Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
BAÌI TÁÛP CHÆÅNG 3 :
CHUYÃØN ÂÄÜNG QUAY CUÍA VÁÛT RÀÕN
XUNG QUANH TRUÛC CÄÚ ÂËNH
AÏp duûng 1 : (Trang 128) Liãn kãút truû quay lyï tæåíng (Hoaìn chènh)
Váût ràõn (S) âæåüc giæî båíi hai truû quay gáön nhæ laì âiãøm åí A vaì B sao cho noï
coï thãø quay quanh truûc cäú âënh (AB) trong hãû quy chiãúu nghiãn cæïu. Ta giaí
thiãút ràòng caïc liãn kãút åí A vaì B laì lyï tæåíng (hoaìn chènh) : caïc taïc âäüng cå
tiãúp xuïc maì (S) taïc duûng lãn A vaì B tæång æïng âæåüc thu goün vãö coìn hai
læûc : 1
R
G âi qua A vaì 2
R
G âi qua B.
2
R
G
B
1
R
G
Tênh caïc pháön tæí ruït goün taûi A cuía tooïc-så caïc taïc âäüng cå tiãúp xuïc lãn (S).
Baìi giaíi :
Taïc âäüng cå tiãúp xuïc lãn váût ràõn (S) gäöm hãû hai læûc 12
(, )
R
R
G
Gkhi thu goün vãö
âiãøm A bao gäöm :
A
+ Læûc thu goün : 12
RR=+
GG G
+ Momne thu goün : ,12A tiepxuc
M
AA R AB R=×+×
JJJGJJJG
GG
,2Atiepxuc
G
⇒
M
AB R
=
×
J
JJG
G
G
Ta tháúy ,A tiepxuc
M
AB⊥JJJG
G : liãn kãút laì lyï tæåíng.
(Ghi chuï : Cho hai váût ràõn (S) vaì (
Σ
) tiãúp xuïc nhau. Taïc âäüng cå tiãúp xuïc tæì (
Σ
) lãn (S) khi
thu goün vãö âiãøm I naìo âoï thäng thæåìng bao gäöm læûc thu goün
R
G
vaì momen thu goün .
Khi âoï taïc âäüng cå tiãúp xuïc tæì (
Σ
) lãn (S) âæåüc biãøu diãùn bàòng mäüt toïocså ( .
,Itiepxuc
M
G
,
(, )
I tiepxuc
RM
GG
Tuy nhiãn, khäng phaíi luïc naìo cuîng taïc âäüng cå tiãúp xuïc khi thu goün vãö âiãøm I cuîng bao gäöm
læûc thu goün
R
G vaì momen thu goün ,Itiepxuc
M
G
. Træåìng håüp âàûc biãût, khi thu goün vãö âiãøm I, taïc
âäüng cå tiãúp xuïc chè coìn mäüt læûc
R
G hoàûc chè coìn mäüt ngáùu læûc ,I tiepxuc
M
G
).
Aïp duûng 2 (trang 130) : Vä làng quaïn tênh :
Mäüt vä làng quaïn tênh (baïnh âaì) coï thãø xem nhæ mäüt hçnh
truû âäöng cháút truûc , momen quaïn tênh âäúi våïi truûc
()∆()
∆
laì
J, coï thãø quay nhåì hai âäüng cå.
Väln
g
Âäüng cå
(∆)
+ Mäüt âäüng cå chênh coï cäng suáút låïn duìng âãø khåíi âäüng
vä làng (laìm vä làng quay tæì traûng thaïi âæïng yãn).
+ Mäüt âäüng cå phuû âaím baío cho välàng quay våïi váûn täúc
goïc 0
ω
khäng âäøi khi vä làng âaî âæåüc khåíi âäüng.
1) Cho vä làng quay. Boí qua táút caí caïc ma saït.
a) Thæìa nháûn ràòng âäüng cå chênh coï cuìng cäng suáút P âäúi våïi moüi váûn täúc goïc cuía âäüng cå,
tênh thåìi gian t1 cáön thiãút âãø khåíi âäüng välàng (âæa välàng tæì váûn täúc ban âáöu bàòng 0 âãún giaï
trë 0
ω
).
b) Thæìa nháûn ràòng âäüng cå chênh thæûc hiãûn mäüt ngáùu læûc coï momen khäng âäøi vaì coï cäng
suáút laì P khi välàng coï váûn täúc goïc laìm viãûc laì0
ω
. Tênh thåìi gian t2 cáön thiãút âãø khåíi âäüng
välàng trong nhæîng âiãöu kiãûn âoï. So saïnh t2 vaì t1.
41
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2) Khi välàng âaî âaût âæåüc váûn täúc laìm viãûc 0
ω
, ngæåìi ta càõt âäüng cå chênh. Âäüng cå phuû chaûy
tiãúp âãø traïnh vä làng dæìng laûi do ma saït khäng thãø traïnh khoíi åí äø truûc.
Xem ràòng ma saït âoï tæång âæång våïi mäüt ngáùu læûc coï momen (âäúi våïi truûc quay) khäng âäøi laì
- C1 vaì âäüng cå taïc âäüng mäüt ngáùu læûc coï momen 12
() cosCt C C t
=
+Ω
(C2 vaì bàòng hàòng
säú). Xaïc âënh chuyãøn âäüng quay cuía vä làng.
Ω
Baìi giaíi : Cáu 1 :
a) Cäng suáút P cuía âäüng cå bàòng hàòng säú åí moüi thåìi âiãøm (cho duì váûn täúc goïc ω cuía vä làng
bàòng bao nhiãu âi næîa).
AÏp duûng âënh lyï âäüng nàng cho vä làng, giæîa thåìi âiãøm ban âáöu t = 0 (ω = 0) vaì thåìi âiãøm
vä làng âaût váûn täúc goïc ω0 (t = t1) :
int
0
00
tt
text
ii
t
ii
tt
EW W
=
==
∆= +
∑∑
⇒
11
2
00
1
2
tt tt
tt
JPdt
ω
==
==
=
∫
2
01
1
2J
ω
=Pt
⇒
2
0
1
1
2
J
tP
ω
= ⇒
b) Goüi C0 laì ngáùu læûc do âäüng cå chênh taïc âäüng lãn vä làng : C0 = hàòng säú.
Ngáùu læûc naìy coï cäng suáút laì P khi välàng coï váûn täúc goïc laìm viãûc laì0
ω
, do âoï : 00
CP
ω
=
AÏp duûng âënh lyï vãö momen âäüng læåüng âäúi våïi truûc quay (∆) :
()⇒
ext
i
i
dL MF
dt
∆∆
=∑G 0
JC
ω
=
(1)
Têch phán (1) tæì t0 âãún t2 (taûi t = 0, ω = 0 ; taûi t = t2, ω = ω0) :
22
0
00
tt tt
tt
Jdt Cdt
ω
==
==
=
∫∫
⇒
02
0
00
tt
t
Jd C dt
ωω
ω
ω
==
==
=
∫
∫⇒002
JCt
ω
=
⇒0
2
0
J
tC
ω
=⇒
2
0
2
J
tP
ω
=
⇒
21
2tt=
Nhæ váûy âãø khåíi âäüng baïnh âaì nhanh hån, nãn thao taïc theo nhiãöu täúc âäü (luïc âáöu âæa tæì 0
âãún ω01, sau âoï tæì ω01 âãún ω0) âãø táûn duûng cäng suáút cuía âäüng cå keïo baïnh âaì.
Cáu 2 :
AÏp duûng âënh lyï vãö momen âäüng læåüng cho vä làng âäúi våïi truûc quay (∆) :
1()JCCt
ω
=− +
⇒ 112
cosJ CCC t
ω
=− + + Ω
⇒2cos
d
JC
dt t
ω
=
Ω
⇒ ⇒
()
2cosJd C t dt
ω
=Ω
∫∫ 2sin
C
Jt
ω
A
=
Ω+
Ω
Láúy gäúc thåìi gian laì luïc däüng cå phuû bàõt âáöu chaûy : taûi t = 0 thç ω = ω0
⇒ 0
JA
ω
= ⇒2
0
sin
C
J
tJ
ω
ω
=Ω+
Ω ⇒2
0
sin
Ct
J
ω
ω
=
Ω+
Ω
(Ghi chuï : Ta tháúy âãø âäü biãún thiãn 2
0sin
Ct
J
ωωω
∆
=− = Ω
Ω cuía váûn täúc goïc caìng beï khi
momen quaïn tênh cuía vä làng phaíi caìng låïn. Tæì âoï tháúy roî taïc duûng cuía vä làng hay coìn goüi
laì baïnh âaì laì laìm cho chuyãøn âäüng cuía maïy âæåüc âãöu hån).
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AÏp duûng 3 - Chuyãøn âäüng quay quanh truûc cuía mäüt hçnh truû coï dàòn :
Trãn mäüt hçnh truû âäöng nháút tám O, khäúi læåüng M, baïn kênh R, momen quaïn tênh âäúi våïi truûc
(Oz) cuía hçnh truû bàòng : 2
1
2
J
MR=, coï gàõn ba khäúi âiãøm
giäúng nhau A, B , C coï khäúi læåüng m (A, B, C nàòm trãn
cuìng mäüt màût phàóng âi qua truûc hçnh truû). Hçnh truû quay
våïi váûn täúc goïc ω khäng âäøi quanh truûc thàóng âæïng cuía
noï, truûc naìy cäú âënh trong hãû quy chiãúu traïi âáút giaí sæí laì
Galileïe. Táút caí caïc liãn kãút âæåüc xem nhæ khäng coï ma
saït.
z
2
R
O
A
B
2h g
C
1) Coï cáön phaíi duìng mäüt âäüng cå âãø keïo nhàòm giæî cho
váûn täúc goïc khäng âäøi ?
2) a) Tênh læûc thu goün vaì momen thu goün vãö âiãøm O cuía caïc taïc âäüng cå tiãúp xuïc taïc duûng
lãn váût ràõn.
b) Caïc kãút quaí trãn seî nhæ thãú naìo nãúu thaïo boí khäúi âiãøm taûi C ?
Baìi giaíi : Cáu 1 :
Xeït hãû (S) gäöm hçnh truû vaì ba khäúi âiãøm A, B, C.
Goüi .
dc dc z
M
Me=
GG laì momen cuía âäüng cå taïc duûng lãn hãû (S). Goüi laì hãû quy
chiãúu gàõn liãön våïi hãû (S) sao cho màût phàóng (,
(, , , )
xs ys z
Oe e e
GGG
, )
xs z
Oe e
G
G truìng våïi màût phàóng ABC.
+ Âäüng læåüng cuía hãû (S) : v( ) ys
PmC mRe
ω
==
GGG
+ Momen âäüng læåüng cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm O : 2
0(3 )
zx
LJmRemRhe
s
ω
ω
=+ +
G
G
G
(Ghi chuï : Xem laûi baìi táûp 6, trang 42, chæång Chuyãøn âäüng quay cuía váût ràõn. Âäüng læåüng
v( ) ys
PmC mRe
ω
==
G chênh laì do khäúi âiãøm taûi C gáy ra).
GG
+ Hãû ngoaûi læûc taïc duûng lãn hãû (S) :
Troüng læåüng
M
g
G ; troüng læåüng cuía 3 khäúi âiãøm A, B, C; momen
3mg
G
dc
M
G
cuía âäüng cå ; taïc
âäüng cå tiãúp xuïc khi thu goün vãö âiãøm O thuäüc truûc quay Oz : ,
(, )
O tiepxuc
RM
G
G. Do liãn kãút truû
quay laì khäng coï ma saït nãn : ,O tiepxuc
M
Oz⊥
G.
AÏp duûng âënh lyï vãö momen âäüng læåüng cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm cäú âënh
O : ()
ext
O
Oi
i
dL MF
dt =∑
G
GG
Våïi :
()
2
O
xs ys
dL mRh e mRh e
dt
ωω ω
=×=
G
GGG
vaì ,
()
ext
O i dc z O tiepxuc
i
M
F M e M OC mg=+ +×
∑
JJJG
G
GG
G
G
Suy ra : (1)
2
,R
ys dc z O tiepxuc ys
mRh e M e M mg e
ω
=+ +
G
GG G
Chiãúu (1) lãn truûc Oz : Khäng cáön duìng âäüng cå âãø keïo hãû nhàòm giæî cho hãû coï
váûn täúc goïc ω khäng âäøi.
0
dc
M=⇒
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Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
A
B
C
O
z
e
G
xs
e
G
ys
e
G
g
G
dc
M
G
x
e
G
Cáu 2 :
a) AÏp duûng âënh lyï vãö däüng læåüng cuía hãû (S), ta coï : ext
i
i
dP F
dt =
∑
G
G
.
Våïi
()
2
ys xs
dP mR e mR e
dt
ωω ω
=×=−
G
GG
vaì 3
ext
i
i
F
Mg mg R
=
++
∑
G
G
G
G
⇒
23
xs
mR e Mg mg R
ω
−=+
G
GGG
+
e
GGG
Chiãúu lãn phæång ee , ta coï :
,,
xs ys z
2
0
0( 3)
xs
ys
z
mR R
R
M
mg R
ω
⎧−=
⎪=
⎨
⎪=+ +
⎩
⇒
2
0
(3)
xs
ys
z
RmR
R
R
Mm
ω
⎧=
⎪=
⎨
⎪=− +
⎩g
AÏp duûng âënh lyï vãö momen âäüng læåüng cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm cäú âënh O :
2
,R
ys O tiepxuc ys
mRh e M mg e
ω
=+
G
GG
⇒2
,()
O tiepxuc ys
M
mR h g e
ω
=−
G
G
(Ghi chuï : Thaình pháön laì do khäúi âiãøm taûi C gáy ra).
Rys
mg e
G
b) Khi thaïo boí khäúi âiãøm åí gàõn taûi C : 0P
=
G
vaì 2
0(3 )
z
LJmRe
ω
=+
G
G
.
Suy ra :
0
0
(2)
xs
ys
z
R
R
R
Mmg
⎧=
⎪=
⎨
⎪=− +
⎩
hay : (2)
R
Mm=− +
G
g
G
Vaì : 2
0(3 )
z
LJmRe
ω
=+
G
G
⇒ 0
O
dL
dt =
G
⇒ Âënh lyï vãö momen âäüng læåüng cuía (S) âäúi våïi O cho ta : ,0
O tiepxuc
M
=
G
44
Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
AÏp duûng 4 : Phaín læûc trãn truûc cuía mäüt con làõc :
Mäüt con làõc khäúi læåüng m, khäúi tám G, coï thãø
quay tæû do chung quanh mäüt truûc nàòm ngang Oz.
Con làõc âæåüc thaí khäng váûn täúc âáöu tæì vë trê nàòm
ngang 0
(
2)
π
θ
=. Haîy tênh theo θ, giaï trë cuía håüp
læûc
R
G cuía caïc taïc âäüng cå tiãúp xuïc taïc duûng lãn
truûc quay cuía con làõc. Våïi giaï trë naìo cuía θ, giaï trë
noïi trãn laì cæûc âaûi ?
x
G
mg
G
θ
⊕
y
O
:
z
e
G
Baìi giaíi :
AÏp duûng âënh lyï vãö âäüng læåüng cuía con làõc âäúi våïi
âiãøm O cäú âënh : () ext
i
i
dP ma G F
dt ==
∑
GG
G
⇒ våïi G laì khäúi tám cuía con làõc.
()ma G mg R=+
G
GG
y
O
x
G
mg
G
θ
⊕
R
G
,O tiepxuc
M
Oz⊥
G
xs
e
G
ys
e
G
:
z
e
G
Chiãúu lãn ba truûc : ⇒
,,
xs ys z
eee
GGG
2cos
sin
0
xs
ys
z
ma mg R
ma mg R
R
θθ
θθ
⎧−= +
⎪=− +
⎨
⎪=
⎩

2cos
sin
0
xs
ys
z
Rmamg
Rmamg
R
θ
θ
θ
θ
⎧=− −
⎪=+
⎨
⎪=
⎩

AÏp duûng âënh lyï âäüng momen âäüng læåüng cuía con làõc âäúi våïi truûc Oz :
Oz Oz
J
M
θ
=
 ⇒ sinJmga
θ
θ
=−
 (1)
Têch phán hãû thæïc (1) theo t : 2
1cos
2Jmga
θ
θ
=
⇒ 22cos
mga
J
θ
θ
=
vaì sin
mga
J
θ
θ
=−

Suy ra : .2 cos cos
xs
mga
Rma mg
J
θ
θ
=− − ⇒
2
2
cos 1
xs
ma
Rmg J
θ
⎛⎞
=
−+
⎜⎟
⎝⎠
Vaì : sin sin
ys
mga
Rma mg
J
θ
θ
=− + ⇒
2
sin 1
ys
ma
Rmg J
θ
⎛⎞
=
−+
⎜⎟
⎝⎠
Toïm laûi :
2
22
2
32cos1
ma ma ma
Rmg JJ J
θ
⎛⎞⎛
=++−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
2
⎞
⎟
⎠
45