Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace

Lecture-11

6.2. Phân tích hệ thống LTI dùng biến đổi Laplace 6.3. Sơ đồ khối và thực hiện hệ thống

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6.2. Phân tích hệ thống LTI dùng biến đổi Laplace

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI 6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI 6.2.3. Tính ổn định của hệ thống LTI mô tả bởi PTVP

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

1

(cid:1) Hàm truyền của hệ thống LTI: xét HT LTI có đáp ứng xung h(t):

∗

Y(s)=F(s)H(s)

H(s)=Y(s)/F(s)

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

(cid:1) Biểu diễn hệ thống LTI bằng hàm truyền

(cid:1) Hàm truyền của hệ thống LTI ghép nối tiếp:

H(s)=H (s)H (s) 1

2

Ta có: y(t)=f(t) h(t) Với H(s) là biến đổi Laplace của h(t) còn được gọi là hàm truyền của hệ thống

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

(cid:1) Hàm truyền của hệ thống LTI ghép song song:

H(s)=H (s)+H (s) 1

2

(cid:1) Hàm truyền của hệ thống LTI ghép hồi tiếp:

H(s)=

H (s) 1 1+H (s)H (s)

1

2

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

2

(cid:1) Hàm truyền của HT LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân

Q(D)y(t)=P(D)f(t)

↔

k D y(t)

k s Y(s)

Q(s)Y(s)=P(s)F(s)

↔

k D f(t)

k s F(s)

H(s)=

P(s) Y(s) = F(s) Q(s)

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

2

(D +2D+3)y(t)=Df(t)

=

H(s)=

2

+

P(s) Q(s)

s + 2s 3

s

Ví dụ: xác định hàm truyền của HT LTI mô tả bởi PTVP

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

(cid:1) Ví dụ về xác định hàm truyền của hệ thống

(cid:2) Ví dụ 1: Hệ thống cơ học

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

x: chiều cao mặt đường , y: chiều cao xe

2

x(t)

( y(t)= D+

)

D + D+ b m

k m

b m

k m

2 d y(t) 2 dt (

)

=

H(s)

X(s)

Y(s)

(b/m)s+(k/m) 2 s +(b/m)s+(k/m)

(b/m)s+(k/m) 2 s +(b/m)s+(k/m)

∴ m +ky(t)=b +kx(t) +b dy(t) dt dx(t) dt

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

3

1H

(cid:2) Ví dụ 2: mạch điện ( )y t

2

∴

(D +4D+3)y(t)=Df(t)

4Ω

+ -

f

t ( )

F

1 3

H(s)=

s 2 s +4s+3

(cid:3) Với hệ thống là mạch điện ta có thể đưa biến đổi Laplace vào mạch và giải mạch trực tiếp như là mạch thuần trở. Dưới đây là mô tả cho hệ thống là mạch điện thuộc hệ thống LTI nhân quả

v (t)=Ri (t)

V (s)=RI (s)

• Trở R:

R

R

R

V (s)=

• Điện dung C:

I (s)=CsV (s) C

C

C

I (s) C

i (t)=C C

1 Cs

V (s)=LsI (s)

• Điện cảm L:

v (t)=L

L

L

L

R dv (t) c dt di (t) L dt

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

n

n

• KCL:

∑

i (t)=0 j

∑

I (s)=0 j

j=1

j=1 n

n

V (s)=0

∑

j

v (t)=0

• KVL:

∑

j

j=1

j=1

(cid:2) Ví dụ 3:

1H

( )y t

s

( )Y s

4

4Ω

+ -

f

t ( )

F

( )F s

3 / s

1 3

∴

H(s)=

Y(s)

F(s)

s 2 s +4s+3

s 2 s +4s+3

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

4

(cid:2) Ví dụ 4: Bộ khuếch đại

R

+

k

F(s)

Y(s)

− +

( )Y s

( )F s + −

−

∴

= −

=

k

H s ( )

fR R

(cid:2) Ví dụ 5: Bộ tích phân

1/ Cs

R

+

F(s)

Y(s)

− +

k s

( )Y s

( )F s + −

−

−

∴

= −

=

=

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

1 RCs

RC 1/ s

k s

H s ( )

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

(cid:2) Ví dụ 6: Hệ thống bậc 1

fR

R

1/ Cs

F(s)

Y(s)

k a s a+

+

− +

( )Y s

( )F s + −

−

= −

=

k

a

R ;f R

1 R C f

fR

1/ Cs

)

F(s)

Y(s)

1/

fC s

+ k s a ( + s b ( )

+

R

− +

( )Y s

( )F s + −

= −

=

=

k

a

b

;

;

1 R C

−

C C f

1 R C f

f

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

5

(cid:1) Ví dụ: Xét hệ thống cơ học sau

X(s)

Y(s)

(b/m)s+(k/m) 2 s +(b/m)s+(k/m)

Giả sử chọn m=1, k=2, b=3 (cid:4)

H (s )=

2

3 s + 2 s + 3 s + 2

Giả sử x(t)=u(t) (cid:4)

X (s )=

1 s

Y (s )= H (s )X ( s ) =

3 s + 2 ( 2 s s + 3 s + 2

6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

−

Y (s )= +

1 s + 1 − t

2 s + 2 − 2 t

−

2 e

u (t)

1 s ( y (t)= 1 + e

6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6

H (s )=

Nếu chọn m=1, k=5, b=2 (cid:4)

2

2 s + 5 s + 2 s + 5

Y (s )= X (s )H (s )=

2

  

     

  

1 s

2 s + 5 s + 2 s + 5

−

t

−

−

y (t)= 1

e

(c o s 2 t

1 2

 

 s in 2 t) u (t) 

6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

(cid:1) Xác định giá trị đầu và giá trị cuối của đáp ứng

+

=

y ( 0 )

lim [s Y (s )] → ∞ s

=

lim y (t) → ∞ t

lim [s Y (s )] → s

0

Y (s )=

Ví dụ:

3 s + 2 ( 2 s s + 3 s + 2

=

=

y

s

+ ( 0 )

0

6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

) 3 2

lim → ∞ s

s +

+

s

s

2 s

+ 3

2

(

)

=

=

y t

s

1

3 2

lim ( ) → ∞ t

lim → s 0

s +

+

2 s

s

s

+ 3

2

(

)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

7

(cid:1) Các poles của hàm truyền H(s) chính là nghiệm của PTĐT (xem

lại chương 2) nên tính ổn định của hệ thống tùy thuộc vào vị trí của các poles trong mặt phẳng phức

(cid:1) Hệ thống ổn định tiệm cận nếu: tất cả các poles nằm ở LHP

(cid:1) Hệ thống ổn định biên nếu: không có pole nào ở RHP và có poles

6.2.3. Tính ổn định của hệ thống LTI mô tả bởi PTVP

(cid:1) Hệ thống không ổn định nếu có

một trong 2 ĐK: có pole ở RHP hoặc có pole lặp trên trục ảo.

đơn trên trục ảo

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6.3.1. Thực hiện hệ thống ở mức sơ đồ khối 6.3.2. Thực hiện hệ thống bằng mạch điện Op-amp

6.3. Sơ đồ khối và thực hiện hệ thống

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

8

m

m-1

1

0

H(s)=

(cid:1) Xét hệ thống với hàm truyền:

m-1 b s +b s +...+b s+b m n n-1 s +a s +...+a s+a

1

0

n-1

(cid:1) Ta có thể thực hiện hệ thống theo 3 cách khác nhau:

a) Dạng trực tiếp b) Dạng nối tiếp c) Dạng song song

(cid:3) Dựa trên cơ sở bộ tích phân hoặc vi phân + khuếch đại & bộ cộng (cid:3) Thực tế không dùng bộ vi phân (cid:4) không ổn định!!!

(cid:1) Nếu m>n (cid:4) H(s) là bộ vi phân bậc m-n (cid:4) không xét trên thực tế!!! (cid:1) Bài toán tổng quát trên thực tế m≤n – tổng quát m=n:

n

n-1

1

0

H(s)=

n-1 b s +b s +...+b s+b n n n-1 s +a s +...+a s+a

1

0

n-1

6.3.1. Thực hiện hệ thống ở mức sơ đồ khối

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

3

1

0

H(s)=

(cid:1) Xét hàm truyền bậc 3:

2 b s +b s +b s+b 3 2 2 3 s +a s +a s+a

1

0

2

3

1

0

F(s)

Y(s)

2 b s +b s +b s+b 3 2 3 2 s +a s +a s+a

1

0

2

X(s)

3

F(s)

Y(s)

2 b s +b s +b s+b 2

3

1

0

1 3 2 s +a s +a s+a

1

2

0

1H (s)=X(s)/F(s)

2H (s)=Y(s)/X(s)

a) Dạng trực tiếp

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

9

2

3

=

=

H (s)=b s +b s +b s+b

3

2

2

1

0

H (s)= 1

Y(s) X(s)

1 3 2 s +a s +a s+a

X(s) F(s)

2

1

0

3 s X s ( )

( )F s

( )Y s

3b

+

a) Dạng trực tiếp

+ - --

1 s

2a

2b

2 s X s ( ) 1 s

1a

1b

sX s ( )

1 s

( )X s

0a

0b

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

n

n-1

1

0

(cid:1) Tổng quát cho hàm truyền bậc n:

H(s)=

n-1 b s +b s +...+b s+b n n n-1 s +a s +...+a s+a

1

0

n-1

ns X s ( )

( )F s

( )Y s

nb

+

a) Dạng trực tiếp

-

+ -- -

1 s

1nb −

1na −

− ns X s 1 ( ) 1 s

n ka −

n kb −

−

n ks X s ( ) 1 s

sX s ( )

1a

1b

1 s

( )X s

0a

0b

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

10

(cid:1) Ví dụ: Vẽ sơ đồ khối thực hiện hệ thống sau

a)

; c)

; b)

; d)

5 s+2

s s+7

s+5 s+7

4s+28 2 s +6s+5

a) Dạng trực tiếp

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

(cid:1) Ví dụ 1: xét hệ thống sau:

H (s)=

4s+28 2 s +6s+5

H (s)=

  

     

  

4s+28 s+1

1 s+5

F(s)

Y(s)

4s+28 s+1

1 s+5

2

H (s)=

(cid:1) Ví dụ 2: xét hệ thống sau:

7s +37s+51 2 (s+2)(s+3)

Thực hiện như thế nào?

b) Dạng nối tiếp

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

11

(cid:1) Ví dụ 1: xét hệ thống sau:

H (s)=

4s+28 2 s +6s+5

−

H (s)=

6 s+1

2 s+5

6/(s+1)

c) Dạng song song

F(s)

Y(s)

-

2/(s+5)

2

H (s)=

(cid:1) Ví dụ 2: xét hệ thống sau:

7s +37s+51 2 (s+2)(s+3)

Thực hiện như thế nào?

+

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

(cid:1) Thực hiện H(s) có nghiệm lặp lại:

2

H (s)=

Ví dụ: xét hệ thống sau:

7s +37s+51 2 (s+2)(s+3)

−

H (s)=

+

2

5 s+2

2 s+3

3 (s+3)

5/(s+2)

F(s)

d) Kết hợp nối tiếp và song song

Y(s)

-

1/(s+3)

1/(s+3)

2 +

3

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

12

(cid:1) Thực hiện H(s) có các cực liên hiệp phức:

Ví dụ: xét hệ thống sau:

H (s)=

10s+50 2 (s+3)(s +4s+13)

2

1+j2

1-j2

H(s)=

-

-

s+3 s+2-j3 s+2+j3

2

2s-8

Không thực hiện được

H (s)=

-

2 s+3 s +4s+13

2/(s+3)

d) Kết hợp nối tiếp và song song

F(s)

Y(s)

Thực hiện theo dạng trực tiếp

2s-8 2 s +4s+13

Thực hiện nhờ hệ thống bậc 2

+

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

bằng

H(s)=

2s+5 2 s +4s+10

Ví dụ: thực hiện hệ thống có hàm truyền mạch điện Op-amp

6.3.2. Thực hiện hệ thống bằng mạch điện Op-amp

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

13