Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài 1. Véc Tơ-Định nghĩa Véc tơ
1
Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880
1
VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN
A. LÍ THUYẾT
I. Định nghĩa:
1. Vectơ
là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm
mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm
nào là điểm cuối.
Vectơ có điểm đầu (gốc) là
A
, điểm cuối (ngọn) là
B
ta
kí hiệu :
Hướng từ gốc đến ngọn gọi là hướng của véctơ.
Độ dài đoạn thẳng
gọi là độ dài véc tơ
, kí hiệu
AB
. Vậy
AB AB
.
Ví dụ 1. ở hình vẽ bên thì vectơ
có
Điểm gốc là
A
.
Điểm ngọn là
B
.
Phương (giá) là đường thẳng
.AB
Hướng từ
A
đến
.B
Độ dài ( môđun) là
.AB
2. Nhận xét: Vectơ còn được kí hiệu là:
, , , ,...a b x y
Vectơ – không, kí hiệu là
0 ...AA BB FF
là vectơ có :
① Điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
② Độ dài bằng
0.
③ Hướng bất kỳ
II. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.
1. Giá của vec tơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ.
2. Hai vectơ cùng phương
là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau (chúng cùng nằm trên
một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song).
Ví dụ 2.
⋆ Từ hình vẽ trên ta thấy hai véctơ
AB
và
CD
có giá nằm trên một đường thẳng(trùng) nên
chúng cùng phương.
⋆ Từ hình vẽ trên ta thấy hai véctơ
QP
và
MN
có giá song song nên chúng cùng phương.
Nhận xét:
AB
cùng phương với
CD
khi và chỉ khi
AB CD
hoặc bốn điểm
, , ,A B C D
thẳng hàng.
3. Hướng của hai véc tơ : Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Ví dụ 3: Ở hình vẽ dưới thì hai vectơ
và
cùng hướng còn
và
HG
ngược hướng.
Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ.
3. Hai vectơ bằng nhau
A
B
§BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÉC TƠ VÀ TỔNG HIỆU HAI VÉC TƠ
Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài 1. Véc Tơ-Định nghĩa Véc tơ
2
Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng
hướng và cùng độ dài.
Kí hiệu:
,AB DC cung huong
AB DC AB DC

Véc tơ
0
cùng hướng với mọi véc tơ và có độ lớn bằng
0
.
Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược
hướng và cùng độ dài.
Kí hiệu:
,AB CD nguoc huong
AB CD AB CD
B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA.
Dạng 1. XÁC ĐỊNH MỘT VÉC TƠ, PHƯƠNG, HƯỚNG, ĐỘ DÀI
1. Phương pháp.
Để xác định một vectơ ta cần 2 điểm
A
và
.B
Cứ hai điểm
A
và
B
ta xác định được hai véc tơ đối nhau là
AB
và
BA
.
Nhận xét: cứ
n
điểm phân biệt có
1nn
véctơ khác véctơ-không được tạo thành từ các
điểm đó.
Sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ ta áp dụng theo định nghĩa.
Dựa vào các tính chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ.
Tính chất hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình tam giác…
Áp dụng định lý Pytago, hệ thức lượng…
2. Bài tập minh họa.
Bài tập 1. Cho tứ giác
ABCD
. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là
đỉnh của tứ giác.
Lời giải
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
Bài tập 2. Cho tam giác
ABC
. Gọi
,,M N P
lần lượt là trung điểm của
,,BC CA AB
.
a). Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng phương với
MN
có điểm đầu và điểm cuối lấy
trong điểm đã cho.
b). Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với
có điểm đầu và điểm cuối lấy
trong điểm đã cho.
c). Vẽ các vectơ bằng vectơ
mà có điểm đầu
,AB
.
Lời giải (Hình 1.4)
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
B
D
C
A
B
D
A
C
Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài 1. Véc Tơ-Định nghĩa Véc tơ
3
Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
Bài tập 3. Cho hình vuông
ABCD
tâm
O
cạnh
a
. Gọi
M
là trung điểm của
,
N
là điểm đối
xứng với
C
qua
D
. Hãy tính độ dài của vectơ sau
MD
,
MN
.
Lời giải (hình 1.5)
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
Bài tập 4. Chứng minh ba điểm
,,A B C
phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi hai véc tơ
,AB AC
cùng phương.
Lời giải
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
3. Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho ngũ giác
ABCDE
. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là
đỉnh của ngũ giác.
Lời giải
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài 1. Véc Tơ-Định nghĩa Véc tơ
4
Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
Bài 2. Cho hình bình hành
ABCD
có tâm là
O
. Tìm các vectơ từ 5 điểm
, , , ,A B C D O
.
a). Bằng vectơ
;
.OB
b). Có độ dài bằng
OB
.
Lời giải
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
Bài 3. Cho ba điểm
,,A B C
phân biệt thẳng hàng.
a). Khi nào thì hai vectơ
và
AC
cùng hướng ?
b). Khi nào thì hai vectơ
và
AC
ngược hướng ?
Lời giải
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
Bài 4. Cho bốn điểm
, , ,A B C D
phân biệt.
a). Nếu
AB BC
thì có nhận xét gì về ba điểm
,,.A B C
b). Nếu
AB DC
thì có nhận xét gì về bốn điểm
, , ,A B C D
.
Lời giải
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
Bài 5. Cho hình thoi
ABCD
có tâm
O
. Hãy cho biết khẳng định nào sau đây đúng ?
a).
AB BC
b).
AB DC
c).
OA OC
d).
OB OA
e).
AB BC
f).
2OA BD
.
Lời giải
Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài 1. Véc Tơ-Định nghĩa Véc tơ
5
Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
Bài 6. Cho lục giác đều
ABCDEF
tâm
O
. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm
cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho
a). Bằng với
b). Ngược hướng với
OC
.
Lời giải
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
Bài 7. Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
, tâm
O
và M là trung điểm AB.
Tính độ dài của các vectơ
, , , , AB AC OA OM OA OB
.
Lời giải
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................