68
CHƯƠNG 6
CÁC PHÉP TOÁN
TRÊN ĐIỂM
6.1 GIỚI THIỆU
Phép toán trên điểm tạo thành một lớp các kỹ thuật xử lý ảnh đơn giản nhưng
quan trọng. Chúng cho phép người sử dụng thay đổi cách điền dữ liệu ảnh vào phạm
vi mức xám có sẵn. Điều này đặc biệt ảnh hưởng đến công việc hiện thị ảnh.
Một phép toán trên điểm (point operation) thực hiện một ảnh vào riêng lẻ thành
một ảnh ra riêng lẻ theo cách mỗi mức xám của điểm ảnh ra chỉ phụ thuộc vào mức
xám của điểm ảnh vào tương ứng. Điều này trái ngược với các phép toán cục bộ
(local operations), là thao tác mà trong đó các lân cận của điểm ảnh vào xác định
mức xám của mỗi một điểm ảnh ra. Hơn nữa, trong thao tác điểm, mỗi điểm ảnh ra
tương ứng trực tiếp với điểm ảnh vào có toạ độ tương tự. Vì theês, một thao tác điểm
không thể làm thay đổi các quan hệ không gian bên trong ảnh.
Đôi khi thao tác điểm cũng được gọi bằng một vài tên khác, chẳng hạn như, tăng
cường độ tương phản (contrast enhancement), làm giãn độ tương phản (contrast
stretching), biến đổi tỷ lệ xám (gray-scale transformation). Chúng thường được gắn
liền như một phần không thể thiếu của quá trình số hoá ảnh và phần mềm hiển thị
ảnh.
Những thao điểm thay đổi lược đồ mức xám của ảnh theo cách dự đoán. Chúng có
thể được xem như thao tác sao chép từng điểm ảnh một, ngoại trừ các mức xám được
thay đổi theo hàm biến đổi mức xám đã định trước. Một thao tác điểm biến đổi một
ảnh A(x,y) đầu vào thành một ảnh B(x,y) đầu ra có thể biểu diễn như sau
),(),( yxAfyxB (1)
Thao tác điểm hoàn toàn được xác định bởi hàm biến đổi tỷ lệ xám (gray-scale
transformation-GST), f(D), chỉ ra phép ánh xạ mức xám đầu vào thành mức xám đầu
ra.
6.1.1 Ứng dụng của thao tác điểm
Thao tác điểm đôi khi được sử dụng để khắc phục những hạn chế của bộ số hoá
ảnh trước khi bắt đầu xử lý thực sự. Tầm quan trọng không kém của thao tác điểm
lad cỉa thiện quá trình hiển thị ảnh.
Điều chỉnh quang trắc (Photometric Calibration). Thường là điều mong muốn
để có được các mức xám của một ảnh số phản ánh một vài tính chất vật lý, như
cường độ ánh sáng hay mật độ quang học. Phép toán trên điểm có thể thực hiện công
việc này bằng cách di chuyển các kết quả của tính phi tuyến bộ cảm biến ảnh. Cho ví
dụ, giả sử một ảnh được số hoá bằng một thiết bị đáp ứng với cường dọ ánh sáng phi
tuyến. Phép toán trên điểm có thể biến đổi tỷ lệ xám để các mức xám biểu diễn sự gia
tăng cường độ ánh sáng. Đây là một ví dụ cho sự điều chỉnh quang trắc (photometric
calibration).
Một chức năng hữu ích khác của phép toán trên điểm là biến đổi khối mức xám.
Giả sử một ảnh hiển vi được số hoá bởi thiết bị, mà thiết bị này có thể tạo ra những
giá trị mức xám tuyến tính với hệ số truyền của mẫu xét nghiệm. Phép toán trên điểm
69
được sử dụng để tạo ra ảnh với các mức xám thể hiện các bậc của mật độ quang học.
Chúng ta có thể xem xét sự điều chỉnh quang trắc dưới khía cạnh phần mềm số hoá
ảnh.
Tăng cường độ tương phản (Contrast Enhancement). Trong một số ảnh số,
những đặc điểm quan trọng chỉ chiếm giữ một phạm vi mức xám hẹp có liên quan
mà thôi. Người ta có thể sử dụng phép toán trên điểm để mở rộng các đặc điểm
tương phản quan trọng nhằm chiếm giữ phần lớn phạm vi mức xám hiển thị. Thỉnh
thoảng điều này cũng được gọi là tăng cường độ tương phản, hay giãn độ tương
phản.
Điều chỉnh hiển thị (Display Calibration). Một vài thiết bị hiển thị có phạm vi
mức xám được ưu tiên, mà với các mức xám đó ảnh trở nên rõ rệt nhất. Các đặc điểm
tối hơn và sáng hơn, có độ tương phản tương tự trong ảnh số, cũng không xuất hiện
đây. Trong trường hợp này, người sử dụng có thể dùng phép toán trên điểm để bảo
đảm rằng những đặc điểm quan trọng rơi vào phạm vi có thể nhìn thấy được tối đa
(maximum -visibility).
Nhiều thiết bị hiển thị không duy trì mối quan hệ tuyến tính giữa mức xám của
một điểm ảnh trong ảnh số với độ chói của điểm tương ứng trên màn hình hiển thị.
Tương tự, nhiều bộ ghi film không thể chuyển đổi các mức xám tuyến tính thành mật
độ quang học. Những thiếu sót này có thể khắc phục bằng cách một phép toán trên
điểm được thiết kế thích hợp trước khi hiển thị ảnh. Cùng được thực hiện, phép toán
trên điểm và các tính chất phi tuyến kết hợp để huỷ bỏ lẫn nhau, và điều này bảo toàn
tính tuyến tính của ảnh hiển thị. Chuỗi hành động này được gọi là sự điều chỉnh hiển
thị.
Đôi khi sự trình bày ảnh chính xác đòi hỏi một quan hệ phi tuyến đặc biệt. Tính
phi tuyến này được định rõ bởi gamma của màn hình TV và CRT. Các phép toán trên
điểm có thể sửa chữa và hiệu chỉnh gamma của những thiết bị hiển thị ảnh.
Thỉnh thoảng, các phép toán trên điểm cũng được xem như là các bước xử lý ảnh
đưa ra chi tiết hay tăng thêm sự tương phản giữa các phần tử thuộc ảnh. Tuy nhiên,
cái gì thực sự đang được thực hiện, đang làm cho các mức xám của các phần ảnh
quan trọng phù hợp với phạm vi tương phản của thiết bị hiển thị, khi thông tin đó
hiện diện trên ảnh số suốt cả một khoảng thời gian dài. Vì thế, chúng ta có thể xem
xét sự điều chỉnh hiển thị và tăng cường độ tương phản dưới khía cạnh phần mềm
hiển thị ảnh số.
Đường bao (Contour Lines). Một phép toán trên điểm có thể thêm các đường
bao vào một ảnh. Ta cũng có thể thực hiện sự chọn ngưỡng với phép toán trên điểm
để dựa trên mức xám mà phân chia ảnh thành các miền rời nhau. Điều này thường
được sử dụng để định nghĩa các đường biên hay làm mặt nạ cho các phép toán tiếp
theo sau.
Sự cắt rời (Clipping). Bởi vì ảnh số thường được lưu trữ dưới dạng số nguyên
(thường là byte), nên phạm vi các mức xám có sẵn tất yếu bị hạn chế. Đối với ảnh 8
bit, mức xám đầu ra phải được cắt rời ra thành mảng 0 – 255 trước khi mỗi giá trị
điểm ảnh được gán vào. trong chương này, chúng ta giả thiết rằng mỗi phép toán trên
điểm theo sau một bước thiết lập các giá trị âm đến không và giới hạn các giá trị
dương đến mức xám cực đại Dm.
6.1.2 Các kiểu phép toán trên điểm
Để thuận tiện ta chia các phép toán trên điểm thành các loại khác nhau.
6.2.2.1 Phép toán tuyến tính trên điểm (Linear Point Operations)
Đầu tiên, chúng ta xem xét các phép toán trên điểm mà trong đó mức xám đầu ra
là hàm tuyến tính của mức xám đầu vào. trong trường hợp này, hàm chuyển đổi tỷ lệ
xám của biểu thức (1) có dạng
70
baDDfD AAB )( (2)
ở đây DB là mức xám của điểm ra tương ứng với điểm vào có mức xám DA (Hình
6-1). Rõ ràng nếu a = 1 và b = 0, chúng ta có phép toán giống hệt và chỉ đơn thuần
là sao chép A(x,y) sang B(x,y). Nếu a > 1, độ tương phản của ảnh đầu ra sẽ tăng lên.
Với a < 1, độ tương phản sẽ giảm. Nếu a = 1 và b
0, phép toán chỉ đơn thuần là
dịch chuyển các giá trị mức xám của tất cả các điểm ảnh lên hoặc xuống. Kết quả là
làm cho toàn bộ ảnh tối hơn hoặc sáng hơn khi hiển thị. Nếu a âm (a < 0), các vùng
tối sẽ trở thành sáng, các vùng sáng trở thành tối và ảnh được phép toán bổ sung cho
dầy đủ.
HÌNH 6-1
Hình 6-1 Phép toán tuyến tính trên điểm
6.2.2.2 Phép toán đơn điệu tăng phi tuyến trên điểm (Nonlinear Monotonic
Point Operations)
Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét các hàm biến đổi tỷ lệ xám không giảm-hệ số góc
dương của những hàm này bị hạn chế ở khắp nơi. Những hàm này duy trì dáng vẻ
bên ngoài cơ bản của ảnh, nhưng không ràng buộc như phép toán tuyến tính.
Những phép toán phi tuyến có thể được phân loại theo tác dụng đối với các mức
xám tầm trung bình. Hình 6-2 đưa ra một hàm biến đổi tỷ lệ xám để nâng mức xám
của các điểm ảnh trung bình lên trong khi để mặc các điểm ảnh tối và sáng thay đổi
chút ít. Một ví dụ cho hàm biến đổi tỷ lệ xám trên là
)()( xDCxxxf m (3)
HÌNH 6-2
Hình 6-2 Phép toán phi tuyến trên điểm
71
trong đó Dm là mức xám cực đại và tham số C xác định lượng tăng (C > 0) hay
giảm (C < 0) trong phạm vi xám trước khi thực hiện phép toán.
Loại phép toán đơn điệu tăng phi tuyến trên điểm thứ hai làm tăng độ tương phản
bên trong các đối tượng tầm trung bình không có lợi cho những đối tượng sáng và
tối. Hàm biến đổi tỷ lệ xám, ký hiệu là S (shaped), trên đây có hệ số góc lớn hơn 1 ở
giữa và bé hơn 1 trong về phía các đầu mút. Một ví dụ dựa trên hàm sin là
10#)
2
1
(sin
)
2
sin(
1
1
2
0)(
m
m
D
x
D
xf (4)
trong đó lược đồ trong phạm vi mức xám từ 0 đến Dm là khác không. Tham số
càng lớn thì ảnh hưởng của các mức xám trung bình càng quan trọng.
Loại phép toán đơn điệu tăng phi tuyến trên điểm thứ ba làm giảm độ tương phản
các đối tượng tầm trung bình và tăng độ tương phản trong những đối tượng sáng và
tối. Hàm biến đổi tỷ lệ xám trên đây có hệ số góc bé hơn 1 ở đoạn giữa và lớn hơn 1
ở phía các đầu mút. Một ví dụ dựa trên hàm tang là
10#)
2
1
(tan
)
2
tan(
1
1
2
)(
m
m
D
xD
xf (5)
tham số xác định hiệu quả của phép toán trên điểm quan trọng như thế nào.
6.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN ĐIỂM VÀ LƯỢC ĐỒ MỨC XÁM
Sự thảo luận trước đây đã gợi ý rằng một phép toán trên điểm làm thay đổi lược
đồ mức xám theo cách dự đoán. Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra câu hỏi dự đoán lược đồ
ảnh ra, từ lược đồ ảnh vào và dạng hàm biến đổi tỷ lệ xám.
Khả năng này rất hữu ích do hai nguyên nhân. Thứ nhất, người ta có thể mong
muốn thiết kế một phép toán trên điểm để chia tỷ lệ các mức xám đầu ra thành một
phạm vi được định nghĩa trước hay tạo ra lược đồ ra của một dạng đặc biệt. Thứ hai,
bài tập này phát triển sự hiểu biết sâu sắc của con người thành kết quả của các phép
toán có thể có lên trên ảnh. Sự hiểu biết trên chứng tỏ khả năng dự đoán là rất hữu
ích khi ta thiết kế các phép toán trên điểm.
6.2.1 Lược đồ mức xám đầu ra (Output Histogram)
Giả sử một phép toán trên điểm được định nghĩa bởi hàm biến đổi tỷ lệ xám f(D),
biến đổi ảnh đầu vào A(x,y) thành ảnh ra B(x,y). Cho HA(D), lược đồ của ảnh đầu
vào, chúng ta sẽ nhận được một biểu thức lược đồ ảnh đầu ra. Mức xám của một
điểm ảnh đầu ra tuỳ ý cho bởi
)( AB DfD (6)
trong đó DA là mức xám của điểm ảnh đầu vào tương ứng. Hiện giờ, chúng ta hãy
giả thiết rằng f(D) là hàm không giảm với hệ số giới hạn. Vì thế, tồn tại hàm nghịch
đảo của nó, và chúng ta có thể viết
)(
1
BA DfD
(7)
Chúng ta sẽ tìm cách vượt qua hạn chế này sau.
Hình 6-3 minh hoạ mối quan hệ giữa lược đồ đầu vào, hàm biến đổi tỷ lệ xám và
lược đồ đầu ra. Mức xám DA biến đổi thành mức xám DB, tương tự, mức xám DA +
72
DA biến đổi thành DB +
DB. Hơn nữa, tất cả cá điểm ảnh với các mức xám giữa DA
và DA +
DA đều sẽ biến đổi thành các mức xám giữa DB và DB +
DB. Vì vậy, số
lượng các điểm ảnh đầu ra có các mức xám giữa DB +
DB bằng số lượng các điểm
ảnh đầu ra có các mức xám giữa DA +
DA. Điều này ngụ ý rằng khu vực nằm dưới
HB(D) giữa DB và DB +
DB tương tự như dưới HA(D) giữa DA và DA +
DA, hoặc
AA
A
BB
B
DD
D
A
DD
D
BdDDHdDDH )()( (8)
HÌNH 6-3
Hình 6-3 Kết quả của phép toán điểm trên lược đồ mức xám
Nếu chọn
DA đủ nhỏ,
DB cũng sẽ nhỏ và chúng ta có biểu thức xấp xỉ với tích
phân:
AAABBB DDHDDH )()( (9)
Bây giờ chúng ta tính giá trị lược đồ đầu ra
AB
AA
BB DD
DH
DH
/
)(
)( (10)
và lấy giới hạn khi
DA tiến đến không. Bởi vì f(D) có hệ số góc luôn khác không
cho nên
DB cũng tiến đến không, cho ta
AB
AA
BB dDdD
DH
DH /
)(
)( (11)
Nhưng vì DB được cho bởi biểu thức (6) nên chúng ta có thể thay vào để được
)()/(
)(
)(
AA
AA
BB DfdDd
DH
DH (10)
Bây gờ chúng ta có thể kết hợp các biến độc lập trong phương trình này: DB bên
trái còn DA bên phải. Chúng ta có thể khắc phục điều này bằng cách thay thế hàm
nghịch đảo cho bởi biểu thức (7). Cuối cùng ta được dạng tổng quát
)](['
)]([
)( 1
1
Dff
DfH
DH A
B
(13)
trong đó