XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (Buổi 3)

BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU

VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

 Khái niệm biến ngẫu nhiên (bnn) một chiều và phân loại

 Phân phối xác suất của bnn một chiều

 Hàm của biến ngẫu nhiên một chiều

.

1. ĐỊNH NGHĨA BNN MỘT CHIỀU VÀ PHÂN LOẠI

Trong một trò chơi may rủi, người ta đưa ra luật như sau: Tung một lần 3 đồng xu cân đối và đồng chất. Nếu có đúng hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa, thì người chơi được 10USD còn ngược lại thì người chơi mất 2USD.

= {SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN}.

Số tiền người chơi thu được(USD) -2 -2 -2 -2 +10 +10 +10 -2

Điểm mẫu Điểm mẫu Số mặt

SSS SSN SNS NSS SNN NSN NNS NNN SSS SSN SNS NSS SNN NSN NNS NNN ngửa 0 1 1 1 2 2 2 3

.

ĐỊNH NGHĨA BNN MỘT CHIỀU VÀ PHÂN LOẠI

Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên là một quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm trong không gian mẫu của một phép thử với duy nhất một số thực.

+ Các chữ hoa X, Y, Z,… được dùng ký hiệu biến ngẫu nhiên, còn các chữ thường x, y, z,… được dùng ký hiệu cho giá trị của biến ngẫu nhiên. Chẳng hạn, trong tình huống đầu tiên ở trên, nếu đặt X = số mặt ngửa, thì X là biến ngẫu nhiên.

+ Số thực x sao cho tồn tại điểm mẫu s để X(s) = x, được gọi là một

giá trị của X. Tập tất cả các giá trị của X được gọi là tập giá trị của X.

Dựa vào đặc điểm tập giá trị của biến ngẫu

.

ĐỊNH NGHĨA BNN MỘT CHIỀU VÀ PHÂN LOẠI

nhiên, người ta chia các biến ngẫu nhiên thành hai loại: • Nếu tập giá trị của X là tập đếm được, thì ta gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc. • Nếu tập giá trị của X là tập không đếm được (các giá trị của X lấp đầy một khoảng nào đó của trục số thực), thì ta gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục.

Ví dụ 1 + Tung một đồng xu liên tiếp cho đến khi thu được 1 mặt ngửa thì dừng lại. Đặt X = số lần tung. Do tập giá trị của X là đếm được, nên X là biến ngẫu nhiên rời rạc. + Lấy ngẫu nhiên một số thực trong [0, 1]. Đặt X = số lấy được. + Y = tuổi thọ của một con đi-ốt. + Z = Chiều cao của một người. là các biến ngẫu nhiên liên tục.

.

2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BNN MỘT CHIỀU

Định nghĩa: Một quy tắc mà dựa vào nó ta tìm được xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong một khoảng đã cho nào đó của trục số thực, thì ta gọi quy tắc đó là phân phối xác suất của X.

Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1, x2, x3,…}. Hàm f(x) = P(X = x) được gọi là hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X.

Nhận xét: Dễ thấy, hàm xác suất có các tính chất sau 1) f(x) ≥ 0, với mọi số thực x. 2) f(xi) = P(X= xi); f(x) = 0 với mọi x ≠ xi. 3)(X= x1), (X= x2),…. là một hệ đầy đủ các biến cố nên

∑f(xi) = 1 Ngược lại, một hàm có ba tính chất trên thì là một hàm xác suất

.

Bởi vì:f(xi) = P(X= xi); f(x) = 0 với mọi x ≠ xi

nên người ta còn trình bày hàm xác suất ở dạng bảng

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BNN MỘT CHIỀU

……. …….

X f(xi)

x1 f(x1)

x2 f(x2)

gọi là bảng phân phối xác suất . Đây là một thể hiện khác của hàm xác suất.

Ví dụ 2 Một kiện hàng gồm 8 chiếc máy vi tính giống nhau trong đó có 3 chiếc bị lỗi. Một trường học mua ngẫu nhiên 2 trong những chiếc máy vi tính này, tìm hàm xác suất của số chiếc bị lỗi.

.

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BNN MỘT CHIỀU

Ví dụ 3 Một đồng xu cân đối và đồng chất được gieo bốn lần liên tiếp. (a) Tìm hàm xác suất của số mặt ngửa xuất hiện. (b) Vẽ biểu đồ hình cây, biểu đồ xác suất của hàm xác suất.

Biểu đồ hình cây Biểu đồ xác suất

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BNN MỘT CHIỀU

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục (Gọi tắt là hàm mật độ)

Định nghĩa: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục, hàm f(x) xác định trên tập các số thực R và thoả mãn các điều kiện sau, thì được gọi là hàm mật độ xác suất của X hay đơn giản là hàm mật độ của X :

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BNN MỘT CHIỀU

Ví dụ 4 Giả sử sai số của nhiệt độ phản ứng (đơn vị 0C) trong một thí nghiệm là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

(a) Chứng minh f(x) thỏa mãn điều kiện (b) của Định nghĩa về hàm mật độ. (b) Tìm P(0 < X ≤ 1).

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BNN MỘT CHIỀU

Ví dụ 5 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) như sau

khi

x

1

xf )(

khi

x

1

c 2 x

0    

Hãy xác định hằng số c và tính P(2 < X < 3).

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BNN MỘT CHIỀU

Hàm phân phối tích lũy xác suất

Cho X là một biến ngẫu nhiên, biến cố (X ≤ x) ≡ {s ∊ S | X(s) ≤ x} là phụ thuộc vào x. Với mỗi số thực x cho trước, thì con số P(X ≤ x) là duy nhất nên ta có hàm số

y = F(x) = P(X ≤ x) Gọi là hàm phân phối tích lũy xác suất của X, hay gọi tắt là hàm phân phối của X.

F x ( )

f

t ( )

 

 t x

x

F x ( )

f

Chú ý: Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì Nếu X là biến ngẫu nhiên một chiều liên tục và có hàm mật độ là liên tục, thì : F’(x) = f(x) và   t dt ( )



Ví dụ 6 Tung đồng xu hai lần. Gọi X là số mặt ngửa. Tìm hàm phân phối xác suất của X?

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BNN MỘT CHIỀU

Các tính chất của hàm phân phối

• F(x) là một hàm không giảm, tức là t < u kéo theo

)

1,

F x

F(t) ≤ F(u). 0

)

• lim ( F x

x

 

lim (   x

F x

)

• F(x) là hàm liên tục phải, tức là F(x) = F(x+) =

lim (  x x

tồn tại giới hạn trái, tức là tồn tại F(x-) và F(x-) = P(X < x) và

F x

)

F x (

)

lim (  x x

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BNN MỘT CHIỀU

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là một phân phối xác suất của nó.

P(X < a) = F(a-) ;

+ P(X > a) = 1 – P(X ≤ a) = 1- F(a); + P(X ≥ a) = 1- F(a-);

P(X = a) = P(X ≤ a) - P(X < a) = F(a) - F(a-). + P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a) = F(b) - F(a). P(a < X

Ví dụ 7 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất là

0 / 4

x

x khi khi 0

 0   x

1

F x ( )

b) P(X = 2);

1/2 khi 1 x /12 1/ 2 khi 2

  x 2   x 3

a) 1/2; b) 1/6; c) 1/2; d) 11/12; e) 0; f) 1/3.

1

khi

x

3

      

Hãy tính a) P(X < 2); c) P(1 ≤ X < 3); d) P(X > 1/3); f) P(2< X ≤ 7). e) P(X = 5/2);

3. HÀM CỦA BiẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và y = u(x) là một hàm số xác định trên tập giá trị của X. Xét biến ngẫu nhiên Y xác định bởi Y = u(X). Nếu X nhận giá trị là x, thì Y nhận giá trị là u(x).

Ví dụ 8 Nếu X là biến ngẫu nhiên, thì 2X – 1; sinX; eX … cũng là những biến ngẫu nhiên.

Vấn đề đặt ra là: Nếu đã biết phân phối xác suất của X là f(x), thì phân phối xác suất của Y được xác định dựa vào u(x) và f(x) như thế nào?

Trả lời: Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm xác suất là f(x) và y = u(x) là một hàm số xác định trên tập giá trị của X. Nếu y = u(x) là hàm đơn điệu trên tập giá trị của X, tức là từ phương trình y = u(x) giải được duy nhất hàm ngược x = w(y), thì hàm xác suất của Y = u(X) là:

g(y) = f(w(y)).

HÀM CỦA BiẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU

Ví dụ 9 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm xác suất Tìm phân phối xác suất của Y = X2.

x

-1

0

1

2

f(x)

1/6

1/3

1/3

1/6

Các ý chính trong bài giảng tuần 3 • Khái niệm biến ngẫu nhiên và phân loại • Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên: Hàm phân phối, hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục. • Hàm của một biến ngẫu nhiên.