Bài giảng xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Chia sẻ: Hà Khương Giang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

140
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo kết quả của phép thử. Ta dùng các kí tự X, Y, Z,... chỉ các đại lượng ngẫu nhiên

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất

BAØI GIAÛNG Ta goïi baûng treân laø Luaät phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X. Töø luaät phaân phoái cuûa X ta coù theå tính xaùc suaát ñeå X nhaän caùc giaù trò treân moät XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ taäp cho tröôùc, chaúng haïn vôùi i < j ta coù: (GV: Traàn Ngoïc Hoäi - 2009) j P(xi ≤ X ≤ xj) = pi +…+ pj = ∑p k=i k . CHÖÔNG 2 Ngoaøi ra caùc bieán coá A0 = “X = x1”, A2 = “X = x2”,..., An = “X = xn” taïo thaønh moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi. ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN VAØ PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT Ví duï. Moät loâ haøng chöùa 10 saûn phaåm, trong ñoù coù 6 saûn phaåm toát vaø 4 saûn phaåm xaáu. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra 2 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm toát coù trong 2 saûn phaåm choïn ra. Tìm luaät phaân phoái §1. Khaùi nieäm veà ñaïi löôïng ngaãu nhieân. cuûa X. 1.1. Ñònh nghóa. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân hay bieán ngaãu nhieân laø moät ñaïi löôïng nhaän giaù trò thöïc tuøy theo keát quaû cuûa pheùp thöû. Ta duøng Giaûi. Ta thaáy X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc coù theå nhaän caùc giaù trò • caùc kí töï X, Y, Z,… chæ caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân. laø 0, 1, 2. Aùp duïng coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn ta ñöôïc: • caùc kí töï x, y, z,… chæ giaù trò cuûa caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân. 0 2 2 p0 = P( X = 0) = C 6 C 4 = ; 2 1.2. Phaân loaïi. Ta chia ñaïi löôïng ngaãu nhieân thaønh hai loaïi: C10 15 1) Loaïi rôøi raïc: Laø loaïi ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ nhaän höõu haïn 1 1 8 hoaëc voâ haïn ñeám ñöôïc caùc giaù trò. p1 = P( X = 1) = C 6 C 4 = ; 2 C10 15 Ví duï. Tieán haønh n thí nghieäm. Goïi X laø soá thí nghieäm thaønh coâng. Khi ñoù X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc chæ nhaän n+1 giaù trò 0; 1;..; n. 2 0 C6 C4 = 1 . 2) Loaïi lieân tuïc. Laø loaïi ñaïi löôïng ngaãu nhieân nhaän voâ haïn khoâng p 2 = P ( X = 2) = 2 ñeám ñöôïc caùc giaù trò maø thoâng thöôøng caùc giaù trò naøy laáp kín moät ñoaïn C10 3 Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø naøo ñoù trong taäp caùc soá thöïc. Ví duï. Giaû söû nhieät ñoä trong naêm 2007 taïi moät ñòa phöông dao ñoäng X 0 1 2 töø 20o C ñeán 33o C. T (oC) laø nhieät ñoä ño ñöôïc taïi ñòa phöông ñoù, ta coù T P 2/15 8/15 1/3 laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc nhaän caùc giaù trò treân [20,33]. 1.3. Luaät phaân phoái: 2) Tröôøng hôïp lieân tuïc. Tröôøng hôïp X lieân tuïc, thay cho vieäc lieät 1) Tröôøng hôïp rôøi raïc. Vôùi X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi keâ caùc giaù trò cuûa X ôû doøng treân, ta chæ ra ñoaïn [a,b] maø X nhaän giaù trò ô raïc nhaän caùc giaù trò taêng daàn : x0, x1,…, xn, ta laäp baûng: ûñoaïn ñoù (a, b coù theå höõu haïn hoaëc voâ haïn). Coøn thay cho xaùc suaát p0, p1,…, pn ta ñöa ra haøm maät ñoä f(x) [f(x) töông öùng vôùi P(X = x)] thoaû caùc tính X x1 x2 ................... xn chaát sau: P p1 p2 ................... pn • f(x) ≥ 0 vôùi moïi x ∈[a,b]. trong ñoù: b • pk = P(X = xk) ≥ 0 vôùi k = 1, 2, …, n. n • ∫ f ( x)dx = 1. • ∑p k =1 k = 1 , nghóa laø p1 + p2 +…+ pn = 1. a β • P (α ≤ X ≤ β ) = ∫ f ( x)dx. α 1 2 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Nhö vaäy, Mod(X) laø giaù trò tin chaéc nhaát cuûa X, töùc laø giaù trò maø X thöôøng laáy nhaát. Chuù yù raèng Mod(X) coù theå nhaän nhieàu giaù trò khaùc nhau. Ví duï. Xeùt laïi ví duï treân, ta coù X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 Do ñoù Mod(X) = 1. Töø ñònh nghóa cuûa haøm maät ñoä ta thaáy vôùi Δx khaù beù ta coù heä thöùc xaáp xæ: 2.2. Kyø voïng P(x - Δx ≤ X ≤ x + Δx) ≈ 2f(x)Δx. 1) Ví duï minh hoïa. Tröôùc khi ñöa ra ñònh nghóa veà kyø voïng, ta Thaät vaäy, khi Δx khaù beù ta coù: xeùt moät ví duï minh hoaï nhö sau: Moät lôùp hoïc 100 sinh vieân thi moân Anh x +Δx x +Δx x + Δx vaên vôùi keát quaû nhö sau: P(x − Δx ≤ X ≤ x + Δx) = ∫ x −Δx f (t)dt ≈ ∫ x −Δx f (x)dt ≈f (x) ∫ x −Δx dt ≈2f (x)Δx. Nhö vaäy, vôùi Δx khoâng ñoåi thì xaùc suaát ñeå X laáy giaù trò thuoäc Ñieåm 4 5 7 8 [x-Δx ; x+Δx ] tæ leä vôùi f(x): Soá sinh vieân 15 30 35 20 Nhö vaäy, neáu goïi X laø ñieåm moân Anh vaên cuûa moät sinh vieân trong lôùp, ta thaáy X laø ñaïi luôïng ngaãu nhieân rôøi raïc coù luaät phaân phoái nhö sau: X 4 5 7 8 Ñieàu naøy cho thaáy taïi ñieåm x naøo maø giaù trò cuûa haøm f(x) lôùn hôn thì ôû P 0,15 0,3 0,35 0,2 laân caän cuûa ñieåm ñoù seõ taäp trung moät xaùc suaát lôùn hôn, nghóa laø X nhaän nhieàu giaù trò trong laân caän ñieåm ñoù hôn. Chính vì theá maø haøm f(x) coù Soá thöïc M(X) = 4.0,15 + 5.0,3 + 7.0,35 + 8.0,2 = 6,15 ñöôïc goïi laø kyø teân laø haøm maät ñoä. voïng cuûa X. Chuù yù raèng ta coù theå vieát: 4.15 + 5.30 + 7.35 + 8.20 M (X ) = §2. Caùc ñaëc soá cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân 100 2.1. Mode. Mode cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, kí hieäu Mod(X), laø giaù Vaäy kyø voïng M(X) chính laø ñieåm trung bình moân Anh vaên cuûa lôùp treân. trò x0 cuûa X ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: Ví duï treân minh hoaï cho ñònh nghóa toång quaùt sau: • Neáu X rôøi raïc thì x0 laø giaù trò maø xaùc suaát P(X = x0) lôùn nhaát trong 2) Ñònh nghóa. Kyø voïng cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, kí hieäu M(X), soá caùc xaùc suaát P(X = x). laø soá thöïc ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: • Neáu X lieân tuïc thì x0 laø giaù trò maø haøm maät ñoä f(x) ñaït giaù trò lôùn • Neáu X rôøi raïc coù luaät phaân phoái nhaát. • X x1 x2 ……………………….. xn P p1 p2 …………………………. pn n thì M(X) = ∑ xk pk , nghóa laø M(X) = x1p1 + x2p2+…+ xnpn. k =1 • Neáu X lieân tuïc vôùi haøm maät ñoä f(x) coù mieàn xaùc ñònh [a,b] thì b M ( X ) = ∫a xf ( x) dx. 3 4 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ví duï. Xeùt laïi ví duï ñaõ xeùt ôû treân, ta coù X coù phaân phoái nhö sau: Suy ra kyø voïng cuûa αX laø: n n X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 M(αX) = ∑ αxk pk = α ∑ xk pk = αM(X). k =1 k =1 Do ñoù kyø voïng cuûa X laø M(X) = 0.2/15 + 1.8/15 + 2.1/3 = 1,2. Tính chaát 3. Giaû söû X, Y coù phaân phoái nhö sau: X x1 x2 ……………………….. xn 3) YÙ nghóa cuûa kyø voïng. Kyø voïng cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X laø P p1 p2 …………………………. pn giaù trò trung bình (tính theo xaùc suaát) cuûa X. Ñoù laø taâm ñieåm cuûa phaân phoái maø caùc giaù trò cuûa X ñöôïc phaân boá xung quanh. Y y1 y2 ……………………….. ym P q1 q2 …………………………. qm 4) Tính chaát. Kyø voïng coù caùc tính chaát sau: Khi ñoù, X + Y nhaän caùc giaù trò xi + yj. Ñaët pij = P(X = xi, Y = yj). Ta coù 4.1. Tính chaát 1. Kyø voïng cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân haèng baèng pi = P(X = xi) = P(Y = y1)P(X = xi/Y = y1)+...+ P(Y = ym)P(X = xi/Y = ym) chính haèng soá ñoù, nghóa laø: = P(X = xi ,Y = y1)+...+ P(X = xi , Y = ym) = pi1+...+pim. M(C) = C m n Nhö vaäy pi = ∑ pij vaø töông töï, q j = ∑ p ij . Suy ra: (C: Const). j =1 i =1 4.2. Tính chaát 2. Vôùi α laø haèng soá ta coù M(αX) = αM(X). n m n m n m n m m n 4.3. Tính chaát 3. Kyø voïng cuûa toång hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân baèng M(X + Y) = ∑ ∑ (xi + y j )pij = ∑ ∑ xipij + ∑ ∑ y jpij = ∑ xi ∑ pij + ∑ y j ∑ pij i =1 j =1 i =1 j =1 i =1 j=1 i =1 j =1 j =1 i =1 toång cuûa hai kyø voïng thaønh phaàn, nghóa laø: n m = ∑ x ipi + ∑ y jq j = M(X) +M(Y) i =1 j=1 M(X + Y) = M(X) + M(Y). 4.4. Tính chaát 4. Kyø voïng cuûa tích hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp Tính chaát 4. Giaû söû X, Y ñoäc laäp vaø coù phaân phoái nhö trong chöùng baèng tích cuûa hai kyø voïng thaønh phaàn (X, Y ñoäc laäp khi vôùi moïi x, y, caùc minh tính chaát 3. Khi ñoù: bieán coá “X = x” vaø “Y = y” ñoäc laäp), nghóa laø: pij = P(X = xi, Y = yj) = P(X = xi)P(Y = yj) = piqj. Suy ra: n m n m ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ M(XY) = M(X)M(Y). M(XY) = ∑ ∑ (x i y j )p ij = ∑ ∑ (x i y j )p i q j = ⎜ ∑ x i p i ⎟ ⎜ ∑ y jq j ⎟ = M(X)M(Y) . i =1 j = 1 i = 1 j=1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ vôùi moïi X, Y ñoäc laäp. 5) Chöùng minh. 2.3. Phöông sai vaø ñoä leäch chuaån. Tính chaát 1. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân haèng C chæ nhaän moät giaù trò laø 1) Ví duï minh hoïa. Tröôùc khi ñöa ra ñònh nghóa veà phöông sai, ta C vôùi xaùc suaát baèng 1. Do ñoù M(C) = C.1 = C. xeùt moät ví duï minh hoaï nhö sau: Xeùt laïi ví duï X laø ñieåm moân Anh vaên cuûa sinh vieân trong lôùp vôùi luaät phaân phoái nhö sau: Tính chaát 2. Giaû söû X coù phaân phoái nhö sau: X 4 5 7 8 X x1 x2 ……………………….. xn P 0,15 0,3 0,35 0,2 P p1 p2 …………………………. pn Khi ñoù, vôùi α laø haèng soá, αX coù phaân phoái nhö sau: Ta muoán ñöa ra moät soá ñeå ñaùnh giaù möùc ñoä ñoàng ñeàu veà ñieåm moân αX αx1 αx2 ……………………….. αxn Anh vaên cuûa sinh vieân trong lôùp. Ta ñaõ bieát ñieåm trung bình moân Anh P p1 p2 …………………………. pn vaên cuûa lôùp laø μ = M(X) = 6,15. Nhö vaäy ñoä leäch veà ñieåm moân Anh vaên so vôùi ñieåm trung bình naøy laø X - μ coù phaân phoái nhö sau: 5 6 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
X−μ −2,15 −1,15 0,85 1,85 X x1 x2 ……………………….. xn P 0,15 0,3 0,35 0,2 P p1 p2 …………………………. pn thì coâng thöùc treân trôû thaønh Moät caùch töï nhieân, moät caâu hoûi ñöôïc ñaët ra laø lieäu raèng ta coù theå choïn soá n n nhö yù ñònh treân laø giaù trò trung bình cuûa ñoä leäch X - μ, töùc laø M(X − μ), D(X) = ∑x p 2 k k −(∑ x k p k )2 ñöôïc hay khoâng? Tuy nhieân qua tính toaùn ta thaáy ngay M(X-μ) = 0 vaø k =1 k =1 nhö vaäy roõ raøng khoâng theå choïn M(X − μ) ñeå ñaùnh giaù möùc ñoä ñoàng ñeàu • Neáu X lieân tuïc vôùi haøm maät ñoä f(x) coù mieàn xaùc ñònh [a,b] thì veà ñieåm moân Anh vaên. Coù theå lyù giaûi vì sao M(X-μ) = 0 nhö sau: Nhöõng b 2 b ñieåm treân trung bình vaø nhöõng dieåm döôùi trung bình cuûa sinh vieân trong D(X) = ∫a x f (x)dx − (∫ xf (x)dx)2 a lôùp ñaõ trieät tieâu laãn nhau. Ñeå traùnh ñieàu naøy, ta xeùt bình phöông ñoä leäch (X − μ)2 vôùi luaät phaân phoái nhö sau: Chöùng minh. (X − μ)2 (−2,15)2 (−1,15)2 (0,85)2 (1,85)2 D(X) = M[(X − μ)2 ] = M(X 2 − 2μX + μ 2 ) = M(X 2 ) − M(2μX) + M(μ 2 ) P 0,15 0,3 0,35 0,2 = M(X 2 ) − 2μM(X) + μ2 = M(X 2 ) − 2μμ + μ 2 = M(X 2 ) − μ 2 = M(X 2 ) − [M(X)]2 vaø choïn soá ñaõ ñònh laø giaù trò trung bình cuûa bình phöông ñoä leäch (X − μ)2, Ví duï. Xeùt laïi ví duï ñaõ xeùt ôû treân, ta coù X coù phaân phoái nhö sau: töùc laø M((X − μ)2): X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 M((X-μ)2) = (−2,15)20,15 + (−1,15)20,3 + (0,85)20,35 + (1,85)20,2 = 2,0275. vaø kyø voïng cuûa X laø M(X) = 1,2ø. Suy ra phöông sai cuûa X laø: Roõ raøng soá naøy ñaëc tröng cho möùc ñoä ñoàng ñeàu veà ñieåm moân Anh D(X) = M(X2) - [M(X)] 2 = 02.2/15 + 12.8/15 + 22.1/3 - (1,2)2 = 32/75 vaên cuûa sinh vieân trong lôùp, ta goïi soá ñoù laø phöông sai cuûa X. Ví duï treân ≈ 0,4267. minh hoaï cho ñònh nghóa toång quaùt sau: Ñoä leäch chuaån cuûa X laø: 2) Ñònh nghóa. Phöông sai cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, kí hieäu D(X), laø soá thöïc khoâng aâm ñònh bôûi: σ ( X ) = D( X ) = 0,4267 ≈ 0,6532. D(X) = M((X − μ)2), 4) YÙ nghóa cuûa phöông sai trong ñoù μ = M(X) laø kyø voïng cuûa X. Caên baäc hai cuûa phöông sai ñöôïc Ta coù: goïi laø ñoä leäch chuaån, kí hieäu σ ( X ) . Vaäy • μ = M(X) laø kyø voïng cuûa X. σ ( X ) = D( X ) . • X - μ laø ñoä leäch cuûa X so vôùi kyø voïng. • (X - μ)2 laø bình phöông ñoä leäch cuûa X so vôùi kyø voïng. 3) Coâng thöùc tính phöông sai. Töø ñònh nghóa cuûa phöông sai ta • D(X) = M((X - μ)2) giaù trò trung bình cuûa bình phöông ñoä leäch cuûa coù coâng thöùc khaùc ñeå tính phöông sai nhö sau: X so vôùi kyø voïng. Phöông sai cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X chính laø giaù trò trung bình D(X) = M(X 2 ) − [M(X)]2 cuûa bình phöông ñoä leäch giöõa caùc giaù trò cuûa X vaø taâm ñieåm kyø voïng. Phöông sai phaûn aùnh möùc ñoä ñoàng ñeàu vaø söï phaân boá caùc giaù trò cuûa X trong ñoù M(X2), M(X) laàn löôït laø kyø voïng cuûa X2 vaø X. Nhö vaäy, xung quanh giaù trò kyø voïng. Neáu phöông sai nhoû thì nhieàu giaù trò cuûa X • Neáu X rôøi raïc coù luaät phaân phoái taäp trung gaàn kyø voïng, coøn neáu phöông sai lôùn thì nhieàu giaù trò cuûa X phaân taùn xa kyø voïng. 7 8 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Trong thöïc teá, thoâng thöôøng kyø voïng M(X) laø giaù trò qui ñònh, chaúng 570ES,...) ñeå tính kyø voïng, phöông sai vaø ñoä leäch chuaån cuûa ñaïi löôïng ngaãu haïn ñöôøng kính qui ñònh, troïng löôïng qui ñònh,… Coøn thöïc teá saûn xuaát ra nhieân rôøi raïc. laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân X. Do ñoù, trong coâng nghieäp, phöông sai bieåu thò Ví duï. Xeùt ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc X coù phaân phoái nhö sau: ñoä chính xaùc cuûa saûn xuaát. Trong chaên nuoâi, phöông sai bieåu thò möùc ñoä ñoàng ñeàu cuûa ñaøn gia suùc,… Trong troàng troït, phöông sai bieåu thò möùc ñoä X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 oån ñònh cuûa naêng suaát caây troàng,… 5) Tính chaát. Phöông sai coù caùc tính chaát sau: a) Ñoái vôùi loaïi maùy tính CASIO 500 vaø 570MS: Tính chaát 1. Phöông sai cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân haèng baèng 1) Vaøo MODE SD: Baám MODE (vaøi laàn...) vaø baám soá öùng vôùi SD, treân maøn 0, nghóa laø: hình seõ hieän leân chöõ SD. D(C) = 0 2) Xoùa boä nhôù thoáng keâ: Baám SHIFT MODE 1 (maøn hình hieän leân Stat (C: Const). clear) = AC . Kieåm tra laïi: Baám nuùt troøn ∇ hoaëc Δ thaáy n = vaø ôû goùc soá 0 Tính chaát 2. Vôùi α laø haèng soá ta coù laø ñaõ xoùa. 3) Nhaäp soá lieäu: Baám xi SHIFT , pi M+ (khi baám SHIFT , treân maøn D(αX) = α2(D(X). hình hieän leân daáu ;). Cuï theå, ta baám: Tính chaát 3. Phöông sai cuûa toång hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp 0 SHIFT , 2 a b/c 1 5 M+ baèng toång cuûa hai phöông sai thaønh phaàn, nghóa laø: 1 SHIFT , 8 a b/c 1 5 M+ D(X + Y) = D(X) + D(Y). 2 SHIFT , 1 a b/c 3 M+ 4) Kieåm tra vaø söûa soá lieäu sai: Baám nuùt troøn ∇ ñeå kieåm tra vieäc nhaäp soá vôùi moïi X, Y ñoäc laäp. lieäu. Thaáy soá lieäu naøo sai thì ñeå maøn hình ngay soá lieäu ñoù, nhaäp soá lieäu ñuùng vaø baám = thì soá lieäu môùi seõ thay cho soá lieäu cuõ. Chöùng minh. Ví duï. Nhaäp sai 0 SHIFT , 2 a b/c 2 5 M+ . Khi kieåm tra ta thaáy treân maøn hình hieän ra: Tính chaát 1. D(C) = M(C2) – [M(C)]2 = C2 – C2 = 0. - x1 = 0 (ñuùng). - Freq1 = 2/25 (sai) Tính chaát 2. Ta coù: Söûa nhö sau: Ñeå maøn hình ôû Freq1 = 2/25, baám 2 a b/c 1 5 = D(αC) = M(α2C2) – [M(αC)]2 = α2M(C2) – [αM(C)]2 thì nhaän ñöôïc soá lieäu ñuùng Freq1 = 2/15. = α2M(C2) – α2[M(C)]2 = α2(M(C2) – [M(C)]2) = α2D(C) Soá lieäu naøo bò nhaäp dö thì ñeå maøn hình ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT M+ thì toøan boä soá lieäu ñoù (goàm giaù trò cuûa X vaø xaùc suaát töông öùng) Tính chaát 3. Vôùi X, Y ñoäc laäp, ta coù: seõ bò xoùa. Chaúng haïn, nhaäp dö 3 SHIFT , 3 a b/c 4 M+ . Khi kieåm tra ta D(X + Y) = M[(X+Y)2] – M[(X+Y)]2 = M(X2 + 2XY + Y2] – [M(X) + M(Y)]2 = M(X2 ) + M(2XY) + M(Y2) – ([M(X)]2 + 2M(X)M(Y) + [M(Y)]2) thaáy x4 = 3 (dö). Ta ñeå maøn hình ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT M+ thì toøan boä = M(X2 ) + 2M(Y)M(Y)+ M(Y2) – [M(X)]2 - 2M(X)M(Y) - [M(Y)]2 soá lieäu dö (goàm giaù trò cuûa X = 3 vaø xaùc suaát töông öùng 3/4) seõ bò xoùa. = M(X2 ) – [M(X)]2 + M(Y2) - [M(Y)]2 = D(X) + D(Y) Chuù yù. Sau khi kieåm tra vieäc nhaäp soá lieäu xong, phaûi baám AC ñeå xoùa maøn hình vaø thoùat khoûi cheá ñoä chænh söûa. 2.4 Söû duïng maùy tính ñeå tính caùc ñaëc soáù. Ta coù theå söû duïng phaàn 5) Ñoïc keát quaû: meàm thoáng keâ trong caùc maùy tính boû tuùi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 9 10 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ñaïi löôïng caàn tìm Thao taùc Keát quaû Ghi chuù Ví duï: Xeùt ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù luaät phaân phoái nhö sau: Kyø voïng M(X) SHIFT 2 1 = X = 1.2 M(X) = X X 40 50 60 70 80 90 100 110 Ñoä leäch chuaån σ(X) SHIFT 2 2 = xσn = 0, 6532. σ(X) = xσn P 0,03 0,1 0,12 0,15 0,28 0,16 0,11 0,05 • Phöông sai D(X) = [σ(X)]2= (0,6532)2= 0,4267 Tìm kyø voïng, ñoä leäch chuaån vaø phöông sai cuûa X. b) Ñoái vôùi loaïi maùy tính CASIO 500 vaø 570ES: Giaûi. Baám maùy tính nhö treân ta ñöôïc: n 1) Khai baùo coät taàn soá: Baám SHIFT SETUP ∇ 4 1 - Kyø voïng: M(X) = ∑x p k =0 k k = 77,2. (Baám ∇ baèng caùch baám nuùt troøn xuoáng) n 2) Vaøo Mode Thoáng keâ: Baám MODE 3 1 (hoaëc MODE 2 1 cho 500ES) - Phöông sai: D(X) = ∑x p k =0 2 k k − [M(X)]2 = (17, 2673)2 . (Treân maøn hình seõ hieän leân chöõ STAT) - Ñoä leäch chuaån: σ(X) = D(X) ≈ 17, 2673 3) Nhaäp soá lieäu: Nhö trong baûng sau: §3. Phaân phoái sieâu boäi 3.1. Ví duï môû ñaàu. Moät loâ haøng chöùa N saûn phaåm, trong ñoù coù ñuùng NA (0 < NA < N) saûn phaåm loaïi A. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra n (0 < n < N) saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi A coù trong n saûn phaåm choïn ra. Khi ñoù X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân nhaän caùc giaù trò nguyeân k ñöôïc tính theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn: 4) Kieåm tra vaø söûa soá lieäu sai: Baám nuùt troøn ñeå kieåm tra vieäc nhaäp soá lieäu. Thaáy soá lieäu naøo sai thì ñeå con troû ngay soá lieäu ñoù, nhaäp soá lieäu ñuùng vaø baám = thì soá lieäu môùi seõ thay cho soá lieäu cuõ. k n−k Soá lieäu naøo bò nhaäp dö thì ñeå con troû ôû soá lieäu ñoù vaø baám DEL thì C N C N −N toøan boä soá lieäu ñoù (goàm giaù trò cuûa X vaø xaùc suaát töông öùng) seõ bò xoùa. P( X = k ) = n A A Chuù yù. Sau khi kieåm tra vieäc nhaäp soá lieäu xong, phaûi baám AC ñeå CN xoùa maøn hình vaø thoùat khoûi cheá ñoä chænh söûa. Trong quaù trình xuû lyù soá lieäu, Caùc giaù trò k cuûa X laø caùc soá nguyeân thoûa: muoán xem laïi baûng soá lieäu thì baám SHIFT 1 2 ⎧0 ≤ k ≤ N A ; ⎧0 ≤ k ≤ N A ; ⎨ ⇔⎨ ⇔ max{0; n + N A − N} ≤ k ≤ min{n, N A }. ⎩ 0 ≤ n − k ≤ N − NA ⎩n + N A − N ≤ k ≤ n 5) Ñoïc keát quaû: Ñaïi löôïng caàn tìm Thao taùc Keát quaû Ghi chuù Ta noùi X coù phaân phoái sieâu boäi theo ñònh nghóa toång quaùt sau: Kyø voïng M(X) SHIFT 1 5 2 = X = 1.2 M(X) = X Ñoä leäch chuaån σ(X) SHIFT 1 5 3 = xσn = 0, 6532 σ(X) = xσn 3.2. Ñònh nghóa. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái 2 2 • Phöông sai D(X) = [σ(X)] = (0,6532) = 0,4267 sieâu boäi, kí hieäu X ∼ H(N, NA, n) (H: chöõ caùi ñaàu cuûa töø Hypergeometric nghóa laø sieâu boäi), trong ñoù N, NA, n laø caùc soá nguyeân döông thoaû 11 12 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
0 < n, NA < N, neáu X rôøi raïc nhaän caùc giaù trò k nguyeân töø Kyø voïng cuûa X laø max{0; n + NA - N} ñeán min{n; NA} theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn: 8 M(X) = np = 4. = 2, 667. 12 C C k n−k NA N − NA P(X = k) = Phöông sai cuûa X laø C n N N-n 8 8 12 - 4 D(X) = npq = 4. (1 − ) = 0, 6465. Hieån nhieân caùc giaù trò treân ñeàu khoâng aâm, hôn nöõa N -1 12 12 12 - 1 C C k n−k §4. Phaân phoái nhò thöùc ∑ NA N − NA =1 4.1. Ví duï môû ñaàu. Tieán haønh n pheùp thöû ñoäc laäp trong nhöõng ñieàu C n k N kieän nhö nhau. Giaû söû ôû moãi pheùp thöû, bieán coá A hoaëc xaûy ra vôùi xaùc suaát p khoâng ñoåi, hoaëc khoâng xaûy ra vôùi xaùc suaát q = 1 – p. Goïi X laø ñieàu naøy phuø hôïp vôùi luaät phaân phoái cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá laàn bieán coá A xaûy ra trong n pheùp thöû. Khi raïc. ñoù X nhaän n + 1 giaù trò k = 0, 1, …, n vôùi caùc xaùc suaát ñöôïc tính theo 3.3. Caùc ñaëc soá cuûa phaân phoái sieâu boäi coâng thöùc Bernoulli: Giaû söû X coù phaân phoái sieâu boäi X ∼ H(N, NA, n). Khi ñoù X coù caùc ñaëc P (X = k) = Cnp k q n − k k soá nhö sau: 1) Kyø voïng: Ta noùi X coù phaân phoái nhò thöùc theo ñònh nghóa toång quaùt sau: N M ( X ) = np vôùi p= A . N 4.2. Ñònh nghóa. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái 2) Phöông sai. nhò thöùc, kí hieäu X∼ B(n,p) (B: Chöõ caùi ñaàu cuûa töø Binomial nghiaõ laø nhò N −n thöùc), trong ñoù n soá nguyeân döông vaø 0 < p < 1, neáu X rôøi raïc nhaän D( X ) = npq vôùi q = 1− p . N −1 n + 1 giaù trò nguyeân 0, 1,…, n vôùi caùc xaùc suaát ñöôïc tính theo theo coâng Ví duï. Moät hoäp chöùa 12 bi goàm 8 bi ñoû vaø 4 bi xanh. Choïn ngaãu thöùc Bernoulli: P ( X = k ) = C n p k q n −k . k nhieân töø hoäp ra 4 bi. Goïi X laø soá bi ñoû coù trong 4 bi choïn ra. Haõy tìm luaät phaân phoái cuûa X vaø xaùc ñònh kyø voïng, phöông sai cuûa X. Hieån nhieân caùc giaù trò treân ñeàu khoâng aâm, hôn nöõa Giaûi. Ta thaáy X coù phaân phoái sieâu boäi: n ∑C p q k X ∼ H(N, NA, n) vôùi N = 12; NA = 8, n = 4. n k n−k = (q + p)n = 1 Do ñoù X nhaän caùc giaù trò k nguyeân töø max {0; 4+8-12} = 0 ñeán min{4; 8} k =0 = 4 vôùi caùc xaùc suaát ñònh bôûi: ñieàu naøy phuø hôïp vôùi luaät phaân phoái cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi k 4−k raïc.Tröôøng hôïp n = 1, ta coøn noùi X coù phaân phoái Bernoulli, kí hieäu P( X = k ) = C 8 C 4 4 X ∼ B(p). C12 4.3. Caùc ñaëc soá cuûa phaân phoái nhò thöùc Töø ñaây ta tính ñöôïc Giaû söû X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495; nhö sau: P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495. 1) Mode: Mod(X) = k, trong ñoù k laø soá nguyeân thoûa Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø: np – q ≤ k ≤ np – q + 1. 2) Kyø voïng: M(X) = np. X 0 1 2 3 4 3) Phöông sai: D(X) = npq. P 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495 13 14 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
P (X = k) ≈ C np k q n − k k Ví duï. Moät loâ haøng chöùa raát nhieàu saûn phaåm, trong ñoù tæ leä saûn (k = 0, 1, …) phaåm loaïi toát laø 60%. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra 5 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm toát coù trong 5 saûn phaåm choïn ra. Haõy tìm luaät phaân phoái Nhaän xeùt: Vì X coù phaân phoái sieâu boäi X ∼ H(N, NA, n) neân xaùc suaát cuûa X. Xaùc ñònh kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. Hoûi giaù trò tin chaéc nhaát P(X = k) ñuùng ra phaûi ñöôïc tính theo coâng thöùc xaùc suaát löïa choïn: cuûa X laø bao nhieâu? k n−k Giaûi. Ta xem vieäc choïn moät saûn phaåm laø thöïc hieän moät pheùp thöû. P( X = k ) = C N C N −N A A n Vì loâ haøng coù chöùa raát nhieàu saûn phaåm neân coù theå xem vieäc choïn ra 5 CN saûn phaåm laø 5 pheùp thöû ñoäc laäp, trong moãi pheùp thöû bieán coá A: “Saûn Tuy nhieân, nhôø ñònh lyù treân, ta coù theå tính xaùc suaát treân theo coâng thöùc phaåm thuoäc loaïi toát” xaûy ra vôùi xaùc suaát p = 60% = 0,6 vaø khoâng xaûy ra Bernoulli goïn hôn. vôùi xaùc suaát q = 1 – p = 0,4. Do ñoù X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n = 5, p = 0,6. Suy ra X nhaän 6 giaù trò nguyeân 0,1,…, 5 vôùi caùc xaùc Ví duï. Moät loâ haøng chöùa 10000 saûn phaåm, trong ñoù coù 8000 saûn suaát ñöôïc tính theo theo coâng thöùc Bernoulli: phaåm toát vaø 2000 saûn phaåm xaáu. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra 10 saûn P ( X = k ) = C n p k q n−k = C 5 (0,6) k (0,4) 5−k . k k phaåm. Tính xaùc suaát choïn ñöôïc 7 saûn phaåm toát. Giaûi. Goïi X laø soá saûn phaåm toát coù trong 10 saûn phaåm choïn ra. Khi Töø ñaây ta tính ñöôïc ñoù X coù phaân phoái sieâu boäi X ∼ H(N, NA, n) vôùi N = 10000; NA= 8000; P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304; n =10. Vì n = 10 raát nhoû so vôùi N = 10000 neân ta coù theå xem nhö X coù P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776. phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n = 10; p = NA/N = 8000/10000 = 0,8. Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø: Do ñoù xaùc suaát choïn ñöôïc 7 saûn phaåm toát laø: P (X = 7) = C10(0, 8)7 (0, 2)3 ≈ 0, 2013. 7 X 0 1 2 3 4 5 §5. Phaân phoái Poisson P 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776 5.1. Ñònh nghóa. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái Poisson, kí hieäu X ∼ P(a), trong ñoù haèng soá a > 0, neáu X rôøi raïc nhaän - Kyø voïng cuûa X laø M(X) = np = 5.0,6 = 3. voâ haïn ñeám ñöôïc caùc giaù trò nguyeân k = 0,1,…, vôùi caùc xaùc suaát ñònh bôûi: - Phöông sai cuûa X laø D(X) = npq = 5.0,6. 0,4 = 1,2. e− aa k P (X = k) = - Giaù trò tin chaéc nhaát cuûa X chính laø Mod(X) = k vôùi k laø soá k! nguyeân thoûa np – q ≤ k ≤ np – q + 1 ⇔ 5. 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5. 0,6 – 0,4 + 1 Hieån nhieân caùc giaù trò treân ñeàu khoâng aâm, hôn nöõa ⇔ 2,6 ≤ k ≤ 3,6 +∞ e−a a k +∞ ak ⇔ k = 3. ∑ k! = e −a ∑ = e − a e a = 1. k =0 k =0 k! Vaäy giaù trò tin chaéc nhaát cuûa X laø k = 3. Ñieàu naøy phuø hôïp vôùi luaät phaân phoái cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi Ta cuõng coù theå tìm laïi ñöôïc caùc keát quaû treân baèng caùch tính toaùn raïc. tröïc tieáp döïa vaøo luaät phaân phoái cuûa X. 5.2. Caùc ñaëc soá cuûa phaân phoái Poisson 4.4. Ñònh lyù. Cho X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái sieâu Giaû söû X coù phaân phoái Poisson X ∼ P(a). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá nhö boäi X ∼ H(N, NA, n). Giaû söû raèng n raát nhoû so vôùi N. Khi ñoù coù theå xaáp sau: xæ X baèng ñaïi löôïng ngaãu nhieân Y coù phaân phoái nhò thöùc : X ≈ Y, trong 1) Kyø voïng: M(X) = a. NA ñoù Y ∼ B(n,p) vôùi p = , nghóa laø: 2) Phöông sai: D(X) = a. N 15 16 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
(x −μ )2 5.3. Tính chaát. Giaû söû X1, X2 ñoäc laäp, coù phaân phoái Poisson 1 − X1 ∼ P(a1), X2 ∼ P(a2). Khi ñoù X1 + X2 cuõng coù phaân phoái Poisson: fμ,σ (x) = e 2σ 2 X1 + X2 ∼ P(a1+ a2). σ 2π 5.4. Ñònh lyù Poisson. Cho X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân Hieån nhieân f μ ,σ ( x ) > 0 , hôn nöõa phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p). Giaû söû raèng n khaù lôùn vaø p khaù beù (thoâng thöôøng p < 0,1). Khi ñoù coù theå xaáp xæ X baèng ñaïi löôïng ngaãu nhieân Y coù 2 +∞ +∞ − ( x−μ ) 1 phaân phoái Poisson: X ≈ Y, trong ñoù Y ∼ P(a) vôùi a = np, nghóa laø: ∫ f μ ,σ ( x)dx = σ 2π ∫e 2σ 2 dx = 1 (Tích phaân Euler) −∞ −∞ e−a a k Ñieàu naøy cho thaáy f μ ,σ ( x) thoûa caùc tính chaát cuûa haøm maät ñoä. P (X = k) ≈ (k = 0, 1, …) k! 6.2. Caùc ñaëc soá cuûa phaân phoái chuaån. Nhaän xeùt. Vì X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) neân xaùc suaát Giaû söû X coù phaân phoái chuaån X ∼ N(μ, σ2). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá P(X = k) ñuùng ra phaûi ñöôïc tính theo coâng thöùc Bernoulli: nhö sau: P ( X = k ) = C n p k q n −k . k 1) Mode: Mod (X) = μ. 2) Kyø voïng: M(X) = μ. Tuy nhieân, nhôø Ñònh lyù Poisson, ta coù theå tính xaùc suaát treân theo coâng 3) Phöông sai: D(X) = σ2. thöùc goïn hôn ñöôïc phaùt bieåu trong cuûa ñònh lyù. 6.3. Haøm Gauss. Haøm Gauss f(x) laø haøm maät ñoä cuûa ñaïi löôïng Ví duï. Moät maùy deät coù 1000 oáng sôïi. Xaùc suaát ñeå trong moät giôø maùy ngaãu nhieân X coù phaân phoái chuaån chính taéc X ∼ N(0,1): hoaït ñoäng coù 1 oáng sôïi bò ñöùt laø 0,2%. Tìm xaùc suaát ñeå trong moät giôø coù 2 khoâng quaù 2 oáng sôïi bò ñöùt. 1 − x2 f ( x) = e . Giaûi. Ta xem vieäc quan saùt moät oáng sôïi trong khoaûng thôøi gian moät 2π giôø maùy hoaït ñoäng laø moät pheùp thöû. Khi ñoù, do maùy deät coù 1000 oáng sôïi, Haøm Gauss laø haøm soá chaün (nghóa laø f(-x) = f(x)), lieân tuïc treân R, ta coù 1000 pheùp thöû ñoäc laäp. Goïi A laø bieán coá oáng sôïi bò ñöùt. Trong moãi x2 pheùp thöû, bieán coá A xaûy ra vôùi xaùc suaát p = 0,2% = 0,002 vaø khoâng xaûy x − 1 f ′(x) = − e 2 = 0 ⇔ x = 0 (y = ) ra vôùi xaùc suaát q = 1- p = 0,998. Do ñoù, goïi X laø toång soá oáng sôïi bò ñöùt 2π 2π trong moät giôø hoaït ñoäng cuûa maùy thì X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) Baûng bieán thieân: vôùi n = 1000, p = 0,002. Vì n = 1000 khaù lôùn vaø p = 0,002 khaù beù neân ta coù theå xem X coù phaân phoái Poisson: X ∼ P(a) vôùi a = np = 1000.0,002 = 2. Xaùc suaát ñeå coù khoâng quaù 2 oáng sôïi bò ñöùt trong moät giôø hoaït ñoäng cuûa maùy laø: e−2 20 e−2 21 e−2 22 P (0 ≤ X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ + + = 5e−2 ≈ 0, 6767. 0! 1! 2! Ñoà thò cuûa haøm Gauss ñoái xöùng qua truïc tung nhö sau: §6. Phaân phoái chuaån 6.1. Ñònh nghóa. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái chuaån, kí hieäu X ∼ N(μ, σ2) (N: Chöõ caùi ñaàu tieân cuûa töø Normal nghóa laø chuaån), trong ñoù μ, σ laø caùc haèng soá vaø σ > 0, neáu X lieân tuïc vaø coù haøm maät ñoä xaùc ñònh treân R ñònh bôûi: 17 18 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Haøm Laplace y = ϕ(x) laø haøm soá leû (nghóa laø ϕ(-x) = -ϕ(x)), lieân tuïc treân R vaø coù ñoà thò ñoái xöùng qua goác toïa ñoä nhö sau: Ngöôøi ta ñaõ laäp baûng giaù trò cuûa haøm Gauss, trong ñoù ghi caùc giaù trò f(x) treân ñoaïn [0 ; 3,99]. Khi x > 3,99, haøm Gauss giaûm raát chaäm, do ñoù ta xaáp xæ: ∀x > 3,99, f(x) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001. Ví duï. Tra baûng giaù trò haøm Gauss ta coù: f(1,14) ≈ 0,2083; f(0,29) ≈ 0,3825; f(-2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396; Ngöôøi ta ñaõ laäp baûng giaù trò cuûa haøm Laplace, trong ñoù ghi caùc giaù trò f(3,21) ≈ 0,0023; cuûa ϕ(x) treân ñoaïn [0,5]. Khi x > 5, haøm Laplace taêng raát chaäm, do ñoù f(-6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001. ta xaáp xæ: 6.4. Haøm Laplace. Haøm Laplace ϕ(x) laø haøm soá xaùc ñònh treân R ∀x > 5, ϕ(x) ≈ ϕ(5) ≈ 0,5. ñònh bôûi: 2 1 x − t2 Ví duï. Tra baûng giaù trò haøm Laplaceta coù: 2π ∫ ϕ ( x) = e dt. ϕ (1,14) ≈ 0,3729; 0 ϕ (-2,15) = - ϕ(2,15) ≈ - 0,4842. x ϕ (-6,12) = - ϕ (6,12) ≈ - ϕ (5) ≈ -0,5. Nhaän xeùt: ϕ(x) = ∫ f (t)dt vôùi f(t) laø haøm Gauss neân ϕ′(x) = f(x) > 0, 0 do ñoù ϕ(x) laø haøm taêng. 6.5. Coâng thöùc tính xaùc suaát cuûa phaân phoái chuaån Cho X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån X ∼ N(μ, σ2). Khi ñoù, xaùc suaát ñeå X laáy caùc giaù trò thuoäc [a; b] laø: b−μ a−μ P(a ≤ X ≤ b) = ϕ( ) − ϕ( ) (1) σ σ trong ñoù ϕ(x) laø haøm Laplace. Thaät vaäy, theo ñònh nghóa cuûa haøm maät ñoä ta coù; b b (x −μ )2 1 − Baûng bieán thieân nhö sau: P(a ≤ X ≤ b) = ∫ fμ,σ (x)dx = ∫e 2 σ2 dx a σ 2π a 19 20 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ñoåi bieán baèng caùch ñaët: x−μ dx P(| X − μ | σ) = 2ϕ(1) = 2.0, 3413 = 0, 6826 = 68, 26%. ≤ t= ⇒ dt = σ σ a−μ b−μ 2) Vôùi k = 2, ta coù Qui taéc 2-sigma: Ñoåi caän: x = a ⇒ t = ;x = b ⇒ t = σ σ Ta coù: P(|X − μ | 2σ) = 2ϕ(2) = 2.0, 4772 = 0, 9544 = 95, 44%. ≤ b (x −μ )2 1 − P(a ≤ X ≤ b) = ∫e dx 2 2σ σ 2π a 3) Vôùi k = 3, ta coù Qui taéc 3-sigma: b −μ b −μ 1 σ − t2 1 0 − t2 1 σ − t2 P(| X − μ |≤ 3σ ) = 2ϕ (3) = 2.0,49865 = 0,9973 = 99,73%. = 2π ∫ a −μ e 2 dt = 2π ∫ a −μ e 2 dt + 2π ∫ 0 e 2 dt = σ σ Qui taéc 3-sigma cho thaáy khi X coù phaân phoái chuaån thì haàu heát caùc giaù b −μ a −μ t2 t2 trò cuûa X sai leäch vôùi kyø voïng μ = M(X) khoâng quaù 3 laàn ñoä leäch chuaån σ. 1 σ − 1 σ − b−μ a−μ = 2π ∫ e 2 dt − 2π ∫ e 2 dt = ϕ( σ ) − ϕ( σ ) 0 0 Ví duï. Troïng löôïng cuûa moät loaïi saûn phaåm laø ñaïi löông ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån vôùi troïng löôïng trung bình 50kg vaø phöông sai 6.6. Qui taéc k-sigma 100kg2. Moät saûn phaåm ñöôïc xeáp vaøo loaïi A neáu coù troïng löôïng töø 45kg Cho X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån X ∼ N(μ, σ2). ñeán 55kg. Tính tæ leä saûn phaåm loaïi A cuûa loaïi saûn phaåm treân. Khi ñoù, vôùi moãi k > 0 ta coù: Giaûi. Goïi X laø troïng löôïng cuûa loaïi saûn phaåm ñaõ cho. Töø giaû thieát ta suy ra X coù phaân phoái chuaån X ∼ N(μ, σ2) vôùi μ = 50, σ2 = 100 P(| X − μ | kσ) = 2ϕ(k) ≤ (σ = 10). Vì moät saûn phaåm ñöôïc xeáp vaøo loaïi A khi coù troïng löôïng töø 45kg ñeán 55kg nghóa laø 45 ≤ X ≤ 55 neân tæ leä saûn phaåm loaïi A chính Thaãt vaäy, laø xaùc suaát P(45 ≤ X ≤ 55). Aùp duïng coâng thöùc trong 6.5, ta coù P(| X − μ | kσ) = P(− kσ ≤ X − μ ≤ kσ) ≤ = P(μ − kσ ≤ X ≤ μ + kσ) 55 − μ 45 − μ 55 − 50 45 − 50 P(45 ≤ X ≤ 55) = ϕ( ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) μ + kσ − μ μ − kσ − μ σ σ 10 10 = ϕ( ) − ϕ( ) = ϕ(0, 5) − ϕ(−0, 5) = 2ϕ(0, 5) = 2.0,1915 = 0, 383. σ σ = ϕ(k) − ϕ(− k) = 2ϕ(k) (Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ (0,5) = 0,1915). Vaäy tæ leä saûn phaåm loaïi A laø 38,3%. Minh hoïa: 6.7. Ñònh lyù Moivre-Laplace. Cho X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p). Giaû söû raèng n khaù lôùn vaø p khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1 (thoâng thöôøng 0,1 ≤ p ≤ 0,9). Khi Qui taéc k-sigma cho thaáy khi X coù phaân phoái chuaån thì xaùc suaát ñeå caùc ñoù coù theå xaáp xæ X baèng ñaïi löôïng ngaãu nhieân Y coù phaân phoái chuaån: giaù trò cuûa X sai leäch vôùi kyø voïng μ = M(X) khoâng quaù k laàn ñoä leäch X ≈ Y, trong ñoù Y ∼ N(μ, σ2) vôùi μ = np, σ = npq (q = 1-p) nghóa laø: chuaån σ laø 2ϕ(k). Chaúng haïn, 1 k−μ 1) P ( X = k ) ≈ f( ). (k = 0,1,2,…) σ σ 1) Vôùi k = 1, ta coù Qui taéc 1-sigma: 21 22 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
k2 − μ k1 − μ Nhö vaäy, ñeå giaûi baøi toaùn, tröôùc heát ta tìm xaùc suaát ñeå moät kieän 2) P ( k 1≤ X ≤ k 2 ) ≈ ϕ ( ) − ϕ( ) ( k1 < k2) σ σ ñöôïc nhaän khi khaùch haøng kieåm tra kieän ñoù. Theo giaû thieát moãi kieän trong ñoù f(x) laø haøm Gauss vaø ϕ(x) laø haøm Laplace. chöùa 10 saûn phaåm goàm 6 saûn phaåm toát vaø 4 saûn phaåm xaáu, khaùch haøng choïn ngaãu nhieân ra 3 saûn phaåm; neáu thaáy coù ít nhaát 2 saûn phaåm toát thì Nhaän xeùt. Vì X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) neân xaùc suaát choïn kieän, nghóa laø neáu choïn ñöôïc 2 toát, 1 xaáu hoaëc 3 toát thì môùi choïn P(X = k) ñuùng ra phaûi ñöôïc tính theo coâng thöùc Bernoulli: kieän. Do ñoù theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn ta coù xaùc suaát ñeå moät P ( X = k ) = C n p k q n −k . k kieän ñöôïc nhaän laø: 2 1 3 0 Tuy nhieân, nhôø Ñònh lyù Moivre-Laplace, ta coù theå tính xaùc suaát treân p = P3 ( 2 ≤ k ≤ 3) = P3 ( 2 ) + P3 (3) = C6C4 + C6C4 = 2 . 3 3 theo coâng thöùc goïn hôn ñöôïc phaùt bieåu trong ñònh lyù. C 10 C 10 3 Ta xem vieäc kieåm tra moät kieän laø moät pheùp thöû. Khi ñoù, khaùch haøng Ví duï. Saûn phaåm do moät nhaø maùy saûn xuaát ñöôïc ñoùng thaønh töøng kieåm tra 140 kieän neân ta coù 140 pheùp thöû ñoäc laäp. Goïi A laø bieán coá kieän, moãi kieän goàm 10 saûn phaåm, trong ñoù coù 6 saûn phaåm toát vaø 4 saûn kieän haøng ñöôïc nhaän. Theo keát quaû treân, trong moãi pheùp thöû, bieán coá A phaåm xaáu. Khaùch haøng choïn caùch kieåm tra nhö sau: Töø moãi kieän choïn xaûy ra vôùi xaùc suaát p = 2/3 vaø khoâng xaûy ra vôùi xaùc suaát q = 1- p = 1/3. ngaãu nhieân ra 3 saûn phaåm; neáu thaáy coù ít nhaát 2 saûn phaåm toát thì nhaän Do ñoù, goïi X laø toång soá kieän haøng ñöôïc nhaän trong 140 kieän ñöôïc kieåm kieän ñoù, ngöôïc laïi thì loaïi kieän ñoù. Kieåm tra 140 kieän trong raát nhieàu tra, X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n = 140, p = 2/3. Vì n = 140 kieän. Tính xaùc suaát ñeå coù: khaù lôùn vaø p = 2/3 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1 neân ta coù a) 93 kieän ñöôïc nhaän. theå xem X coù phaân phoái chuaån nhö sau: b) Töø 90 ñeán 110 kieän ñöôïc nhaän. X ∼ N(μ, σ2) vôùi μ = np = 140.2/3 = 93,3333, σ = npq = 140.2 / 3.1 / 3 = 5,5777. Giaûi. Ta löu yù Sơ đồ giaûi nhö sau: a) Xaùc suaát ñeå coù 93 kieän ñöôïc nhaän laø: Bước 1: Tính xaùc suaát p để một kieän ñöôïc nhaän khi khaùch haøng kieåm tra 1 93 − μ 1 93 − 93, 33 P (X = 93) = f ( )= f( ) kieän ñoù. σ σ 5, 5777 5, 5777 Bước 2: Gọi X laø số kieän ñöôïc nhaän trong n kieän ñöôïc kieåm tra (n khaù 1 1 0, 3982 = f (−0, 06) = f (0, 06) = = 0, 0714. lớn, ôû ñaây n =140 ). Khi ñoù X coù phối nhị thức X ∼ B(n,p). Coù 2 5, 5777 5, 5777 5, 5777 trường hợp xảy ra: (Tra baûng giaù trò haøm Gauss ta ñöôïc f(0,06) = 0,3982). a) p nhoû (thoâng thöôøng p < 0,1): Xaáp xæ X baèng phaân phoái Poisson: X ∼ P(a) vôùi a = np, nghóa laø b) Xaùc suaát ñeå coù töø 90 ñeán 110 kieän ñöôïc nhaän laø: −a k e a P (X = k) ≈ (k = 0, 1, …) 110 − μ 90 − μ 110 − 93, 3333 90 − 93, 3333 k! P (90 ≤ X ≤ 110) = ϕ( ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ 5, 5777 5, 5777 b) p khoâng nhoû cuõng khoâng lôùn (thoâng thöôøng 0,1 ≤ p ≤ 0,9): Xaáp = ϕ(2, 99) − ϕ(−0, 6) = ϕ(2, 99) + ϕ(0, 6) = 0, 498625 + 0, 2257 = 0,724325. xæ X baèng phaân phoái chuaån X ∼ N(μ, σ2) vôùi μ = np, σ = npq (q = 1- (Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ(2,99)=0,498625; ϕ(0,6) = 0,2257). p), nghóa laø: 6.8. Khaùi nieäm veà Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm. 1 k−μ • P (X = k) ≈ f ( ) (k = 0,1,2,…) Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm laø moät ñònh lyù coù nhieàu öùng duïng trong σ σ thöïc teá maø moät heä quaû cuûa ñònh lyù naøy laø: Neáu ñaïi löôïng ngaãu nhieân X k2 − μ k1 − μ • P ( k 1≤ X ≤ k 2 ) ≈ ϕ ( ) −ϕ( ) ( k1 < k2) laø toång cuûa moät soá lôùn (≥ 30) caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp vaø giaù σ σ trò cuûa moãi ñaïi löôïng ñoùng vai troø raát nhoû trong toång ñoù thì X seõ coù trong ñoù f(x) laø haøm Gauss vaø ϕ(x) laø haøm Laplace. phaân phoái xaáp xæ phaân phoái chuaån, nghiaõ laø: 23 24 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Neáu X = X1 + X2 +...+ Xn vôùi n khaù lôùn, trong ñoù caùc Xi ñoäc laäp vaø Khi ñoù: moãi Xi coù aûnh höôûng raát ít ñeán X, thì coù theå xem nhö X coù phaân phoái - Kyø voïng: M(X) = a. chuaån. - Phöông sai: D(X) = a. YÙ nghóa cuûa Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm laø khi coù nhieàu nhaân toá 6. Phaân phoái chuaån: X ∼ N(μ, σ2) ngaãu nhieân taùc ñoäng sao cho khoâng coù nhaân toá naøo vöôït troäi laán aùt caùc Khi ñoù: nhaân toá khaùc thì keát quaû cuûa chuùng xaáp xæ phaân phoái chuaån. Ñieàu naøy a) Caùc ñaëc soá: cho thaáy söï phoå bieán cuûa phaân phoái chuaån trong thöïc teá. Chaúng haïn, khi - Mode: Mod(X) = μ. tình hình saûn xuaát bình thöôøng thì sai laàm cuûa pheùp ño trong vaät lyù - Kyø voïng: M(X) = μ. thöôøng laø do toång cuûa nhieàu ñaïi löôïng ngaãu nhieân maø moãi ñaïi löôïng aûnh - Phöông sai: D(X) = σ2. höôûng khoâng ñaùng keå neân sai laàm ñoù seõ coù phaân phoái xaáp xæ phaân phoái chuaån. Töông töï, trong noâng nghieäp, khi tình hình saûn suaát bình thöôøng b) Coâng thöùc tính xaùc suaát: thì naêng suaát cuûa moät loaïi caây troàng treân nhöõng thöûa ruoäng khaùc nhau; b−μ a−μ P ( a ≤ X ≤ b) = ϕ ( ) − ϕ( ). troïng löôïng cuûa gia suùc cuøng ñoä tuoåi trong ñieàu kieän chaêm soùc nhö σ σ nhau,… laø nhöõng ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái xaáp xæ phaân phoái 7. Xaáp xæ phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p): chuaån. X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n khaù lôùn. Coù 2 tröôøng hôïp: a) Tröôøng hôïp 1: p khaù nhoû (thoâng thöôøng p < 0,1). TOÙM TAÉT NOÄI DUNG CHÖÔNG 2 Khi ñoù coù xem X coù phaân phoái Poisson: X ∼ P(a) vôùi a = np, nghóa laø: 1. Luaät phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân. e−a a k 2. Caùc ñaëc soá cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân: Mode, Kyø voïng, Phöông sai. P (X = k) ≈ (k = 0, 1, …) 3. Phaân phoái sieâu boäi: X ∼ H(N, NA, n) vôùi xaùc suaát ñònh bôûi: k! ( Thay vì tính theo coâng thöùc Bernoulli P (X = k) = C np k q n − k ) k n−k k P( X = k ) = C N C N −N A A n b) Tröôøng hôïp 2: p khoâng quaù gaàn 0 cuõng nhö 1 (thoâng thöôøng CN 0,1≤ p ≤ 0,9). Khi ñoù: Khi ñoù coù xem X coù phaân phoái chuaån: X ∼ N(μ, σ2) vôùi μ NA - Kyø voïng: M ( X ) = np vôùi p= . = np, σ = npq (q = 1-p), nghóa laø: N 1 k−μ N −n - P (X = k) ≈ f( ) (k = 0, 1, 2,…) - Phöông sai: D( X ) = npq vôùi q = 1 − p . σ σ N −1 k2 − μ k1 − μ - P ( k 1≤ X ≤ k 2 ) ≈ ϕ ( ) −ϕ( ) ( k1 < k2) 4. Phaân phoái nhò thöùc: X ∼ B(n,p) vôùi xaùc suaát ñònh bôûi: σ σ n−k P ( X = k ) = Cn p q k k . trong ñoù f(x) laø haøm Gauss; Khi ñoù: ϕ(x) laø haøm Laplace. - Mode: Mod(X) = k, trong ñoù k laø soá nguyeân thoûa ( Thay vì tính theo coâng thöùc Bernoulli P (X = k) = C np k q n − k ). k np – q ≤ k ≤ np – q + 1. - Kyø voïng: M(X) = np. - Phöông sai: D(X) = npq. Chuù yù. Ta phaûi tìm xaùc suaát p trong phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p). 5. Phaân phoái Poisson: X ∼ P(a) vôùi xaùc suaát ñònh bôûi: Sau ñoù, tuøy theo p nhoû hay lôùn, maø ta xaáp xæ X baèng phaân phoái Poisson e−a a k hay phaân phoái chuaån. P (X = k) = . k! 25 26 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
BAØI TAÄP CHÖÔNG 2 Baøi 2.5: Saûn phaåm trong moät nhaø maùy ñöôïc ñoùng thaønh töøng kieän, moãi kieän goàm 10 saûn phaåm Soá saûn phaåm loaïi A trong caùc hoäp laø X coù phaân Baøi 2.1: Nöôùc giaûi khaùt ñöôïc chôû töø Saøi Goøn ñi Vuõng Taøu. Moãi xe chôû phoái nhö sau: 1000 chai bia Saøi Goøn, 2000 chai coca vaø 800 chai nöôùc traùi caây. Xaùc suaát ñeå 1 chai moãi loaïi bò beå treân ñöôøng ñi töông öùng laø 0,2%; 0,11% vaø X 6 8 0,3%. Neáu khoâng quaù 1 chai bò beå thì laùi xe ñöôïc thöôûng. a) Tính xaùc suaát coù ít nhaát 1 chai bia Saøi Goøn bò beå. P 0.9 0.1 b) Tính xaùc suaát ñeå laùi xe ñöôïc thöôûng. c) Laùi xe phaûi chôû ít maát maáy chuyeán ñeå xaùc suaát coù ít nhaát moät chuyeán Khaùch haøng choïn caùch kieåm tra nhö sau: töø moãi kieän laáy ra 2 saûn phaåm; ñöôïc thöôûng khoâng nhoû hôn 0,9? neáu thaáy caû 2 saûn phaåm ñeàu loaïi A thì môùi nhaän kieän ñoù; ngöôïc laïi thì loaïi kieän ñoù. Kieåm tra 144 kieän (trong raát nhieàu kieän). Baøi 2.2: Moät maùy tính goàm 1000 linh kieän A, 800 linh kieän B vaø 2000 a) Tính xaùc suaát ñeå coù 53 kieän ñöôïc nhaän. linh kieän C. Xaùcsuaát hoûng cuûa ba linh kieän ñoù laàn löôït laø 0,02%; b) Tính xaùc suaát ñeå coù töø 52 ñeán 56 kieän ñöôïc nhaän. 0,0125% vaø 0,005%. Maùy tính ngöng hoaït ñoäng khi soá linh kieän hoûng c) Phaûi kieåm tra ít nhaát bao nhieâu kieän ñeå xaùc suaát coù ít nhaát 1 kieän nhieàu hôn 1. Caùc linh kieän hoûng ñoäc laäp vôùi nhau. ñöôïc nhaän khoâng nhoû hôn 95%? a) Tính xaùcsuaát ñeå coù ít nhaát 1 linh kieän B bò hoûng. b) Tính xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng. Baøi 2.6: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm ñaït tieâu chuaån c) Giaû söû trong maùy ñaõ coù 1 linh kieän hoûng. Tính xaùc suaát ñeå maùy tính laø 80% vaø moät maùy khaùc cuõng saûn xuaát loaïi saûn phaåm naøy vôùi tæ leä saûn ngöng hoaït ñoäng. phaåm ñaït tieâu chuaån laø 60%. Choïn ngaãu nhieân moät maùy vaø cho saûn xuaát 100 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå Baøi 2.3: Troïng löôïng cuûa moät loaïi saûn phaåm ñöôïc quan saùt laø moät ñaïi a) coù 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån. löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån vôùi trung bình 50kg vaø phöông sai b) coù töø 70 ñeán 90 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån. 100kg2 . Nhöõng saûn phaåm coù troïng löôïng töø 45kg ñeán 70kg ñöôïc xeáp vaøo c) coù khoâng ít hôn 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån. loaïi A. Choïn ngaãu nhieân 100 saûn phaåm (trong raát nhieàu saûn phaåm). Tính xaùc suaát ñeå Baøi 2.7: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm laø 1% vaø moät a) coù ñuùng 70 saûn phaåm loaïi A. maùy khaùc cuõng saûn xuaát loaïi saûn phaåm naày vôùi tæ leä pheá phaåm laø 2%. b) coù khoâng quaù 60 saûn phaåm loaïi A. Choïn ngaãu nhieân moät maùy vaø cho saûn xuaát 1000 saûn phaåm. Tính xaùc c) coù ít nhaát 65 saûn phaåm loaïi A. suaát ñeå a) coù 14 pheá phaåm. Baøi 2.4: Saûn phaåm trong moät nhaø maùy ñöôïc ñoùng thaønh töøng kieän, moãi b) coù töø 14 ñeán 20 pheá phaåm. kieän goàm 14 saûn phaåm trong ñoù coù 8 saûn phaåm loaïi A vaø 6 saûn phaåm loaïi B. Khaùch haøng choïn caùch kieåm tra nhö sau: töø moãi kieän laáy ra 4 saûn Baøi 2.8: Moät xí nghieäp coù hai maùy I vaø II. Trong ngaøy hoäi thi, moãi coâng phaåm; neáu thaáy soá saûn phaåm thuoäc loaïi A nhieàu hôn soá saûn phaåm thuoäc nhaân döï thi ñöôïc phaân moät maùy vaø vôùi maùy ñoù seõ saûn xuaát 100 saûn loaïi B thì môùi nhaän kieän ñoù; ngöôïc laïi thì loaïi kieän ñoù. Kieåm tra 100 phaåm. Neáu soá saûn phaåm loaïi A khoâng ít hôn 70 thì coâng nhaân ñoù seõ kieän (trong raát nhieàu kieän). Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc thöôûng. Giaû söû ñoái vôùi coâng nhaân X, xaùc suaát saûn xuaát ñöôïc 1 saûn a) coù 42 kieän ñöôïc nhaän. phaåm loaïi A vôùi caùc maùy I vaø II laàn löôït laø 0.6 vaø 0,7. b) coù töø 40 ñeán 45 kieän ñöôïc nhaän. a) Tính xaùc suaát ñeå coâng nhaân X ñöôïc thöôûng. c) coù ít nhaát 42 kieän ñöôïc nhaän. b) Giaû söû coâng nhaân X döï thi 50 laàn. Soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát laø bao nhieâu? 27 28 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Baøi 2.9: Trong ngaøy hoäi thi, moãi chieán só seõ choïn ngaãu nhieân moät trong Baøi 2.14: Cho hai hoäp I vaø II, moãi hoäp coù 10 bi; trong ñoù hoäp I goàm 8 bi hai loaïi suùng vaø vôùi khaåu suùng choïn ñöôïc seõ baén 100vieân ñaïn. Neáu coù töø ñoû, 2 bi traéng vaø hoäp II goàm 6 bi ñoû, 4 bi traéng. Ruùt ngaãu nhieân töø hoäp 65 vieân trôû leân truùng bia thì ñöôïc thöôûng. Giaû söû ñoái vôùi chieán só A, xaùc I hai bi boû sang hoäp II, sau ñoù ruùt ngaãu nhieân töø hoäp II ba bi. suaát baén 1 vieân truùng bia baèng khaåu suùng loaïi I laø 60% vaø baèng khaåu a) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc caû ba bi traéng. suùng loaïi II laø 50%. b) Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá bi traéng coù trong ba bi ñöôïc ruùt a) Tính xaùc suaát ñeå chieán só A ñöôïc thöôûng. ra töø hoäp II. Tìm luaät phaân phoái cuûa X. Xaùc ñònh kyø voïng vaø phöông sai b) Giaû söû chieán só A döï thi 10 laàn. Hoûi soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc cuûa X. nhaát laø bao nhieâu? c) Chieán só A phaûi tham gia hoäi thi ít nhaát bao nhieâu laàn ñeå xaùc suaát Baøi 2.15: Coù ba loâ saûn phaåm, moãi loâ coù 20 saûn phaåm. Loâ thöù i coù i+4 coù ít nhaát moät laàn ñöôïc thöôûng khoâng nhoû hôn 98%? saûn phaåm loaïi A (i = 1, 2, 3). a) Choïn ngaãu nhieân moät loâ roài töø loâ ñoù laáy ra 3 saûn phaåm. Tính xaùc Baøi 2.10: Moät ngöôøi thôï saên baén 4 vieân ñaïn. Bieát xaùc suaát truùng ñích suaát ñeå trong 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra coù ñuùng 1 saûn phaåm loaïi A. cuûa moãi vieân ñaïn baén ra laø 0,8. Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá b) Töø moãi loâ laáy ra 1 saûn phaåm. Goïi X laø toång soá saûn phaåm loaïi A coù vieân ñaïn truùng ñích. trong 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra. Tìm luaät phaân phoái cuûa X vaø tính Mod(X), a) Tìm luaät phaân phoái cuûa X. M(X), D(X). b) Tìm kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. Baøi 2.16: Moät ngöôøi coù 5 chìa khoùa beà ngoaøi raát gioáng nhau, trong ñoù chæ coù 2 chìa môû ñöôïc cöûa. Ngöôøi ñoù tìm caùch môû cöûa baèng caùch thöû töøng Baøi 2.11: Coù hai loâ haøng I vaø II, moãi loâ chöùa raát nhieàu saûn phaåm. Tæ leä chìa moät cho ñeán khi môû ñöôïc cöûa thì thoâi (taát nhieân, chìa naøo khoâng saûn phaåm loaïi A coù trong hai loâ I vaø II laàn löôït laø 70% vaø 80%. Laáy môû ñöôïc thì loaïi ra). Goïi X laø soá chìa khoùa ngöôøi ñoù söû duïng. Tìm luaät ngaãu nhieân töø moãi loâ 2 saûn phaåm. phaân phoái cuûa X. Hoûi ngöôøi ñoù thöôøng phaûi thöû bao nhieâu chìa môùi môû a) Tính xaùc suaát ñeå soá saûn phaåm loaïi A laáy töø loâ I lôùn hôn soá saûn phaåm ñöôïc cöûa? Trung bình ngöôøi ñoù phaûi thöû bao nhieâu chìa môùi môû ñöôïc cöûa? loaïi A laáy töø loâ II. Baøi 2.17: Moät ngöôøi thôï saên coù 5 vieân ñaïn. Ngöôøi ñoù ñi saên vôùi nguyeân b) Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi A coù trong 4 saûn phaåm ñöôïc laáy ra. Tìm taéc: neáu baén truùng muïc tieâu thì veà ngay, khoâng ñi saên nöõa. Bieát xaùc suaát kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. truùng ñích cuûa moãi vieân ñaïn baén ra laø 0,8. Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá vieân ñaïn ngöôøi aáy söû duïng trong cuoäc saên. Baøi 2.12: Cho hai hoäp I vaø II, moãi hoäp coù 10 bi; trong ñoù hoäp I goàm 6 bi a) Tìm luaät phaân phoái cuûa X. ñoû, 4 bi traéng vaø hoäp II goàm 7 bi ñoû, 3 bi traéng. Ruùt ngaãu nhieân töø moãi b) Tìm kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. hoäp hai bi. Baøi 2.18: Moät ngöôøi thôï saên coù 4 vieân ñaïn. Ngöôøi ñoù ñi saên vôùi nguyeân a) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc hai bi ñoû vaø hai bi traéng. taéc: neáu baén 2 vieân truùng muïc tieâu thì veà ngay, khoâng ñi saên nöõa. Bieát b) Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá bi ñoû coù trong 4 bi ñöôïc ruùt ra. xaùc suaát truùng ñích cuûa moãi vieân ñaïn baén ra laø 0,8. Goïi X laø ñaïi löôïng Tìm luaät phaân phoái cuûa X. ngaãu nhieân chæ soá vieân ñaïn ngöôøi aáy söû duïng trong cuoäc saên. a) Tìm luaät phaân phoái cuûa X. Baøi 2.13: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm 10%. Moät loâ b) Tìm kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. haøng goàm 10 saûn phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm 30%. Cho maùy saûn xuaát 3 saûn phaåm vaø töø loâ haøng laáy ra 3 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm toát coù ÑAÙP SOÁ BAØI TAÄP CHÖÔNG 2 trong 6 saûn phaåm naøy. a) Tìm luaät phaân phoái cuûa X. 2.1: a) 0,8647 b) 0,0103 c) 223 b) Khoâng duøng luaät phaân phoái cuûa X, haõy tính M(X), D(X). 2.2: a) 0,0952 b) 0,0615 c) 0,3297 2.3: a) 0,0681 b) 0,0721 c) 0,6554 2.4: a) 0,0779 b) 0,3597 c) 0,3859 29 30 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
2.5: a) 0,0684 b) 0,2650 c) 7 2.6: a) 0,000727 b) 0,50413 c) 0,5072 --------------*--------------- 2.7: a) 0,0454 b) 0,3135 2.8: a) 0,2603 b) 13 2.9: a) 0,0776 b) 0 c) 49 2.10: a) X 0 1 2 3 4 P 0,0016 0,0256 0,1536 0,4096 0,4096 b) M(X) = 3,2; D(X) = 0,64. 2.11: a) 0,1932 b) M(X) = 3; D(X) = 0,74. 2.12: a) 1/3 b) X 0 1 2 3 4 P 2/225 22/225 1/3 91/225 7/45 2.13: a) X 0 1 2 3 4 5 6 P 1/120000 1/2500 291/40000 473/7500 10521/40000 576/1250 1701/8000 b) M(X) = 4,8; D(X) = 0,76. 2.14: a) 73/2475 b) X 0 1 2 3 P 179/825 223/450 1277/4950 73/2475 M(X) = 1,1; D(X) = 0,5829. 2.15: a) 0,4728 b) X 0 1 2 3 P 273/800 71/160 151/800 21/800 M(X) = 1; D(X) = 0,9. 2.16: a) X 1 2 3 4 P 2/5 3/10 1/5 1/10 Mod(X) = 2; M(X) = 2. 2.17: a) X 1 2 3 4 5 P 0,8 0,16 0,032 0,0064 0,0016 b) M(X) = 1,2496; D(X) = 0,3089. 2.18: a) X 2 3 4 P 0,64 0,256 0,104 b) M(X) = 2,464; D(X) = 0,456704. 31 32 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com