intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập giải tích Toán lớp 12: Phần 2

Chia sẻ: Phuc Nguyen | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:36

Thêm vào BST
Báo xấu
99
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu gồm các bài tập giải tích theo chương trình học quanh các chủ đề: Cực đại và cực tiểu, tính đạo hàm, đồ thị hàm số, giải bất phương trình, phương trình tiếp tuyến, vi phân hàm số, tính đơn điệu của hàm số,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập giải tích Toán lớp 12: Phần 2

  1. Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  1    ­    Soạn cho lớp LTĐH  Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều I. ĐẠO HÀM  1) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số: |x | a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) =   tại x0 = 0. x 1 2) Cho hàm số y = f(x) = x3 3x2+1, có đồ thị (C). a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x)   0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.       3) Cho (C) :  y = f(x) = x4 x2. a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.   b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)  :  1. Tại điểm có hoành độ bằng  2 . 2. Tại điểm có tung độ bằng 3. 3. Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007 1 4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = x 10. 24  4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x2 2x 3 đi qua M1(5;3).  5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x3 –3x+1 kẻ  từ  M(3; 1). 4  6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :  y = f(x) =  x 2+  đi qua A(0;3). x 1 x 1          7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)=    đi qua H(1;1). x 1 8) Tìm đạo hàm các hàm số  x3 2x ax2 bx c a)  y = ( x3 – 3x + 2 ) ( x4 + x2 – 1 )  b) y =  2 c) y =   x x 1 px q 9)  Tìm đạo hàm các hàm số  :   a) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5                  b) y = sin2 (cos 3x) 3           c) y = ln x d) y = esinx          e) y = e 4x + 5 f) y =  ax2 2x 1 (0
  2. Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  2    ­    Soạn cho lớp LTĐH  Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều 11) Tính đạo hàm của hàm số x3 neáux 0 Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  3    ­    Soạn cho lớp LTĐH                      f(x) =  2 1 x neáux 0 19) Cho các hàm số f(x) = sin4x + cos4x; g(x) =  cos4x                       tại điểm x0 = 0 4 12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau  :  Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x),  x R a) y = lnx b) y = e Kx c) y = sin x 20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra: d) y = cos x e) y = ln (x2 + x – 2 ) a) f(x) = ln (sinx) tại x0 =  . b) f(x) = x. cosx tại x0 =  13)  Chứng minh rằng  :  4 3 5 21) Tìm vi phân của mỗi hàm số: a) Với y= 3 +   ( x   0), ta có xy’ + y = 3  sinx x a)  f(x) =  x2 1 b)  f(x) = x.lnx. c)  f(x) =  . b) Với y = x sin x, ta có  : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0 x c) Với y = ( x +1 ) ex ta có  :  y’ – y = ex 22) Biết rằng ln 781 = 6,6606  , hãy tính gần đúng ln 782. d) Với y= e sin x  ta có  :   y’ cos x – ysin x – y” = 0 II.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1 3 e) Với y =  ln   ta có xy’ + 1 = ey 23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ 5. 1 x x 14)  Chứng minh các đẳng thức đạo hàm: 24) Xét tính đơn điệu của hàm số  sin3 x cos3 x a) y = f(x) = x3 3x2+1. b) y = f(x) = 2x2 x4. a) Cho hàm số y = . Chứng minh rằng: y’' =  y x 3 1 sinx. cosx x2 4x 4 c) y = f(x) =  . d) y = f(x) =  . x x 2 1 x b) Cho y = ln(sinx) .   Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg  = 0 2 e) y = f(x) =  x+2sinx trên (  ;  ). f) y = f(x) = xlnx. c) Cho y = e4x+2e x.   Chứng minh rằng : y’’’ 13y’ 12y = 0 g) y = f(x) =  3 x2 (x 5) . h) y= f(x) = x3 3x2. x 3 x2 3x 3 d) Cho y =       .   Chứng minh rằng : 2(y’)2 = (y 1)y’’ i)  y f(x) . j) y= f(x) =  x4 2x2.         x 4 x 1 1 k)  y = f(x) =  sinx   trên đoạn [0; 2 ]. e) Cho y =  cotg3x cotgx x 3 7 .  Chứng minh rằng:  y’ = cotg4x 3 25) Cho hàm số y = f(x) = x3 3(m+1)x2+3(m+1)x+1. Định m để hàm số  : cos2 x a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. Kq:1   m   0 15)  Cho f(x) =    .   Chứng minh rằng :  f ( ) 3f '( ) 3 1 sin2 x 4 4 4 x2 ' 1 1 b) Nghịch biến trên khoảng ( 1;0). Kq:  m     16)  Cho  f(x) =  x.e 2    .  Chứng minh rằng :  2f ( ) 3f ( ) 3 2 2 1 17) Giải phương trình  :  f’(x) = 0 biết rằng: c) Đồng biến trên khoảng (2;+  ). Kq: m     3 a)  f(x) = cos x +sin x + x. mx 1 b)  f(x) = (x2+2x 3)ex 26) Định m Z để  hàm số y = f(x) =   đồng biến trên các khoảng xác định của  x m c)  f(x) = sinx.ex nó. Kq:  m = 0 d)  f(x) =  3 sinx cosx x mx 6x 2 2 27) Định m để  hàm số y = f(x) =   nghịch biến trên nửa khoảng  [1;+ ). 1 3 2 x 2 18) Giải bất phương trình f (x) 
  3. 28) Chứng minh rằng :   ex 1 x ,  x > 0. Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  4    ­    Soạn cho lớp LTĐH    29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng  Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều khoảng xác định) của nó : x2 x 1 a)  y = x3 3x2+3x+2. b)  y .     x 1 x 1 c)  y .                  2x 1 x3 30) Tìm m để hàm số  y m 1 x2 m 7 x : 3 a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+ ) x2 2mx m 2 31) Tìm m để hàm số : y  luôn đồng biến trên từng khoảng xác  x m định của nó.  2x2 (1 m)x m 1 32) Tìm m để hàm số : y  luôn đồng biến trên khoảng (1;+ ). x m Kq:  m 3 2 2 33) Tìm m để hàm số y = x2.(m x) m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m 3 34) Chứng minh rằng :   x2 a) ln(x+1)  0. b) cosx >1 , với x > 0 . 2 II. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU 35) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 1: 3 ln x a) y = x3. b) y = 3x +   + 5. c) y = x.e x. d) y =  . x x 36) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 2: ex a) y = sin2x với  x [0;   ]  b) y = x2lnx. c) y =  . x 37) Xác định tham số m để hàm số y=x3 3mx2+(m2 1)x+2 đạt cực đại tại x=2. ( Đề thi TNTHPT 2004 2005)  Kết quả : m=11 38) Định m để hàm số y = f(x) = x3 3x2+3mx+3m+4  a.Không có cực trị. Kết quả : m  1 b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m 
  4. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  5    ­    Soạn cho lớp LTĐH  f '(a) 0 f ''(a) 0                                           Kết quả : m=0 f (a) b     d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O. Kq : d:y = 2(m 1)x+4m+4 và m=  1  x2 4x m 39) Định m để hàm số y = f(x) =  1 x a. Có cực đại và cực tiểu. Kết quả :   m>3   b.Đạt cực trị tại x = 2. Kết quả : m = 4 c.Đạt cực tiểu khi x =  1 Kết quả : m = 7 x2 m(m2 1)x m4 1 40) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =  luôn có cực trị. x m 1 3 2 2 41) Cho hàm số y = f(x) = x mx +(m m+1)x+1. Có giá trị nào của m  để hàm số đạt  3 cực tiểu tại x = 1 không?  Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không 1 3 2 42) Cho hàm số y = f(x) = x mx +(m+2)x 1. Xác định m để hàm số: 3 a) Có cực trị. Kết quả: m < 1 V m > 2 b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+ ). Kết quả:     m > 2 c) Có cực trị trong khoảng (0;+ ). Kết quả: m < 2 V m > 2 43) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) =  x4+2mx2 2m+1. Hd và kq : y’= 4x(x2 m)  m   0: 1 cực đại x = 0  m > 0: 2 cực đại x= m và 1 cực tiểu x = 0 x2 x m 44) Định m để đồ thị (C) của hàm số  y = f(x) =  có hai điểm cực trị nằm  x 1 1 khác phía so với Ox. Kết quả : m >  4 45) Định m để hàm số  y = f(x) = x3 6x2+3(m+2)x m 6 có 2 cực trị và hai giá trị cực trị  17 cùng dấu. Kết quả : 
  5.   Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  6    ­    Soạn cho lớp LTĐH  Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều 48) Định m để hàm số có cực trị  :  a)  y x3 3x2 mx 2 . Kết quả: m1 x 1 x3 49) Định m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) =  mx2+(m+3)x 5m+1. 3 Kết quả: m = 4 1 3 50) Cho hàm số : f(x)= x mx2+(m 2) x 1. Định m để hàm số đạt cực đại tại x2,  3 cực tiểu tại x1 mà x1 
  6.   Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  7    ­    Soạn cho lớp LTĐH  Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều 59) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.          60)  Tìm  GTLN:  y= x2+2x+3.   Kết quả:  Max R y=f(1)= 4 1 61)  Tìm GTNN   y = x – 5 +   với x > 0. Kết quả:  Min ( 0; ) y=f(1)=  3 x          62)  Tìm GTLN, GTNN      y = x – 5 +  4 x2 .  Kết quả:  Max y f ( 2) 2 2 5 ;  Min [ 2;2] y f ( 2) 7 [ 2;2] 1 63)  Tìm GTLN, GTNN   của hàm số  y=2x3+3x2 1 trên  đoạn  ;1 2 Max y f (1) 4 Min y f (0) 1 Kết quả:  1 [ ;1] ;  [ 1;1] 2 2 64) Tìm GTLN, GTNN  của: a) y = x4­2x2+3. Kết quả:  Min R y=f( 1)=2; Không có   Max R y     b) y = x4+4x2+5. Kết quả:  Min R y=f(0)=5; Không có   Max R y 2 2 sinx 1 7 Max c) y . Kết quả:  Min y= ;   R y=1 cosx 2 R 3 x2 3x 3 1 Max       d) y . Kết quả:  Min y= ;   R y=3 x2 x 1 R 3 3x 1 9 65) Cho hàm số  y 2 . Chứng minh rằng :  y 1    x x 2 7 x2 cos 2x cos 66) Cho hàm số  y 0; . Chứng minh rằng :  1  y   1 x2 2x cos 1 Hướng dẫn:y’=0   2sin2  . x2 2sin2  =0   x= 1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1 Dựa vào bảng biến thiên kết luận  1  y   1. 67) Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất : 1 y =f(x)= lg2x +  2 lg x 2          Hướng dẫn và kết quả  : Txđ: (0; +  ) . Đặt t= lg2x, t 0,   hàm số  1 y=g(t)=t+ xác định trên [0; + ),  dùng đạo hàm đưa đến y’=0  t 2 t= 3   [0; +   ) V t= 1   [0; +   )     hàm số  y=g(t) đồng biến trên  1 1 [0;+  )    Min [0; ) g(t) = g(0) =       Min ( 0; ) f(x) = f(1) =  2 2  
  7. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  8    ­    Soạn cho lớp LTĐH  4 3 68) Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số  y=2sinx sin x  trên đoạn [0; ] 3 (Đề thi TNTH PT 2003 2004) Kết quả: Max f(x)=f(  /4)= f(3  /4)= 2 2 ;  Min f(x)=f(0)=f(  )=0 [0; ] [0; ] 3 IV. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ  HÀM SỐ 69) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số : x2 x 4 a) y = f(x) =  x4 6x2+1 b) y = f(x) =  x 70) Định m để  đồ  thị  (Cm):y = f(x) = x3 3(m 1)x2+m2x 3 nhận I(1; 1) làm điểm uốn. Kết quả: m = 2 . 71) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x 6mx + 3  4 2 a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0 b) Không có điểm uốn. Kết quả: m   0 2x 1 72) Chứng minh rằng đồ thị (C):  y  có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết  x2 x 1 phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này. Hướng dẫn và kết quả: 1 1 (C) có 3 điểm uốn A( 2; 1), B( ;0), C(1;1). AB AC  A, B, C thẳng hàng. 2 2 yC yA 2 Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có   hệ  số  góc   k   nên có  xC xA 3 2 2 1 phương trình : y = k(x­xC)+yC =  (x­1)+1  y= x + . 3 3 3 73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) =  x2 3x+2 Kết quả:  Lõm trên các khoảng ( ;1) và (2; + ). Lồi trên khoảng (1;2).  Điểm uốn : I1(1;0) và I2(2;0) 74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax 3+bx2+cx+d (a 0) cắt Ox tại 3 điểm  cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox.          b) Tìm m để (C m):y = x3 3mx2+2m(m 4)x+9m2 m cắt trục hoành tại 3 điểm cách   đều nhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng).     Hướng dẫn và kết quả:  a) Cho y = 0  ax3+bx2+cx+d = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3, lập thành cấp số cộng  b b 2x2= x1+x3   3x2 = x1+x2+x3 =    x2 =  . Vậy điểm uốn I(x2;0) Ox. a 3a  
  8. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  9    ­    Soạn cho lớp LTĐH  b) Tìm I(m;m2 m).  Điều kiện cần : I Ox   m2 m = 0   m = 0 V m = 1. Điều kiện đủ   : Chọn m = 1. 75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) : x2 x 4 a) y=x3 3x2+2. b)  y . x 2 76) Chứng minh rằng đồ thị của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có  điểm uốn:  x 1 1 a) y .    b) y = x  +  .       x 2 x 77) Tìm tham số để: a) (Cm) : y=x3 3x2+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn. b) (Ca,b) : y=ax3+bx2+x+1 nhận I(1; 2) làm điểm uốn.        c) Biện luận theo m số điểm uốn của (Cm) :y=x4+mx2+m 2 . 78) Tìm m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x3 3x2 9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có  hoành độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11. 79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thị (C) :  y=x3 3x2 9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC. Hướng dẫn và kết quả :  Lập phương trình hoành độ giao điểm :  ax+b = x3 3x2 9x+1  f(x) = x3 3x2 (a+9)x+1 b = 0.(1) Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thị hàm số (1) là  I(1; a b 10) Ox    a b 10 = 0   a+b =  10. Điều kiện đủ : a+b =  10   f(x) = (x 1).g(x) = 0 với  g 2 b 0           g(x) = x2 2x+b 1. YCBT   b
  9.   Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  10    ­    Soạn cho lớp LTĐH  c) Đối xứng với N(5; 20) qua Ox. Kết quả : m= 5 . Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều d) Đối xứng với P( 7;42) qua Oy. Kết quả : m= 7 . V. TIỆM CẬN  82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số : 2x2 1 a) y =  2 . Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2 x 3x 2 x2 x 1 b) y =  .   Kết quả :    x =  2 và y = x x 2 83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số : 2 a) y = 1+ e x . Kết quả: y = 1 b) y =  x x 1 . 2 Kết quả: y =  1 x 84) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y =  x2 1 .K  ết quả :   y =  x 85) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y  =  3 3x2 x3 .   Kết quả : y =  x+1. x2 m2 1 x m2 m 86) Cho (Cm ) :  y . x 1 a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2). x 2 87)Tìm trên đồ thị (C):y =   điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm  x 1 cận là nhỏ nhất.  x2 3x 1 88) Lấy một điểm bất kỳ M (C):y = f(x) =  . Chứng minh rằng tích các  x 2 9 khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d1.d2= . 2 VI. KHẢO SÁT  HÀM SỐ 89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x3­3x+1  b) y = 3x2­x3  3 c) y = x +3x 4 d) y = (1­x)3 x 4 1 e) y =  x2 f) y = x4+x2­2. 2 2 g) y=2x2 x4­1 h) y=x4­1 x 1 2x i) y =  j) y =  x 1 x 2  
  10. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  11    ­    Soạn cho lớp LTĐH  x2 4 k) y =     l) y =  x 1   x 1 x 2 (x 2)2 1 m) y =       n) y =  x 2 1 x x 2 VII.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị:  x2 6x 3 2m 3 a)  (C): y =   và d: y = x m. Hd: Lý luận x= 2 x 2 8 m x 1 b) (H):  y  và d: y=  2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành độ  x 1 giao điểm. 91)  A.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3+3x2 2     B.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm  của pt:  x3+3x2 (m 2) = 0 1 92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y= x+3 và tiếp  4 xúc với đồ thị (C) hàm số y=  x3+3x2 4x+2. 93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ  thị  (C): y=x3+3x2+1 biết tiếp tuyến đi qua  gốc toạ độ O. 94)  Dùng đồ  thị  (C): y = x 3 3x2+1 biện luận theo m số  nghiệm của phương trình   x3 3x2   9x+1 m = 0. 95) Cho parabol (P): y=x2 2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P). c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của  đoạn AB. x 1 96) Cho hàm số  y , có đồ thi (H). x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H). b)  Cho đường thẳng d: y=  2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập  hợp trung điểm I của MN. 97) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x3 3x2+1 nhận điểm uốn của nó  làm tâm đối xứng. 98) Cho hàm số y = x4−4x3−2x2+12x−1.  
  11. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  12    ­    Soạn cho lớp LTĐH  a) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số có trục đối xứng. b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox. Hướng dẫn và kết quả:  a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thị (C) : Tìm đến y(3) và cho y(3) = 0 , tìm được  nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng  của (C). b) Cho Y= 0, tìm được X= 4 10  ⇒ y=0 và x =1 4 10 . x 3 99) Chứng minh rằng (C): y =   có hai trục đối xứng. x 1 Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng  là I( 1;1). Suy luận có hai đường phân giác  y= x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C). Chứng   minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C). x 2  100) Khảo sát sự  biến thiên và vẽ  đồ  thị   (C): y =  . Từ  đồ thị  (C) đã vẽ, hãy  x 2 suy ra đồ thị của các hàm số: x 2 x 2 a) (C1): y = f1(x) =  b) (C2): y = f2(x) =  x 2 x 2 x 2 x 2 c) (C3): y = f3(x) =  d) (C4): |y| = f4(x) =  x 2 x 2 x 2 x 2 e) (C5): y = f5(x) =  x 2 f) (C6): |y| = f6(x) =  x 2 101) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x3 3x2+2.             b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x| 3 3x2 +2. Từ đó biện luận theo  m số nghiệm của phương trình: | x| 3 3x2 +1   m = 0. 102)  Chứng tỏ rằng (Cm): y=x2+(2m+1)x+m2 1 (1)  luôn tiếp xúc với một đường  thẳng cố định. Xác định phương trình đường thẳng đó. Lời giải 1:              1. Dự đoán đường thẳng cố định:   Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm+x2+x 1 y=0, phương trình này có  = (x)2 1.(x2+x 1 y)=0    x+1+y=0   y= x 1 là đường thẳng cố định. Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm= x2 x+1+y (2)  Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0   m= x, thay trở lại (2):y=x 1 là đường  thẳng cố định.              2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định: ( Bắt đầu lời giải)  Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d:y=x 1 là:  
  12. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  13    ­    Soạn cho lớp LTĐH  x2+(2m+1)x+m2 1=x 1   x2+2mx+m2=0   (x+m)2=0   x= m (nghiệm kép) Vậy (Cm) luôn tiếp xúc d:y=x 1. Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc  nhau   phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” .             Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc.     Lời giải 2:   Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố định. d tiếp xúc (Cm) khi và chỉ  khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m: x2+(2m+1)x+m2 1= ax+b  x2+(2m+1 a) x+m2 b 1=0 có nghiệm kép với   m    =(2m+1 a) 2 4.1(m2 b 1)=0 với   m 4(a 1)m+(a 1)2+4b+4=0 với   m a 1 0 a 1     .  (a-1) 4b 4 0 2 b 1 Vậy d:y=x 1 là đường thẳng cố định mà (Cm) luôn tiếp xúc. (3m 1)x m2 m 103) Chứng tỏ  rằng (Cm): y=   (1), m     0   luôn tiếp xúc với hai  x m đường thẳng cố định. Xác định phương trình hai đường thẳng đó.             1. Dự đoán các đường thẳng cố định: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m:             m2+(y 1 3x)m+(y 1)x=0 (2), đặt t=y 1 ta có phương trình: m2+(t 3x)m+tx=0(3)  Phương trình (3) có  =0   (t 3x)2 4tx=0   t2 10xt+9x2=0  t=9xV t=x. Thay t=y 1,suy ra hai đường thẳng d1:y=9x+1, d2:y=x+1 cố định tiếp xúc (Cm)              2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với d1, và tiếp xúc d2: ( Bắt đầu lời giải)  d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: (3m 1)x m2 m 9x 1 x m m  (3x+m)2=0   x=  4m2 3 9 (x m) 2 m Vậy d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x=   (m   0). 3 Tương tự : d2:y=x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= m (m   0). 104) Chứng tỏ rằng (Cm): y=mx3 3(m+1)x2+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng  cố định tại một điểm cố định. Hướng dẫn giải: Tìm được (Cm) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3; 23) và tiếp  tuyến của (Cm) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định. 105) Chứng tỏ rằng (dm): y=(m+1)x+m2 m luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
  13. 1 2 3 1 Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  14    ­    Soạn cho lớp LTĐH  Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P):y= x x  là parabol  4 2 4 VIII.TÍCH PHÂN cố định và chứng tỏ (dm) tiếp xúc (P) tại x=1 2m. x2 x 3   106) Cho f(x)= , tìm A, B và C sao cho: (x 1)3 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều A B C           f(x)=  . Kq: A= ­1; B=3 và C=1 (x 1)3 (x 1) 2 x 1 x2 x 3 2) Từ đó tính   dx (x 1)3 x3 x 2 107) Tính   dx (x 2)3 (2x 3)dx 108)  Tính  2   x 3x 2 3x2dx 109) Tính  x3 1 110) Tìm A, B , C để  sinx cosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx 2sinx) +C   1 3 8 Kq: A= ; B=  và C= 5 5 5 111)  Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:                    Hàm số Kết quả Hàm số  Kết quả x 1 x 1 a) y= 2 x( 1) +C c) y= tgx cotgx+C x 3 sin 2 x . cos2 x x cos2x sinx+cosx+C b) y=2 sin2 x sinx+C d) y= 2 cos x sinx       112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x3 x2+2x 1 biết rằng F(0) = 4. x 4 x3 Kết quả: F(x) = +x2 x+4 4 3 113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx­x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx. Kết quả: F(x) = x. l nx­x+C x 1 A B 114) Tìm A và B sao cho với mọi x  1  và x 2 , ta có: 2        x 3x 2 x 2 x 1 x 1 Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:  f (x) x2 3x 2 3 x 2 Kết quả: A=3; B=  2. F(x) = 3 l n x 2 2 l n x 1 + C= l n  +C (x 1) 2
  14. 115) Tính các tích phân: Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  15    ­    Soạn cho lớp LTĐH    Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả a) cotgx.dx l n sinx +C d)  1 dx l n  l n x +C x. ln x b)  cotg x.dx 2 cotgx x+C 1 2 cosx 3 e) e 2 cosx 3 .sinxdx e +C 1 3 2 c)  sin x. cosxdx 2 sin x+C dx 3 x f)  sinx l n tg2 +C 116) Tính caùc tích phaân: Tích phaân Keát quaû Tích phaân Keát quaû 2 x2 2 1 a) dx 3 3 2cotg2 x 11 3 15 1 2x 2 e) dx cos2 x 3 3 x2 4x 12 4 b) dx 1 x 4 1 sin3 x 3 2 2 2 f) dx 4 sin2 x 2 c) | x2 1| dx 6 2 4 4 2 1 d) tg2 xdx g) sin2 x cosxdx 4 3 0 0 117) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả 1 dx ln2 2 a) g) 2 sinx ln2 0 x 1 dx 3 0 1 3cosx 2 dx 1 b) 3 1 1 (2x 1)2 2 cos3 x h) .dx 2 1 4x 2 sin2 x c) dx 2ln3 6 0 x 2 x 1 ln 2 2 sinx cosx ln( 3 +1) 4 i) .dx d) tgxdx  sinx cosx 3 0 1 ln 2 ex dx 5 0 ln j) (2x 1) x 2 x 1.dx e) 4 0 ex 3 0 1 e 2 ln2 x 2 k) dx 3 f) cos3 x.dx 3 1 x 0  
  15. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  16    ­    Soạn cho lớp LTĐH  118) Chứng minh rằng: 3 11 4 dx a)  b)  54 2 ( x 7 11 x )dx 108 4 3 2sin2 x 2 7 4 119) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả 4 1 a)  sin2x.dx 0 2 e 1 ln x 2 b) dx (2 2 1) x 3 1 3 3 1 c)  sin xdx cos 2 x 2 0 4 3 8 d) tg4 xdx 0 12 2 4 dx e) 3 sin 4 x 4 1 3 3 f) 1 xdx 4 0 1 1 (2 2 1) g) x x 1 dx 2 3 0 1 dx h) 2 3 3 0 x x 1 1 2( e 1 2) e x dx k)  0 1 ex 2 3 l) sinx 3 cosxdx 4 0 120) Tính các tích phân:  
  16. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  17    ­    Soạn cho lớp LTĐH  Tích phân Kết quả 2 dx m) Nhân tử số và mẫu số cho x.Kq: 2 x x2 1 12 3 9 n) 9 x 2 dx 3 2 1 dx o) 0 4 x2 6 1 2 2 p) x 1 x dx x=sint. Kq: 16 0 3 1 q) x2 1 dx 3 ln(2 3) 2 0 1 1 x2 3 3 r) dx 1 x2 3 2 2e TS+ex ex.Kq:l n 1 dx s) e 1 01 ex 2 dx 1 t) 01 cosx 1 u) sinxdx 3 0 cos x 2 v) 2 sinx 4 dx 0 1 cos2 x 1 e ln x 4 5 w)  dx 1 x 121) Tính caùc tích phaân: Tích phaân Keát quaû Tích phaân Keát quaû 1 e 2x e 2 1 c)  lnxdx 1 a)  xe dx 0 4 1 4 2 b) ( x 1) cos xdx d)  xdx 2 ln 2 0 2 cos 2 x 4 0
  17. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều  Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  18    ­    Soạn cho lớp LTĐH Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả 1 2 1 2 e)  x sin x.cos xdx h) x ln(1 x )dx ln2 8 0 2 0 cos x e2 1 i) (e x) sin xdx e e2 e f)  (lnx)2 dx 0 1 1 g)  ln(1 x )dx 2 ln2 2+ 2 e2 1 2 j)  e x sin xdx 0 2 0 122) Chứng minh rằng: 2 2 a)  f (sinx)dx f (cosx)dx Hd: x= t 0 0 2 b b b)  f (x)dx f (b x)dx Hd: x=b t 0 0 a 2 1a c)  x3f (x2 )dx xf(x)dx (a>0) Hd: t=x2 0 20 2 2 d)  f (tgx)dx f (cotgx)dx Hd: x= t 0 0 2 2 x.sinx e)  xf(sinx)dx f (sinx)dx . Áp dụng, tính:  dx 0 0 01 cos2 x Hướng dẫn: Lần 1, đặt x=   t. Lần 2, để tính  f (sinx)dx ta đặt x= +s và kết  2 2 x.sinx sinx 2 quả bài 118a). Tính  dx =    dx , đặt t=cosx, kq:  0 1 cos x 0 1 cos x 2 2 4 123)  Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [ a;a] (a>0)  a a thì:  f (x)dx 2 f (x)dx . Hd: t= x a 0 124)  Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [ a;a] (a>0) thì:  a f (x)dx 0 . Hd: t= x a
  18. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều  Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  19    ­    Soạn cho lớp LTĐH 8 125)  Chứng minh rằng:  x sin xdx 0 . Áp dụng bài 124). 6 7 8 1 1 126)  Chứng minh rằng:  e dx 2 e dx. Áp dụng bài 123). cosx cosx 1 0 x x 127)  Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì:  f (t)dt f (t)dt. Hd: t= x a a a 128) Chứng minh rằng  sinx.f (cosx)dx 0 . Áp dụng bài 124) a a a 129) Chứng minh rằng  cosx.f (x )dx 2 cosx.f (x )dx . Áp dụng bài 123). 2 2 a 0 1 1 130) Chứng minh rằng  x (1 x) dx xn (1 x)m dx . Hd:x=1 t m n 0 0 131) Tính các tích phân sau: Tích phân Kết quả 2 a) ln(x x2 1)dx Hs lẻ: 0 2 2 x sinx (1 3) b) dx 6 1 cosx 6 2 15 ln 2 lnx c) dx 256 64 1 x 5 ln 2 e d)  x.e dx x ln 2 0 e 2(e 1) e)  | ln x | dx e 1 e e ln 1 x3 2 f) dx 0 x2 1 2 6 g) 6 1- cosx.sinxdx 7 0
  19. Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  20    ­    Soạn cho lớp LTĐH Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều  Tích phaân Keát quaû ln 3 e dx x 2 1 h)  0 (e x 1) 3 0 3 4 k)  x(e2x 3 x 1)dx 4e2 7 1 4 x 1 l)  dx ( ln 2) 0 1 cos2x 4 2 m)  1 2sin x dx 4 2 ln 2 0 1 sin2x 2 3 1 5 dx ln n) 4 3 5 x x2 4 2 1 3 2 15 o)  x 1- x dx 0 ln 5 e2x 20 p) dx 3 ln 2 ex 1 2 1 q) | x - x |dx   2 0 1 1 u=x2, dv=?. x2 2 r) x e dx 3 0 1 2 (e 3) e x 2 1 4 s) .lnxdx l x 1 132) Cho In = x e .dx(n  N) n x 0 a) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In 1 (n≥1) 1 b) Áp dụng tính I3 =  x e .dx . 3 x Kết quả: 6 2e 0 4 133) Cho In = tgn x.dx (n  N ) 0 a) Chứng minh rằng In > In+1. Hd: In>In+1, x (0; )  4
  20. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều  Giáo trình Giải tích 12      ­    Trang  21    ­    Soạn cho lớp LTĐH b) Tìm hệ thức liên hệ giữa In+2 và In. 4 1 1 Hướng dẫn: In+2 = tgn x( 1).dx    In + In+2= . 0 cos x 2 n 1 134) Tính In = cos x. cosnx.dx(nỴ N ) n 0 u cosn x 1 1 Hướng dẫn: đặt  , tìm được In=  In 1=…= n 1  I1= n . dv cosnx.dx 2 2 2 2 135) Tính In = cosn x.dx (nỴ N ) 0 u cosn 1 x n 1 Hướng dẫn: đặt  , tìm được In=  In 2. dv cosx.dx n Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận : 1.3....(n 1) n=2k ( n chẵn): In= . 2.4...n 2 2.4....(n 1) n=2k+1 ( n lẻ): In= 3.5...n 2 136) Cho In = sinn x.dx (nỴ N ) 0 n 1 a) Chứng minh rằng In+2 =  In. n 2 b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).In.In+1 là hàm hằng. c) Tính In. Hướng dẫn:  u sinn 1 x  a) Đặt  dv sinx.dx b) Chứng minh f(n+1)=f(n)  f(n)=…=f(0)= 2 c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận : 1.3....(2k 1) n=2k ( n chẵn): I2k= . 2.4...2k 2 2.4...2k n=2k+1 ( n lẻ): I2k+1= 3.5...(2k 1)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2