Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – Thống kê cổ điển
Bài 1. Dùng phân bố chính tắc Gibbs, thiết lập các phân bố sau đây (các dạng khác của
phân bố Maxwell) :
Xác suất để vận tốc của một hạt của hệ có các thành phần vận tốc ở trong khoảng :
( , ),( , ),( , )
x x y y z z
v v dx v v dy v v dz
Xác xuất để độ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng
( , )v v dv
.
Xác suất để động năng của một hạt của hệ có giá trị nằm trong khoảng
( , )d
Sử dụng các kết quả trên tính các giá trị trung bình sau :
a)
23
22
21
/( ) ( )
nn
nkT
m
vn
b)
8kT
m
v
c)
28
3( ) ( )
kT
m
vv
d)
2
2 2 2 2
1
2
3
2
( ) ( )m v v kT
e) Vận tốc có xác suất lớn nhất :
2
0
kT
m
v
Hướng dẫn
Xác suất để vận tốc của hạt có các thành phần ở trong khoảng đã cho là :
Xác suất để độ lớn vận tốc của hạt nằm trong khoảng đã cho là :
()
mv
mkT
kT
dW v e v dv
2
32
2
2
4
Xác suất để động năng của hạt nằm trong khoảng đã cho là :
()
()
kT
dW e d
kT 3
2
a) Ta có
()
mv
n n n
mkT
kT
v v dW v v e dv
2
322
2
00
4
.
Đặt
n
mv n
nx
kT
mv kT kT
x v e dv x e dx
kT m m
21
1
22
222
2
2
. Từ đó ta được :
n
nn
nx
n
kT kT
mm
v x e dx
1
3
2 2 2 2
2
22
2
0
.
Trong đó :
() ax
a x e dx
1
0
là hàm Gamma.
b) Sử dụng kết quả câu a) khi
n1
, ta có :
/()
kT kT
mm
v12
2 2 8
2
c) Ta có
( ) . ( ) ( )v v v v v v v v
2 2 2 2 2
2
. Theo câu b) ta đã có
kT
m
v8
Áp dụng kết quả câu a) khi
n2
, ta có
()
kT kT kT
m m m
v23
2 2 5 2 2 3
24
. Từ
đó ta tìm được :
()
kT kT kT
m m m
vv
2
23 8 8
3
d) Ta có
.v v v v v v v v
2 2 2
2 2 4 2 2 2 4 2
2
. Áp dụng kết quả câu a) với
n2
và
n4
ta có :
()
kT kT
mm
v22 2 5 3
2
và
()
kT kT
mm
v22
47
22
215
. Từ đó ta tìm được :
kT kT
mm
m
m v v kT
2
2
2 2 2 2
22
1 3 3
22
15
4
.
e) Từ biểu thức của xác suất
()
mv
mkT
kT
dW v v e dv
2
322
2
4
, ta thấy để xác xuất
()dW v
cực đại thì hàm
()
mv
mkT
kT
f v v e
2
322
2
4
phải đạt cực đại.
Ta có :
()
mv mv
m mv m mv
kT kT
kT kT kT kT
f v v e ve
22
32
33
22
22
2 4 2
. Từ đó
suy ra :
( ) , kT
m
f v v v 2
00
. Lập bảng biến thiên của
()fv
:
v
0
kT
m
2
()fv
0 0 0
()fv
max
f
0 0
Từ đó ta thấy rằng
()fv
đạt cực đại khi
kT
m
v2
, nói cách khác vận tốc có xác suất lớn
nhất là
kT
m
v2
0
.
Chú ý : Trong các bài tập trên khi tính toán ta đã sử dụng một số tính chất sau của hàm
Gamma :
( ) ( ) ( ), ( ) ! ( )a a a a n n n1 1 1
và
( )=
1
2
. Khi
đó ta có :
( ) ! , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3
5 3 3 3 3 1 3 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4
2 1 1 1 1
và
( ) ( ) ( )=
7 15
5 5 5
2 2 2 2 4
1
.Trong các tập dưới đây, trong nhiều trường hợp ta sẽ
sử dụng công thức sau :
()
m ax
m
m
x e dx a1
0
1
Bài 2. Viết phân bố Gibbs cho các dao động tử điều hoà tuyến tính cổ điển và tính giá trị
trung bình của năng lượng của nó .
Hướng dẫn :
Hàm phân bố chính tắc Gibbs có dạng
( , )
( , )
H p q
kT
p q Ae
. Đối với dao động tử điều
hòa tuyến tính
qx
và
( , ) pmx
m
H x p E
222
22
là năng lượng của dao động tử , do
đó phân bố Gibbs cho dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng :
()
E
kT
E Ae
. Từ điều
kiện chuẩn hóa
()E dE
0
1
, ta có :
()
EE
kT kT
A e dE A kT e 0
0
11
.AkT 1
, hay
kT
A1
. Do đó :
()
E
kT
kT
Ee
1
. Năng lượng trung bình :
()
E
kT
E E E dE Ee dE
kT
00
1
. Lấy tích phân từng phần ta được :
( . | ) . |
E E E E
kT kT kT kT
kT
E kT Ee kT e dE e d kT e kT
1
00
00
Bài 3. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm
N
nguyên tử khí; Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí liên hệ với nhau bởi hệ
thức :
cp
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :
N
i
i
H cp
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
i
cp
HN
kT kT
ii
NN
iV
Z e d dr e dp
NN
33
1
11
22
(1)
Mặt khác :
()
i
V
dr V
là thể tích của hệ
i
cp cp
kT kT
i
e dp e p dp
2
0
4
, sử dụng công thức
!
n ax
n
n
x e dx a1
0
ta tìm được :
i
cp
kT
kT ic
e dp 3
8
. Thay vào (1) ta được :
..
!( ) !( )
NN
N N N
kT kT
cc
NN
i
Z V V V T
NN
33
3
33
1
11
88
22
Trong đó :
!( )
N
Nk
c
N
N
3
3
18
2
.
Gọi
P
là áp suất của hệ, ta có :
ln ln ln ln
ZNkT
V V V
T
P kT NkT V T3
Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là :
PV NkT
Chú ý : trong các bài tập thuộc loại này người ta có thể yêu cầu tính thêm các đại lượng
nhiệt động khác như : năng lượng tự do
F
, entropy
S
, nội năng
U
, nhiệt dung đẳng tích
V
C
, thế Gibbs , enthalpy
H
, nhiệt dung đẳng áp
P
C
. Lúc đó ta sẽ sử dụng các hệ thức
liên hệ giữa tích phân trạng thái
Z
và các đại lượng nhiệt động để tính. Chẳng hạn đối với
bài tập trên ta có :
ln ln ln lnF kT Z NkT V T3
ln
ln ln ln ln .
FZ
T T T
VV
S k Z kT Nk V T NkT 3
3
Hay
ln lnS S Nk V Nk T
03
với
lnS Nk Nk
03
.
ln ln ln ln
Z
TT
V
U F TS kT NkT V T NkT
22
33
U
VTV
C Nk
3
ln ln lnF PV NkT V T NkT3
H U PV NkT NkT NkT34
H
PTP
C Nk
4
Bài 4. Thiết lập mối liên hệ giữa năng lượng, áp suất và thể tích của hệ khí lý tưởng đơn
nguyên tử gồm
N
nguyên tử . Biết rằng năng lượng và xung lượng của mỗi hạt liên hệ
với nhau bởi hệ thức :
3 ( : )cp c const
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :
N
i
i
H cp3
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
i
cp
HN
kT kT
ii
NN
iV
Z e d dr e dp
NN
3
33
1
11
22
(1)
Mặt khác :
()
i
V
dr V
là thể tích của hệ
|
i
cp cp cp
kT kT kT
i
kT kT
e dp e p dp e
cc
333
2
0
0
4
44
33
. Thay vào (1) ta được :
..
!( ) !( )
NNN N N
kT kT
cc
NN
i
Z V V V T
NN
33
33
1
11
44
22
Trong đó :
!( )
N
Nk
c
N
N3
3
14
2
. Gọi
P
là áp suất của hệ, ta lại có :
ln ln ln ln
ZNkT
V V V
T
P kT NkT V T
(1)
Năng lượng của hệ
ln ln ln ln
Z
TT
V
U kT NkT V T NkT
22
(2)
Từ (1) và (2) ta có ngay :
U PV
.
Các đại lượng nhiệt động khác :
ln ln ln lnF kT Z NkT V T
ln
ln ln ln ln .
FZ
T T T
VV
S k Z kT Nk V T NkT 1
Hay
ln lnS S Nk V Nk T
0
với
lnS Nk Nk
0
.
U
VTV
C Nk
;
ln ln lnF PV NkT V T NkT
H U PV NkT NkT NkT2
;
H
PTP
C Nk2
Bài 5. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm
N
nguyên
tử.Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí đó liên hệ với nhau bởi hệ thức
4
cp
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :
N
i
i
H cp4
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
i
cp
HN
kT kT
ii
NN
iV
Z e d dr e dp
NN
4
33
1
11
22
(1)
Mặt khác :
()
i
V
dr V
là thể tích của hệ
i
cp cp
kT kT
i
e dp e p dp
44
2
0
4
. Đặt :
//
//
cp kT kT
kT c c
x p x p dp x dx
41 4 3 4
1 4 2 1 4
1
4
Do đó :
//
/()
i
cp
x
kT kT
kT icc
e dp x e dx
4
3 4 3 4
14 3
4
0
.Thay vào (1) ta được :
//
/
( ) ( )
!( ) !( )
NN
N N N
kT kT
cc
NN
i
Z V V V T
NN
3 4 3 4 34
33
44
33
1
11
22
Trong đó :
/()
!( )
N
Nk
c
N
N
34 3
4
3
1
2
.
Gọi
P
là áp suất của hệ, ta có :
ln ln ln ln
ZNkT
V V V
T
P kT NkT V T
3
4
Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là :
PV NkT
Các đại lượng nhiệt động khác :
ln ln ln lnF kT Z NkT V T
3
4
ln
ln ln ln ln .
FZ
T T T
VV
S k Z kT Nk V T NkT
33
44
Hay
ln lnS S Nk V Nk T
0
với
lnS Nk Nk
3
04
.
ln ln ln ln
Z
TT
V
U F TS kT NkT V T NkT
22
33
44
U
VTV
C Nk
3
4
;
ln ln lnF PV NkT V T NkT
3
4
H U PV NkT NkT NkT
7
3
44
;
H
PTP
C Nk
7
4
Bài 6. Xác định năng lượng và áp suất của khí lý tưởng gồm
N
hạt chứa trong bình có
thể tích
V
, biết rằng năng lượng của mỗi hạt phụ thuộc vào xung lượng của chúng theo hệ
thức :
0 ( , )ap a
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :
N
i
i
H ap
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
i
ap
HN
kT kT
ii
NN
iV
Z e d dr e dp
NN
33
1
11
22
(1)
Mặt khác :
()
i
V
dr V
là thể tích của hệ
i
ap ap
kT kT
i
e dp e p dp
2
0
4
. Đặt :
//
/
ap kT kT
kT a a
x p x p dp x dx
31
13
12
1