Vật lý thống kê Dành cho học viên cao học Vật lý
Bài giảng
Giảng viên: Nguyễn Hồng Quảng Ngày 26/03/2017
Chương 4. Phân bố Maxwell -Boltzmann
1. Vài nét về lịch sử
2. Phân bố Maxwell theo vận tốc hạt
3. Định lý phân bố đều theo bậc tự do
4. Phân bố Maxwell - Boltzmann
5. Ứng dụng của phân bố M-B
Ludwig Boltzmann, who spent much of his life studying statistical mechanics, died in 1906 by his own hand. Paul Ehrenfest, carrying on his work, died similarly in 1933. Now it is our turn to study statistical mechanics. Perhaps it will be wise to approach the subject cautiously.
- David L. Goldstein (States of Matter, Mineola, New York: Dover, 1985)
2
1. Vài nét về lịch sử
James Clerk Maxwell 1831 - 1879
Ludwig Boltzmann 1844 - 1906
3
2. Phân bố Maxwell (số phân tử theo vận tốc)
• Để biết trạng thái của 1 hạt, cơ học cổ điển cần 6 thông
số: 3 tọa độ (x, y, z) và 3 xung lượng (px, py, pz).
• Tập hợp 6 thông số này gọi là 1 tọa độ pha (hay điểm
pha) trong không gian pha 6 chiều
• Vận tốc của hạt đóng vai trò quan trọng hơn, vì năng
lượng hạt phụ thuộc vào chỉ vận tốc (không có thế năng tương tác)
• Định nghĩa hàm phân bố theo vận tốc:
là xác suất tìm thấy hạt có vận tốc giữa v và v+dv
4
2. Phân bố Maxwell (số phân tử theo vận tốc)
• Maxwell đã chứng minh rằng hàm phân bố xác suất tỷ lệ
exp(−½ mv2 / kT)
với
2 + vy
2 2 + vz
5
.
Do đó: trong đó C là hệ số tỷ lệ β ≡ (kT)−1. • Vì v2 = vx nên ta có thể viết lại hệ thức này theo tích của 3 hệ số:
2. Phân bố Maxwell (số phân tử theo vận tốc)
• g(vx) dvx là xác suất mà thành phần x của vận tốc hạt nằm
có giá trị nằm giữa vx và vx + dvx Chú ý, điều kiện chuẩn hóa: nên Từ đó:
6
• Giá trị trung bình của vx thỏa mãn hệ thức:
2. Phân bố Maxwell: Tìm vận tốc trung bình
2
• Giá trị trung bình của vx
bố xung quanh giá trị đỉnh bằng 0 .
7
Như vậy, vận tốc thành phần phân
2. Phân bố Maxwell: Tìm vận tốc trung bình
• Các thành phần theo trục y, z được tính tương tự
• Động năng trung bình trong chuyển động tịnh tiến:
• Như vậy, phương pháp thống kê cho ta ví dụ về cách tiếp
8
cận đối với hệ nhiệt động lực học
3. Định lý phân bố đều theo bậc tự do
• Xem phân tử oxy như hệ gồm 2
nguyên tử, liên kết với nhau bằng thanh nhẹ (khối lượng không đáng kể).
Năng lượng chuyển động quay bằng bao nhiêu? Và liên hệ như thế nào với nhiệt độ của nó?
Định lý phân bố đều theo động năng: Ở trạng thái cân bằng, năng lượng trung bình của mỗi phân tử, bằng 1/2 kT và có liên hệ với mỗi thành phần độc lập trong năng lượng của phân tử. Số tọa độ độc lập:
Số bậc tự do
9
3. Định lý phân bố đều theo bậc tự do
• Đối với khi đơn nguyên tử (He chẳng hạn) mỗi phân tử sẽ
• Có 3 bậc tự do: Giá trị trung bình của động năng bằng 3(1/2 kT) = 3/2 kT. • Trong một khí có N phân tử He, tổng nội năng là
có
10
• Nhiệt dung đẳng tích là • Nhiệt dung phân tử là CV = 3/2 Nk = 3/2R. với R = 8.31 J/K là hằng số khí lý tưởng.
# Mô hình vật rắn quay
vật;
• Đối với khi 2 nguyên tử (oxy) • Mỗi nguyên tử Oxy là một
2.
2 và ½ Iyωy
• Hai nguyên tử gắn với nhau bằng thanh cứng nhẹ, không co giãn
11
• Phân tử có thể quay quanh trục x hoặc trục y. • Động năng ứng với mỗi cđ quay là ½ Ixωx • Có tất cả 5 bậc tự do: 3 cho chuyển động tịnh tiến (x, y, z) và 2 chuyển động quay (trừ chđộng quay quanh trục nối z)
3. Định lý phân bố đều theo bậc tự do
• Thuyết lượng tử: năng lượng vật rắn quay tuân theo hệ thức
• Khối lượng mỗi nguyên tử được giữ trong một thế tích rất
bé so với toàn hệ:
Iz rất bé so với Ix và Iy. Chỉ có chuyển động quay quanh x và y là được phép • Nói chung, tốt hơn, xem các nguyên tử trong phân tử liên
kết với nhau bằng các lò xo nhẹ.
• Động năng cđ dao động là ½ m(dr/dt)2.
12
• Khí đa nguyên tử (ở nhiệt độ đủ cao): có 7 bậc tự do: 3 tịnh tiến, 2 quay và 2 dao động
Giải thích nhiệt dung riêng phân tử
• Minh họa sụ phụ thuộc của nhiệt dung riêng vào số bậc tự
• Ví dụ cho phân tử H2
13
do.
Hàm phân bố theo vận tốc
• Sự phân bố theo vectơ vận tốc:
trong đó
• Chuyển về biểu thức tính xác suất theo vận tốc hạt • F(v) dv = xác suất tìm thấy hạt có vận tốc v nằm
trong khoảng từ v đến v + dv.
14
4. Phân bố Maxwell - Boltzmann • Cho rằng hàm phân bố các hạt
theo không gian 3 chiều (x,y,z) có dạng f(x, y, z)
• Khoảng cách từ vị trí của hạt (x, y, z) đến gốc tọa độ là:
là xác suất tm thấy hạt nằm giữa hai
mặt cầu bán kính r và r + dr với d3r = dxdydz
15
4. Phân bố Maxwell - Boltzmann Phân bố theo bán kính F(r). • F(r) dr = xác suất tìm thấy hạt ở giữa hai mặt cầu bán kính r và r + dr. • Thể tích của mặt cầu là 4πr2 dr. Vậy:
Đổi biến từ x,y,z sang biến vận tốc vx, vy, và vz. Phân bố Maxwell – Boltzmann::
Giá trị của C tìm theo điều kiện chuẩn hóa
16
Biểu thức này chỉ phù hợp trong giới hạn cổ điển
4. Phân bố Maxwell - Boltzmann
• Vận tốc có xác suất lớn nhất (tại đỉnh của phân bố vận tốc)
• Vận tốc trung bình (average of all speeds):
(liên hệ tới liên hệ với
17
• Vận tốc căn quân phương động năng trunng bình
4. Phân bố Maxwell - Boltzmann
là vận tốc trung bình, v* là vận tốc có xác suất lớn nhất và vrms là vận tốc căn quân phương (tương ứng với vxs và vc ở bài trước)
18
