thể tích của chậu cây (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) bằng bao nhiêu đềximét khối? Trả lời: ………….. Câu 6. Một chi tiết máy được thiết kế bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  4 x  5 , trục hoành và các đường thẳng x  1, x  4 quanh trục hoành. Biết đơn vị trên các trục tọa độ là centimét. Thể tích của chi tiết máy đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) bằng bao nhiêu centimét khối? Trả lời: ………….. Câu 7. Một vật trang trí có dạng là khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền ( R ) (phần gạch chéo trong hình bên) quanh trục AB . Miền ( R ) được giới hạn bởi các cạnh AB , AD của hình vuông ABCD và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng 1 cm với tâm lần lượt là trung điểm các cạnh BC , AD . Thể tích của vật trang trí đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) bằng bao nhiêu centimét khối? (Trích đề Minh hoạ tốt nghiệp THPT năm 2024). Trả lời: ………….. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Câu 8. Một thùng dầu bị rò rỉ từ lúc 13 giờ với tốc độ rò rỉ là v(t )  16  3t (lít/giờ), trong đó t (giờ) là thời gian tính từ khi bắt đầu bị rò rỉ. Khi đó V (t ) (lít) là thể tích dầu bị mất đi thoả mãn V  (t )  v(t ) . Giả sử V1 là thể tích dầu bị mất đi trong khoảng thời gian từ 13 giờ đến 16 giờ và V2 là thể tích dầu bị mất đi trong khoảng thời gian từ 16 giờ đến 19 giờ. Tính V2  V1 (theo đơn vị lít). Trả lời: ………….. Câu 9. Một cái chậu cao 16 cm. Khi đổ nước vào chậu, nếu độ cao của nước là x ( cm ) (0  x  16) thì mặt thoáng của nước là hình tròn bán kính r  9  x (cm) . Tính dung tích của chậu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của lít). Trả lời: ………….. Câu 10. Một cái màn chụp có dạng như hình vẽ bên. Biết rằng mặt cắt của cái màn theo mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy và cách mặt đáy một khoảng x( m) , 0  x  2 , là một hình vuông cạnh bằng 4  x 2 ( m) . Thể tích của cái màn là bao nhiêu mét khối? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.) Trả lời: ………….. Câu 11. Tính thể tích của vật thể  , biết đáy của  là hình tròn bán kính 2 và các măt cắt vuông góc ̆ với mặt đáy là những hình vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) Trả lời: ………….. Câu 12. Một cột bê tông hình trụ có chiều cao 9 m. Nếu cắt cột bê tông bằng mặt phẳng nằm ngang x cách chân cột x( m) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính 1  ( m) với 0  x  9 . Tính thể tích 4 của cột bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối). Trả lời: ………….. Câu 13. Một chiếc bát thuý tinh có bề dày của phần xung quanh là một khối tròn xoay, khi xoay hình phẳng D quanh một đường thẳng a bất kì nào đó mà khi gắn hệ trục toạ độ Oxy (đơn vị trên trục là decimét) vào hình phẳng D tại một vị trí thích hợp, thì đường thẳng a sẽ trùng với trục 1 Ox . Khi đó, hình phẳng D được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x  , y  x và hai đường x thẳng x  1, x  4 (Hình). Thể tích của bề dày chiếc bát thuỷ tinh đó bằng bao nhiêu decimét khối? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trả lời: ………….. Câu 14. (Chuyên Vinh 2024) Một vât trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền ( H ) (phần màu xám trong hình vẽ bên) quanh trục AC . Biết rằng AC  2 cm, B là trung điểm của AC . Miền ( H ) được giới hạn bởi đoạn thẳng BC và các cung tròn bán kính 1 cm có tâm A và B . Tính thể tích của vật trang trí đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Trả lời: ………….. Câu 15. Cho hình thang cong ( H ) giới hạn bởi các đường y  x , y  0, x  1, x  7 . Đường thẳng x  k với 1  k  7 chia ( H ) thành hai phần là  S1  và  S2  quay quanh trục Ox ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V1 và V2 . Xác định k để V1  2V2 . (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Trả lời: ………….. NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Câu 45. (Sở Tiền Giang 2024) Khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  log 2 x, y  0 và x  4 xung quanh đường thẳng x  4 thu được khối tròn xoay có thể tích gần nhất với giá trị nào sau đây? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) Trả lời: ………….. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ 18. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/ Để đảm bảo quyền lợi cho giáo viên đã mua tài liệu, thì nội dung file pdf này bên mình sẽ cắt giảm đi số lượng câu hỏi so với file thực tế. PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1. Tính thể tích khối tròn xoay Câu 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: x a) y  cos , y  0, x  0, x   ; 2 2 b) y  x  2 x, y  0, x  0, x  2 . Lời giải a) Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành là:    x 1  cos x  2 V    cos 2 dx    dx  ( x  sin x )  (dvtt). 0 2 0 2 2 0 2 b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành là: 2 2 2 2  x5 4  16  2  V    x  2 x dx      x  4 x  4 x dx     x 4  x 3   4 3 2 (dvtt). 0 0  5 3  0 15 Câu 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số f ( x)  x , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  2 . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox . Lời giải Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x)  x , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  2 , quay quanh trục Ox là: 2 2 2 x3  8 1  7 V    x dx       . 1 31 3 3 3 Câu 3. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox : a) y  2 x , y  0, x  1, x  4 ; b) y  4 x, y  x3 , x  0, x  2 . Lời giải a) Thể tích cần tính là 4 4 4 V    (2 x ) 2 dx    4xdx   2 x 2  30 1 1 1 b) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Nhận xét: Đồ thị hàm số y  4 x nằm phía trên đồ thị hàm số y  x3 so với trục hoành, với x [0;2] . Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 128 y  4 x, y  0, x  0, x  2 quanh trục Ox là V1    (4 x)2 dx    16 x 2 dx  0 0 3 Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 2 128 3 y  x , y  0, x  0, x  2   quanh trục Ox là V2    x3 dx    x 6 dx  7 0 0 512 Thể tích cần tính là V  V1  V2  21 Câu 4. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  1 , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  1 . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành. Lời giải Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D , giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  1 , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  1 quanh trục hoành là 1 1 1  4  2  V    x  1 dx    x 3  x    3 0 3 0 4 Vậy thể tích khối tròn xoay là V   . 3 Câu 5. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi đường parabol y  x 2  3x  2 , trục hoành và các đường thẳng x  1 ; x  2 . Lời giải 2 2  Thể tích khối tròn xoay tạo thành là V     x 2  3 x  2  dx  (đvtt). 1 30 Câu 6. Cho đồ thị hàm số y  (1,5) x và khối tròn xoay như Hình. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
13=>1