83
CHƯƠNG 7
CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ
7.1 GIỚI THIỆU
Các phép toán đại số là các phép toán tạo ra ảnh đầu ra bằng cách lấy tổng, hiệu, tích
hay thương từng điểm ảnh của hai ảnh đầu vào. trong trường hợp tổng và tích, đầu vào
có thể nhiều hơn hai ảnh. Nói chung, một trong các ảnh vào là hằng số. Tuy nhiên, cộng,
trừ, nhân, chia với hằng số có thể xem như phép toán tuyến tính trên điểm, như đã đề
cập trong chương 6. Cũng đúng đối với các trường hợp mà ảnh đầu vào giống hệt nhau.
7.1.1 Định nghĩa
Bốn phép toán đại số xử lý ảnh được biểu diễn bằng biểu thức toán học như sau
),(),(),( yxByxAyxC
(1)
),(),(),( yxByxAyxC
(2)
),(),(),( yxByxAyxC
(3)
),(),(),( yxByxAyxC
(4)
trong đó A(x,y) và B(x,y) là ảnh vào và C(x,y) là ảnh ra. Ta có thể thiết lập các
phương trình đại só phức tạp gồm nhiều ảnh bằng cách kết hợp chúng một thích ứng.
7.1.2 Mục đích của các phép toán đại số
Một ứng dụng quan trọng của phép cộng ảnh là lấy trung bình nhiều ảnh của cùng
một cảnh với nhau. Phương pháp này thường sử dụng và thành công để làm giảm ảnh
hưởng của nhiễu cộng ngẫu nhiên. Phép cộng ảnh cũng có thể được sử dụng để thêm nội
dung của một ảnh vào ảnh khác, tạo ra một kết quả phơi sáng kép (double-exposure).
Phép trừ ảnh được sử dụng để di chuyển một mẫu hình không ưa thích ra khỏi ảnh.
Điều này có thể dần dần làm thay đổi sắc thái mẫu hình phía sau, mô hình nhiễu tuần
hoàn, hay bất kỳ vết bẩn thêm vào nào khác tại từng điểm trong ảnh. Phép trừ cũng được
sử dụng trong việc phát hiện những thay đổi giữa hai ảnh của cùng một cảnh. Ví dụ,
người ta có thể phát hiện sự di chuyển bằng cách trừ liên tiếp các ảnh của một cảnh.
Phép trừ ảnh cũng đòi hỏi phải tính gradient, một hàm thường dùng cho việc xác định
cạnh biên của ảnh.
Phép nhân và phép chia ít được ứng dụng trong xử lý ảnh số, nhưng chúng có những
công dụng quan trọng. Cả hai phép toán đều được sử dụng để hiệu chỉnh các kết quả của
bộ số hoá, mà trong đó tính nhạy cảm của bộ cảm biến ánh sáng thay đổi từ điểm này
sang điểm khác bên trong ảnh. Phép chia có thể tạo ra các ảnh tỷ lệ quan trọng trong
phân tích ảnh màu và ảnh đa phổ (chương 21). Phép nhân với một ảnh mặt nạ (mask
image) có thể xoá đi những phần nào đó của ảnh, chỉ để lại những đối tượng đáng quan
tâm.
84
7.2 CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ VÀ LƯỢC ĐỒ
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu lược đồ ra của phép toán tổng và hiệu. Việc
này mang lại những hiểu biết về các phép toán và sự xác định tỷ lệ cần thiết để đặt các
mức xám đầu ra vào phạm vi cho trước. Chúng tôi cũng sẽ trình bày một kỹ thuật xác
định mật độ quang học tích hợp (IOD) của một ảnh bị nhiễu cộng ngẫu nhiên làm bẩn.
7.2.1 Lược đồ của ảnh tổng (Histograms of Sum Images)
Giả thiết rằng, đối với phép toán trong biểu thức (1), ảnh vào A(x,y) và B(x,y) có các
lược đồ mức xám HA(D) và HB(D) tương ứng. Giả sử chúng ta mong muốn xác định
lược đồ ra HC(D). Nếu ảnh vào giống hệt nhau, hoặc một trong hai ảnh là hằng số, thì
quá trình chỉ còn lại một phép toán trên điểm và kết quả cho trong chương 6. Trong phần
này, chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp các ảnh không có liên quan với nhau.
Hai ảnh vào là không liên quan với nhau nếu lược đồ hai chiều chung của chúng là
)()(),( BBAABAAB DHDHDDH (5)
Là tích của hai lược đồ ảnh riêng lẻ. Về mặt thực tiễn, điều này có nghĩa các ảnh
không có liên quan.
Chú ý rằng biểu thức (5) không được thoả mãn nếu ảnh đầu vào giống hệt nhau,
nhưng nó sẽ thoả mãn nếu ít nhất một ảnh là ngẫu nhiên còn các ảnh kia là độc lập thống
kê.
Chúng ta có thể biến đổi lược đồ hai chiều lược đồ một chiều ở rìa bằng cách lấy tích
phân một trong các biến độc lập; cụ thể là,
BBAABA dDDDHDH ),()( (6)
Cho nên, cho biểu thức (5), chúng ta có thể tạo ra một lược đồ một chiều bởi
BBBAA dDDHDHDH )()()( (7)
Tuy nhiên, biểu thức (1) ngụ ý rằng tại mọi điểm,
BCA DDD (8)
Thay vào vế phải của biểu thức (7) ta được
BBBBCA dDDHDDHDH )()()( (9)
Lược đồ mức xám một chiều này là hàm của mức xám đầu ra và vì thế là lược đồ đầu
ra. Bây giờ chúng ta có thể viết lược đồ đầu ra của một phép toán mà tổng các ảnh
không có liên quan với nhau là
)(*)()( BBAACC DHDHDH (10)
trong đó dấu * là phép toán nhân chập được xác định bởi tích phân trong biểu thức
(9).
Tích phân của tích chập được đề cập chi tiết hơn trong chương 9, nhưng phát triển
dưới đây sẽ minh hoạ phép toán này. giả sử chúng ta mong muốn nhân chập hai hàm
Gauss giống nhau, mỗi hàm cho bằng . Do đó
dyeeee yxyxx 2222 )(
. (11)
2
x
e
85
Khai triển số mũ và kết hợp các số hạng ta có
dyeee yxyxxx )2( 2222 (12)
Bây giờ ta thêm một tích mà kết quả của tích này là 1, ta được
dyeeeee xxyxyxxx 2/2/)2( 222222 .. (13)
và sắp xếp lại như sau
dyeeee xyxyxxx 2/)4/(2 22222 . (14)
Kết hợp thừa số trong thành phần số mũ ta được
dyeeee xxyxx 2/)2/(2 2222 . (15)
Sắp xếp lại biểu thức trên ta có
dyeeee yxyxxxx )]4/1(2/[)2(2/ 22222 (16)
Bây giờ chúng ta sử dụng tính chất hàm Gauss đó là
22/)( 2
22

dxe x (17)
và biểu thức (16) trở thành
2/
222 )
4
1
(2 xxx eee
(18)
Một phát triển tương tự nhưng tổng quát hơn cho thấy rằng
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
12/)(
2121
2/)(
2
2/)(
12

xxx eAAeAeA (19)
trong đó
213
(20)
và
2
2
2
1
2
3
(21)
Điều này có nghĩa rằng việc nhân chập hai hàm Gauss sẽ tạo ra hàm Gauss thứ ba
được dịch (shift) và khái quát hơn, như biểu thức (21) cho thấy.
Nói chung, tích chập "làm bẩn" một hàm. Bởi vì thêm nhân chập các ảnh không có
liên quan với lược đồ của chúng, chúng ta có thể xem rằng tổng các ảnh không liên quan
chiếm giữ một phạm vi mức xám rộng hơn phạm vi mức xám của các ảnh thành phần
của nó. Thảo luận về phép toán nhân chập sẽ được nhắc lại trong chương 9.
7.2.2 Lược đồ của ảnh hiệu (Histograms of Difference Images)
Đối với phép trừ các ảnh không liên quan, biểu thức (10) cho là một ảnh sau khi định
nghĩa lại sẽ giống như âm bản của nó. Vì vậy, phép cộng và phép trừ các ảnh không liên
quan được thực hiện tương tự nhau. Tuy nhiên, có một trường hợp của phép trừ ảnh cần
xem xét hơn nữa: phép trừ các ảnh gần giống nhau là hơi bị sai lệch (misalign). Tình
86
huống này nảy sinh khi trừ các ảnh liên tiếp của một cảnh để phát hiện sự chuyển dời
hay thay đổi khác, và sự đăng ký (registration) chính xác không được duy trì (maintain).
Giả sử ảnh hiệu được cho bởi
),(),(),( yxxAyxAyxC
(22)
biểu thức trên có thể xấp xỉ hoá thành
xyxA
x
yxC
),(),( (23)
nếu
x nhỏ.
Lưu ý rằng
A/
x là bản thân một ảnh với một lược đồ và ta ký hiệu là H'A(D). Vì thế,
lược đồ của một ảnh hiệu được thay bằng
)/(
1
)( 'xDH
x
DH AC
(24)
(Xem lại chương 6, kết quả của một hằng số gấp lên nhiều lần). Vì lý do đó, việc trừ
hơi bị sai lệch các bản sao của một ảnh tạo ra ảnh đạo hàm từng phần. Phương diện đạo
hàm từng phần cũng giống như phương diện độ dịch chuyển.
7.2.3 IOD của một ảnh nhiễu
Giả sử chúng ta có một ảnh chứa một vết (spot) trên nền đồng dạng và tương phản
với nền. Cũng giả sử rằng ảnh bị làm bẩn bởi nhiễu cộng ngẫu nhiên, và chúng ta muốn
xác định IOD của vết. Chúng ta sẽ mô hình hoá giải pháp như sau: Đặt S(x,y) là ảnh
khôngcó nhiễu (noise-free) của vết và N(x,y) là ảnh nhiễu xác định trên cùng một miền.
Ảnh quan sát được là
),(),(),( yxNyxSyxM
(25)
Lược đồ của ba ảnh được cho trong hình 7-1. Chúng ta giả thiết rằng nhiễu có một
tâm đối xứng trên lược đồ mà ta không biết giá trị trung bình N0 của nó và lược đồ vết
có hình dáng một mũi nhọn tại gốc do bởi nền đồng dạng bao quanh vết.
HÌNH 7-1
Hình 7-1 Lược đồ của ảnh vết bị nhiễu
Chúng ta muốn xác định
87
a ba ba b dxdyyxNdxdyyxMdxdyyxSIODs 0 00 00 0 ),(),(),( (26)
Thay thế tính chất của chương 5, biểu thức (12), ta được
ANdDDDHIODs M0
0)( (27)
trong đó A là diện tích miền cần xác định, bây giờ căn cứ vào biểu thức (4) của
chương 5, chúng ta có thể viết
0)( dDDHA M (28)
bởi vì toàn bộ các vùng nhiễu và ảnh quan sát được là như nhau, nên
0
0
0)()( dDDHNdDDDHIODs MM (29)
và thu gọn lại ta được
00)()( dDDHNDIODs M (30)
Đây là biểu thức IOD đơn giản, có được khi N0 đã xác định. Người ta có thể ước
lượng N0 bằng cách lấy trung bình mức xám của một khu vực nhỏ cách xa vết.
Tuy nhiên, với một bộ các giả thiết hợp lý, chúng ta có thể chứng tỏ rằng đỉnh trái
nhất của lược đồ HM(D) xuát hiện tại N0. Giả sử rằng lược đồ nhiễu HN(D) là đối xứng,
để cho đỉnh của nó xuất hiện tại giá trị trung bình N0. Vì N(x,y) là ngẫu nhiên, nên hai
ảnh là không liên quan gì đến nhau. Biểu thức (10) biểu diễn rằng tổng các ảnh không
liên quan có cùng một lược đồ là phép nhân chập của lược đồ với hai ảnh ban đầu. Hơn
nữa, đỉnh nhọn tại D = 0 làm cho HS(D) trội hơn hẳn.
Chúng ta sẽ thấy trong chương 9 rằng đỉnh nhọn (xung) là hàm đồng nhất dưới phép
nhân chập [Chương 9, biểu thức (67)]. Vì thế,lược đồ HM(D) sẽ trội hơn nhờ một đỉnh
tại N0, như trong hình 7-1. Tính không đối xứng của HS(D) sẽ khiến cho đỉnh hơi nghêng
sang phải, nhưng vị trí của đỉnh giữ nguyên một giá trị ước lượng N0 tốt nếu vết được
bao quanh bởi một khối lượng nền hợp lý. Vì thế, lược đồ của ảnh vết bị nhiễu mang lại
một cách tính toán dễ dàng ước lượng IOD không nhiễu.
7.3 ỨNG DỤNG CỦA CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ
Trong phần này, chúng ta sẽ minh hoạ ứng dụng của các phép toán đại số trong một
vài tình huống.
7.3.1 Tính trung bình để giảm nhiễu (Averaging for Noise Reduction)
Trong nhiều ứng dụng, việc tính trung bình có thể thu được nhiều ảnh của một cảnh
ổn định. Nếu những ảnh này bị một nguồn nhiẽu cộng ngẫu nhiên làm bẩn, thì chúngb
có thể được tính trung bình để giảm bớt nhiễu. Trong quá trình tính trung bình, thành
phần ổn định của ảnh là không bị thay đổi, trong khi mô hình nhiễu lại bị thay đổi.
Giả sử ta có tập M ảnh có dạng
),(),(),( yxNyxSyxD ii (31)
trong đó S(x,y) là ảnh đang xét và Ni(x,y) là ảnh nhiễu giống như nhiễu nổi hạt trên
film hay nhiễu điện tử đã giới thiệu trong hệ thống số hoá. Mỗi ảnh trong tập bị một