Xử lý số tín hiệu
Chương 6: Các hàm truyền
1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc số
Xử lý khối
Đáp ứng xung h(n) Phương trình chập vào/ra
Phương trình sai phân I/O Hàm truyền H(z) Sơ đồ cực/zero
PP thiết kế bộ lọc
Xử lý mẫu Thực hiện sơ đồ khối
Đáp ứng tần số H(ω) Các tiêu chuẩn thiết kế
2. Các hàm truyền
1
(cid:0) (cid:0)
zH )(
1
z 25 z 8.01
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Ví dụ: xét hàm truyền sau: Từ H(z) suy ra được: 1. Đáp ứng xung h(n) 2. Phương trình sai phân I/O thỏa bởi h(n) 3. Phương trình chập I/O 4. Thực hiện sơ đồ khối 5. Sơ đồ cực/ zero 6. Đáp ứng tần số H(ω)
2. Các hàm truyền Các dạng tương đương toán học của hàm truyền có thể dẫn đến các phương trình sai phân I/O khác nhau và các sơ đồ khối khác nhau cùng thuật toán xử lý mẫu tương ứng
1
(cid:0) (cid:0)
zH )(
1
z 25 z 8.01
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
Ví dụ: Với hàm truyền Có thể viết dưới dạng: a. Dạng 1 (cid:0) (cid:0)
zH )(
5.2
1
1
z
z 25 z 8.01
5.7 8.01
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
1
b. Dạng 2
zH )(
25(
zWz ) )(
1
z 25 z 8.01
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3. Đáp ứng hình sine
A. Đáp ứng trạng thái ổn định
- Tín hiệu vào: sine phức, tần số ω0, dài vô hạn
(cid:0)
n
0
je
nx )(
- Ngõ ra có thể xác định bằng 2 cách: (1) Chập trong miền thời gian
(cid:0)
(cid:0)
n
0
(cid:0) (cid:0)
Hmnxmh
je
ny )(
()
)
(
(cid:0) (
)
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(2) Phương pháp miền tần số
(cid:0) (cid:0)
0) + (các phiên bản)
Phổ tín hiệu vào: ) = 2(cid:0) X((cid:0) (cid:0) ((cid:0) - (cid:0)
3. Đáp ứng hình sine
0)(cid:0) ((cid:0)
0)
(cid:0)
(cid:0) j
n
(cid:0) nj
0
(cid:0)
Phổ tín hiệu ra: (phiên bản thứ nhất) ) = H((cid:0) ) = 2(cid:0) H((cid:0) )X((cid:0) Y((cid:0) - (cid:0)
Y
e
d
H
e
(cid:0) (
)
(cid:0) (
)
0
1 (cid:0) 2
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) DTFT ngược: ny )( (cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
) là số phức
H
arg
0
(cid:0)
H
H
je
0
0
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Tổng quát: H((cid:0) (cid:0) (cid:0)
j
n
j
jn
H
arg
H
0
0
0
(cid:0)
e
H
e
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3. Đáp ứng hình sine
Tín hiệu vào gồm 2 tín hiệu sine tần số (cid:0)
1 và (cid:0)
2 kết hợp
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
n
n
j
j
n
H
H
(
arg
(
))
1
2
1
1
(cid:0)
(cid:0)
e
eA 2
HA 1
1
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) tuyến tính & bộ lọc tuyến tính: (cid:0) j eA 1
j
n
H
(
arg
(
))
2
2
(cid:0)
(cid:0)
e
HA 2
2
Tín hiệu vào tổng quát: phân tích Fourier thành các
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
thành phần sine rồi tính ngõ ra.
3. Đáp ứng hình sine
Độ trễ pha (Phase Delay):
(cid:0)
arg
(cid:0) (cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)(cid:0)
(cid:0)
d
H
arg
d .
H (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
Độ trễ nhóm (Group Delay): (cid:0) ωH
arg
d g
d (cid:0) d
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
H
(cid:0) nj
j
dn
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
e
H
e
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) =>
3. Đáp ứng hình sine
(cid:0)
(cid:0)
arg
Bộ lọc có pha tuyến tính: d((cid:0) )=D (constant) pha tuyến tính theo (cid:0) H D Các thành phần tần số đều có độ trễ D như nhau:
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
H
(cid:0) nj
j
( Dn
)
(cid:0)
e
H
e
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3. Đáp ứng hình sine
B. Đáp ứng quá độ Tín hiệu vào: sine, bắt đầu tại t=0
(cid:0) j
n
Z
0
e
zX
nx )(
1 (cid:0) j
1
0
e
z
1
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
nu )( (cid:0)je
z
1
Giả sử bộ lọc có hàm truyền H(z):
(cid:0) (cid:0) với ROC:
(cid:0) (cid:0)
zH
1
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)1
1
1
1...
zp M
zp 1
zN zp 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3. Đáp ứng hình sine
Ngõ ra: Y(z) = H(z).X(z)
(cid:0) (cid:0)
zY
j(cid:0)
1
1
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)1
e
z
1
1
1...
zN 1 1
zp M
zp 1
zp 2
Giả sử bậc của N(z) nhỏ hơn M+1, khai triển phân số
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
từng phần:
(cid:0) (cid:0)
zY
(cid:0) (cid:0)
j
1
1
1
0
H e
0 z
1
1
1
B M zp M
B 1 zp 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
với ROC: |z|>1
3. Đáp ứng hình sine
Biến đổi ngược:
(cid:0)
j
n
0
(cid:0)
e
pB
Hny )(
0 n ,
n MM
0
n pB 11
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
,1
, 1 (cid:0) i
pi
M Giả sử bộ lọc ổn định:
(cid:0)
(cid:0)n
0
i ,
M1,
n ip
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
j
n
n
0
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
H
e
ny )(
0
3. Đáp ứng hình sine
(cid:0)n
0
n ip
Bộ lọc ổn định nghiêm ngặt, các hệ số Cực có biên độ lớn nhất pI thì hệ số tương ứng sẽ tiến về
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
0 chậm nhất.
pmax i i
effn
(cid:0) Ký hiệu: . Hằng số thời gian hiệu quả neff là thời gian tại đó (cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
với (cid:0) là mức độ nhỏ mong muốn, ví dụ 1%
(cid:0) (cid:0)
ln
1 (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
effn
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ln ln
(cid:0) (cid:0)
ln
1 (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
3. Đáp ứng hình sine
j(cid:0)
n
0
Đáp ứng unit step: tín hiệu vào x(n) = u(n). Trường hợp đặc biệt của với (cid:0)
e
0 = 0 (z = 1)
pB
...
n ,
0
Hny )(
0
n MM
nu )( n 2
pB 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n (cid:0)
ny
n pB 11 (cid:0)0H
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
H(0) coi như đáp ứng DC của bộ lọc.
(cid:0)
H
zH
0
nh )(
z
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Độ lợi DC:
n
0
(cid:0)
3. Đáp ứng hình sine
j(cid:0)
n
0
(cid:0) nj
Trường hợp đặc biệt của với (cid:0)
(cid:0)
pB
eHny )(
n ,
...
0
n MM
nu )( n 2
pB 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
(cid:0)
ny
H
Đáp ứng unit step thay đổi: tín hiệu vào x(n) = (-1)nu(n). e 0 = (cid:0) (z = -1) n pB 11 (cid:0) n 1(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Độ lợi AC:
n
(cid:0)
H (cid:0)
zH
)1(
nh )(
z
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
0
(cid:0)
3. Đáp ứng hình sine
Ví dụ 1. Xác định đáp ứng quá độ đầy đủ của bộ lọc nhân quả
1
với tín hiệu vào dạng sine phức, tần số (cid:0) 0, cho (cid:0) (cid:0)
zH
1
z 25 z 8.01 2. Xác định đáp ứng DC và AC của bộ lọc trên. Tính hằng
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
số thời gian hiệu quả neff để đạt đến (cid:0) = 1%
3. Đáp ứng hình sine
Bộ lọc ổn định dự trữ (marginally stable): có cực nằm
1
p (cid:0)
(cid:0)je
1
- Xét bộ lọc H(z) có cực trên vòng tròn đơn vị .
trên vòng tròn đơn vị.
1
(cid:0)je
* p 1
- Giả sử các cực khác nằm trong vòng tròn đơn vị
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) Bộ lọc sẽ có cực liên hợp:
j
n
0
(cid:0) nj 1
(cid:0) nj 1
(cid:0)
e
- Đáp ứng quá độ Hny )(
...
0
eB 1
* eB 1
pB 2
n 2
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
j
n
n
0
(cid:0) nj 1
(cid:0) nj 1
(cid:0)
H
e
ny )(
0
eB 1
* eB 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3. Đáp ứng hình sine
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
j
j
0
1
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0) (cid:0)
e
0
1
p 1
0 1 ổn định. Ví dụ:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
zY )(
1
21 1()
1)...(
1(
)
zp M
zp 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
...
1
1
21 )
1(
1
1
Nếu thì tạo ra cộng hưởng và ngõ ra không e zN )( 1 zp 2 ' B 1 zp 1
B 2 zp 2
B 1 zp 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
Z
(cid:0)
n nua )(
Biết:
21 )
(cid:0) nj 1
(cid:0) nj 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n ( )1 (cid:0) (cid:0) 1 az 1(
e
ny )(
)1
...
eB 1
' nB ( 1
pB 2
n 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
4. Thiết kế cực – zero
1. Các bộ lọc bậc nhất Ví dụ: Thiết kế bộ lọc bậc 1 có hàm truyền dạng
1
)
zH )(
1
bz az
G 1( 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
|H((cid:0)
)|
ej(cid:0)
|H(0)|
a
1
-b
|H((cid:0) )|
với 0< a,b <1
0
(cid:0) (cid:0)
4. Thiết kế cực – zero
)
(cid:0)
(cid:0)
H
zH
0
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
H
zH
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
a b
H H
G b 1( a 1 b G 1( a 1 b 1)( a 1)(
1( 1(
) )
(cid:0) ( ) )0(
(cid:0) (cid:0)
Cần 2 phương trình thiết kế để xác định a và b.
4. Thiết kế cực – zero
Ví dụ : thiết kế bộ lọc có H((cid:0) )/H(0) = 1/21 và neff = 20 mẫu
/1
effn
20/1
để đạt (cid:0) = 1%
a (cid:0)
)01.0(
8.0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
b
4.0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
b b
1( 1(
)8.01)( )8.01)(
1 21
(cid:0) (cid:0)
H(z)
G
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
1 1
z. 401 z. 801
(cid:0) (cid:0)
4. Thiết kế cực – zero
2. Các bộ cộng hưởng Thiết kế một bộ lọc cộng hưởng bậc hai đơn giản, đáp ứng
|H((cid:0)
)|2
1
1/2
có một đỉnh đơn hẹp tại tần số (cid:0) 0
0
(cid:0) /2
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
4. Thiết kế cực – zero
0
0
(cid:0)jeRp (cid:0) . 0, đặt 1 cực , 0 < R < 1 (cid:0)jeR .
(cid:0) (cid:0)
- Để tạo 1 đỉnh tại (cid:0) = (cid:0) * p và cực liên hợp
zH )(
(cid:0)
(cid:0)
j
j
1
1
0
0
z
z
1
eR .
eR .
G 1
p
R
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
G 1
2
0
1
1
za 1
za 2
- (cid:0)
0
p*
2
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
R
R
2
cos
,
a
a 1
2
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
4. Thiết kế cực – zero
- Đáp ứng tần số: (cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
j
j
j
j
0
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) H (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e 1 eR . G 1
0
- Chuẩn hóa bộ lọc:
G
(cid:0) (cid:0) (cid:0) e (cid:0)H eR . 1
(cid:0)
H
1
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
0
j
j
j
j
0
0
0
0
e
e
1
eR .
1
eR .
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
G
R
R
R
1(
21)
cos(
(cid:0) 2
)
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
4. Thiết kế cực – zero
- Độ rộng 3-dB fullwidth: độ rộng tại ½ cực đại của đáp
2
2
(cid:0)
(cid:0)
H
H
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1 2
ứng biên độ bình phương 1 2
20
log
10
log
dB 3
10
10
- Tính theo dB:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
H H
1 2
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
- Giải ra 2 nghiệm (cid:0)
1 và (cid:0)
2 => (cid:0)
2 - (cid:0)
1
(cid:0) = (cid:0)
4. Thiết kế cực – zero
(cid:0)
(cid:0)R(cid:0)
12
- Chứng minh được: khi p nằm gần
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
đường tròn (xem sách)
(cid:0) dùng xác định giá trị R dựa trên băng thông (cid:0) cho
trước.
Ví dụ: thiết kế bộ lọc cộng hưởng 2 cực, đỉnh f0 = 500Hz
(cid:0) và độ rộng (cid:0) = 32kHz, tốc độ lấy mẫu fs = 10kHz
4. Thiết kế cực – zero
0
0
- Phương pháp chung: đặt 1 cặp zero gần các cực theo a (cid:0)
(cid:0)jer .
(cid:0)jer .
* a 1
1
(cid:0) (cid:0) cùng hướng các cực, tại và
r
0
1
- Hàm truyền:
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) với
j
(cid:0) j
1
1
1
2
0
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
zH )(
(cid:0)
(cid:0)
j
j
1
2
1
1
0
0
z z
z z
1 1
er . eR .
1 1
er . eR .
1 1
zb 1 za 1
zb 2 za 2
2
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
R
R
2
a ,
a 1
2
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
cos (cid:0)
r
cos
b , 2
0
b r 2 1
với (cid:0) (cid:0) (cid:0)
4. Thiết kế cực – zero
|H((cid:0)
)|2
r 0 1 -(cid:0) 0 r>R (cut) (cid:0) 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0)
![Đề thi cuối học kì 2 môn Cấu trúc dữ liệu và giải thuật [kèm đáp án/mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251014/lakim0906/135x160/89711760416179.jpg)
