Bài tập ñại số tuyến tính – dành cho hệ VB2 và VLVH GV : ThS Trần Thị Tuấn Anh
- 1 -
BÀI TẬP ðẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Chương 1 : MA TRẬN VÀ ðỊNH THỨC
Bài 1.
Cho ma trận
2 2 0
1 3 1
3 1
A
m
= −
−
a. Tìm
m
ñể
A
suy biến.
b. Khi
2
m
=
, hãy tìm
1
A
−
.
Bài 2.
Cho ma trận
1 2 0
2 3 1
101
A
=
Tìm ma trận
X
sao cho
T
AX A
Bài 3.
Cho các ma trận
1 2 1
2 1 3
1 3
A
m
−
= − − −
−
và
0 1 1
1 0 1
1 1 0
B
−
= −
−
a. Tìm
m
ñể
A
là một ma trận không suy biến.
b. Với
1
m
, hãy tìm tất cả các ma trận
X
sao cho
T
XA B
Bài 4.
Cho các ma trận
1 2 2 8
2 1 1 1
1 3 3
A
m
−
= − − −
−
và
001
0 1 0
1 0 0
B
=
a. Biện luận hạng của
A
theo
m
.
b. Với
0
m
, hãy tìm tất cả các ma trận
X
sao cho
T
XB A
Bài 5.
Cho ma trận
6 2 3
11 3 7
7 2 4
A
=
và
0 0 1
0 0 1
0 0 1
B
= −
a) Tính
(
)
5
( ), 2 , ( )
T
D A D A D AA
.
b) Giải phương trình ma trận
AX B
=
.
Bài 6.
Cho ma trận
Bài tập ñại số tuyến tính – dành cho hệ VB2 và VLVH GV : ThS Trần Thị Tuấn Anh
- 2 -
102
213
1 0
A
m
=
a) Tìm
m
ñể
A
suy biến.
b) Khi
1
m
=
, hãy tìm ma trận
X
sao cho
3
AX I
với
3
I
là ma trận ñơn vị cấp 3.
Chương 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 7.
Cho hệ phương trình:
2 3 0
3 2 0
2 0
x y z
x y mz
x y z
+ − =
− − + =
− + =
Tìm
m
ñể hệ có vô số nghiệm. Tìm hệ nghiệm tổng quát trong trường hợp này.
Bài 8.
Cho hệ phương trình
( )
( ) ( )
2 3 0
2 4 7 0
2 1 0
x y z
x m y z
x m y m z
− + =
+ − + =
− + + + − =
a. Tìm
m
ñể hệ ñã cho có nghiệm duy nhất.
b. Với
0
m
, hãy tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ ñã cho.
Bài 9.
Cho hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 5 10
1 2 1 5
1 2 1 2
x y z
m x my m z m
m x m y m z m
+ + =
+ + + + =
− + − + + =
a.
Với giá trị nào của
m
thì hệ trên là hệ Cramer.
b.
Xác ñịnh
m
ñể hệ trên vô nghiệm.
Bài 10.
Cho hệ phương trình:
( )
( )
2 1
2 5 1 3
3 2 2
x y z
x y m z
x m y mz m
+ − =
+ + − =
+ + + = +
Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số
m
.
Bài 11.
Cho hệ phương trình:
( ) ( )
− + =
+ + + + = +
+ + =
2 1
1 4 2 4
2 5 3
x y z
x m y m z m
x my z
Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số
m
.
Bài tập ñại số tuyến tính – dành cho hệ VB2 và VLVH GV : ThS Trần Thị Tuấn Anh
- 3 -
Bài 12.
Cho hệ phương trình:
( ) ( )
− + =
+ + + + = +
+ + =
2 1
1 4 2 4
2 5 3
x y z
x m y m z m
x my z
a) Khi
1
m
, giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer.
b) ðịnh
m
ñể hệ có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát trong trường hợp ñó
Bài 13.
Cho ma trận
1 3 2
1 5 7
2 6 5
A
−
= −
−
a. Tìm ma trận nghịch ñảo của
A
.
b. Suy ra nghiệm của hệ phương trình
3 2 1
5 7 12
2 6 5 5
x y z
x y z
x y z
− + =
− + =
− + =
Chương 3 : ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Bài 14.
Trong mô hình Input-Output mở có 3 ngành kinh tế, xét ma trận hệ số ñầu vào
0,2 0,2 0,1
0, 3 0,1 0, 2
0,1 0,2 0, 4
A
=
Tìm sản lượng của ba ngành kinh tế biết yêu cầu của ngành kinh tế mở ñối với ba ngành kinh tế là
(
)
400, 300,200
.
Bài 15.
Trong mô hình Input-Output mở có 3 ngành kinh tế, xét ma trận hệ số ñầu vào
0,1 0,2 0, 4
0, 3 0,1 0, 2
0,2 0,2 0,1
A
=
a) Giải thích ý nghĩa của hệ số
21
0, 3
a
=
.
b) Tìm sản lượng của ba ngành kinh tế biết yêu cầu của ngành kinh tế mở ñối với ba ngành kinh tế là
(
)
200, 300, 400
.
Bài 16.
Xét mô hình cân bằng thị trường gồm ba loại hàng hóa, biết hàm cung và hàm cầu của chúng trong một
ñơn vị thời gian là:
1
2
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
20 2 700
3 15 2 300
3 4 10 100
S
S
S
Q P P P
Q P P P
Q P P P
= − − −
= − + − −
= − − + −
1
2
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
10 2 1700
3 13 3 1400
2 5 12 700
D
D
D
Q P P P
Q P P P
Q P P P
= − + + +
= − + +
= + − +
Tìm ñiểm cân bằng thị trường.
Bài 17.
Bài tập ñại số tuyến tính – dành cho hệ VB2 và VLVH GV : ThS Trần Thị Tuấn Anh
- 4 -
Xét mô hình cân bằng thị trường gồm ba loại hàng. Biết hàm cung và hàm cầu của các loại hàng hoá
trên là:
120216
321
1
−
−
−
=
PPPQ
S
24034
321
1
+
+
+
−
=
PPPQ
D
90274
321
2
−−+−= PPPQ
S
150246
321
2
++−= PPPQ
D
13086
321
3
−
+
−
−
=
PPPQ
S
11038
321
3
+
−
+
=
PPPQ
D
Tìm ñiểm cân bằng thị trường.
Bài 18.
Trong mô hình Input – Output mở Leontief có ba ngành kinh tế, xét ma trận hệ số ñầu vào
0, 2 0,1 0, 3
0, 3 0,2 0,2
0,1 0, 3 0,1
A
=
a. Nếu ñầu ra của ngành kinh tế thứ hai là
120
ñơn vị tiền tệ, thì ngành kinh tế thứ nhất và ngành kinh
tế thứ ba phải cung cấp cho ngành kinh tế thứ hai bao nhiêu ñơn vị tiền tệ ?
b. Tìm sản lượng của ba ngành kinh tế nếu biết yêu cầu của ngành kinh tế mở ñối với ba ngành kinh tế
là
(
)
17;22;45
.
Bài 19.
Trong mô hình Input – Output mở Leontief có ba ngành kinh tế, xét ma trận hệ số ñầu vào
0, 2 0, 3 0,1
0, 3 0,2 0,2
0,1 0,1 0, 3
A
=
a. Tìm sản lượng của ngành kinh tế thứ hai khi biết rằng giá trị lượng sản phẩm ngành kinh tế thứ nhất
cung cấp cho nó là
120
.
b. Tìm sản lượng của ba ngành kinh tế nếu biết yêu cầu của ngành kinh tế mở ñối với ba ngành kinh tế
là
(
)
19;22;43
.