Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 1 -
MỤC LỤC
Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản
------------------------------------------------------------------ 5
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 5
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 8
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác
-------------------------- 32
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 33
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 35
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 56
C
– Phương trình bậc nhất theo sin và cos
---------------------------------------------------------- 59
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 59
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 62
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp
--------------------------------------------------------------- 84
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 85
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 87
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng
--------------------------------------------------------------- 93
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 94
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 96
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối
----------------------------------- 97
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 97
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 99
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực
----------------------------------------------------- 101
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 102
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 104
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương
--------- 106
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 106
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 112
I – Hệ phương trình lượng giác
------------------------------------------------------------------------- 116
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 117
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác
--------------------------------------- 121
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 122
Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 125
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 2 - www.DeThiThuDaiHoc.com
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG
Công thức cơ bản
●
+ =
●
=
●
=
●
=
●
os
+ =
●
+ =
Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
●
=
●
−
=− = −
●
os
−
=
●
os
os
+
=
●
= −
●
= −
Công thức cộng cung
●
(
)
± = ±
●
(
)
os
± =
∓
●
( )
+
+ =
−
●
( )
−
− =
+
●
π
+
+ =
−
●
π
−
− =
+
Công thức biến đổi tổng thành tích
●
+ −
+ =
●
+ −
− = −
●
+ −
+ =
●
+ −
− =
●
(
)
+
+ =
●
(
)
−
− =
Công thức biến đổi tích thành tổng
●
(
)
(
)
+ + −
=
●
(
)
(
)
+ + −
=
●
(
)
(
)
− − +
=
Một số công thức thông dụng khác
●
π π
+ = + = −
●
π π
− = − = +
●
+
+ = − =
●
+
+ = − =
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 3 -
Một số lưu ý
:
Điều kiện có nghiệm của phương trình
= α
= α
là:
− ≤ α ≤
.
Khi giải phương trình có chứa các hàm số
hoặc
, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết
phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
Phương trình chứa
, điều kiện:
( )
π
≠ ⇔ ≠ + π ∈
ℤ
.
Phương trình chứa
, điều kiện:
(
)
≠ ⇔ ≠ π ∈
ℤ
.
Phương trình chứa cả
và
, điều kiện:
( )
π
≠ ∈
ℤ
.
Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để
kiểm tra điều kiện:
Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của
vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy
làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.
Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm.
Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm.
Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác
có
số đo là
π
α +
+
với
+
∈ ∈
ℤ ℕ
thì có
điểm
trên đường tròn
lượng giác cách đều nhau".
Ví dụ 1: Nếu sđ
π
=+π
thì có một điểm
tại vị trí
π
(ta chọn
=
).
Ví dụ 2: Nếu sđ
π
= + π
thì có 2 điểm
tại vị trí
π
và
π
(ta chọn
= =
).
Ví dụ 3: Nếu sđ
π π
= +
thì có 3 điểm
tại các vị trí
π π
và
π
,
(
)
=
.
Ví dụ 4: Nếu sđ
π π π π
= + = +
thì có 4 điểm
tại các vị trí
π
,
π
,
π
;
π
(ứng với các vị trí
=
).
Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung
π
= − + π
và
π
= + π
Biểu diễn cung
π
= − + π
trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
π
−
và
π
Biểu diễn cung
π
= + π
trên đường tròn thì có
Để giải được phương trình lượng giác cũng như các
ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả
những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công
cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên:
"Phương trình lượng giác"
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 4 - www.DeThiThuDaiHoc.com
2 điểm tại các vị trí:
π
và
π
.
Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và
cung tổng hợp là:
π π
= +
Đối với phương trình
= = ±
⇔
= = ±
ta không nên giải
trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là
tối ưu nhất. Nghĩa là:
=
− = =
⇔ ⇔
=
− =
=
. Tương tự đối với phương trình
= = ±
⇔
= ±
=
ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức
+ =
. Lúc đó:
= = =
⇔ ⇔
=
= =
Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''
Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là
một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.
Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là
(
)
−α = α
, còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
(
)
(
)
(
)
−α = − α −α = − α −α = − α
Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là
(
)
π − α = α
, còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
(
)
(
)
(
)
π − α = − α π − α = − α π − α = − α
Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 90
0
) thì sin góc này bằng cos góc kia và
ngược lại, tức là:
π π π π
− α = α − α = α − α = α − α = α
Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này:
Giải phương trình lượng giác:
=
Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình
=
, vậy còn phương trình
=
thì sao ?
Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi:
π
= ⇔ = −
( )
π π
= − + π ∨ = + + π ∈
ℤ
.
Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như
π
= −
π
/3
5
π
/6
4
π
/3
–
π
/6
O
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 5 -
thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.
Một số cung góc hay dùng khác:
(
)
(
)
+ π =
+ π =
và
(
)
(
)
( )
+ π + π = −
∈
+ π + π = −
ℤ
.
A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Dạng:
= + π
= ⇔
= π − + π
Đặc biệt:
= ⇒ = π
π
= ⇒ = + π
π
= − ⇒ = − + π
Dạng:
= + π
= ⇔
= − + π
Đặc biệt:
π
= ⇒ = + π
= ⇒ = π
= − ⇒ = π + π
Dạng:
= ⇔ = + π
π
≠ + π
Đặc biệt:
= ⇔ = π
π
= ± ⇔ = ± + π
Dạng:
= ⇔ = + π
≠ π
Đặc biệt:
π
= ⇔ = + π
π
= ± ⇔ = ± + π
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
− + − = ∗ ∀ ∈
Bài 2. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
− + = − ∗
Bài 3. Giải phương trình:
(
)
+ − − = ∗
Bài 4. Giải phương trình:
(
)
+ + + + = ∗
Bài 5. Giải phương trình:
(
)
(
)
+ + = + ∗
Bài 6. Giải phương trình:
( )
π
+ = − ∗
π
−
Bài 7. Giải phương trình:
( )
π π
+ = + − ∗
![Bài giảng Giải tích lớp 12 chương 3: Tích phân (Bài 2) – Tiết 55 [Chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250526/hoatrongguong05/135x160/28461750730892.jpg)
