Báo cáo nghiệm thu: Đề tài khoa học cấp cơ sở Độ đo

Bộ Giáo dục và Đào tạo Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh ------oooOOOooo------ Báo cáo nghiệm thu đề tài khoa học cấp cơ sở

ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN VÀ DUNG LƯỢNG Mã số: CS.2007.19.04 Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Đậu Thế Cấp

TP Hồ Chí Minh – 2008

I. Giới thiệu đề tài

Lý thuyết Độ đo và Tích phân có nhiều ứng dụng không chỉ trong Giải tích Toán học mà còn trong nhiều ngành Toán học khác đặc biệt là trong Xác suất – Thống kê. Vì lý do đó, Độ đo và Tích phân là một môn học quan trọng của sinh viên ngành toán.

Là một môn học khó nhưng tài liệu tiếng Việt để học tập môn Độ đo - Tích phân không nhiều, tài liệu bài tập để tham khảo lại còn hiếm hơn. Từ thực tế đó, mục đích chính của đề tài này là biên soạn một quyển sách về Độ đo và Tích phân có thể sử dụng làm giáo trình giảng dạy cho sinh viên, tham khảo cho học viên cao học. Quyển sách đã được Nhà xuất bản Giáo dục phát hành rộng rãi, phục vụ bạn đọc toàn quốc.

Quyển sách Độ đo và Tích phân cũng có thể coi là kiến thức chuẩn bị để nghiên cứu về Dung lượng, một biến dạng của Độ đo. Trong khuôn khổ đề tài, chúng tôi đã nghiên cứu dung lượng trong không gian tôpô tổng quát, đóng góp mới của chúng tôi là đưa ra và khảo sát khá triệt để dung lượng có giá trị rời rạc. Kết quả này đã viết thành một bài báo đã được nhận đăng ở tạp chí Khoa học, trường Đại học Sư phạm TP.Hồ chí Minh. Chúng tôi đang bổ sung thêm để gửi công bố ở một tạp chí chuyên ngành.

Liên quan đến đề tài, chúng tôi đã hướng dẫn hai học viên cao học làm luận văn tốt nghiệp, một người đã bảo vệ, người còn lại sẽ bảo vệ vào tháng 9/2008.

Đề tài đã thực hiện đúng tiến độ và các chỉ tiêu đăng ký.

II. Các kết quả đã thực hiện

§1. Các sản phẩm

1. Giáo trình “Độ đo và Tích phân” Giáo trình có ba chương: Chương 1: Độ đo; Chương 2: Tích

phân; Chương 3: Các vấn đề bổ sung.

Giáo trình đã trình bày các vấn đề lý thuyết cơ bản của Độ đo

và Tích phân với chứng minh đầy đủ và ngắn gọn.

Giáo trình có phần bài tập chọn lọc gồm 95 bài, có hướng dẫn

giải tương đương với một quyển sách bài tập.

Giáo trình đã được Nhà Xuất bản Giáo dục ấn hành, gồm 164

trang khổ 14.3×20.3 cm.

2. Bài báo “ Dung lượng trong không gian tôpô” (Capacities in

topological spaces)

Bài báo này có sự cộng tác của Th.S.Bùi Đình Thắng, trường

Đại học Sài Gòn.

Bài báo trình bày lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff tổng quát. Phần dung lượng có giá trị rời rạc trong bài toán theo chúng tôi là mới và có ý nghĩa. Công việc tiếp theo của chúng tôi là khảo sát tích phân Choquet theo dung lượng có giá trị rời rạc. Bài báo gồm 10 trang đã được nhận đăng ở Tạp chí Khoa học

Tự nhiên trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh.

3.Luận văn thạc sỹ Theo hướng đề tài chúng tôi đã hướng dẫn hai luận văn cao

học

1) Định lý giới hạn trung tâm và ứng dụng trong Xác suất – Thống kê, của học viên cao học Nguyễn Đình Uông, đã bảo vệ tại trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh, đã bảo vệ năm 2007.

Luận văn đã sử dụng biến đổi Fourier và biến diễn tích phân để chứng minh định lý giới hạn trung tâm tổng quát. Sau đó luận văn trình bày các ứng dụng của định lý trong Xác suất – Thống kê cả trong lý thuyết cũng như các vấn đề cụ thể.

2) Lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô, của học viên cao học Phan Phụng Hiệp, sẽ bảo vệ tại trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh trong năm 2008.

Luận văn trình bày lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô, định nghĩa tích phân Choquet theo dung lượng. Chứng minh n¡ . Cho nhiều kết quả về các định lý tương tự dung lượng trong dung lượng có giá trị hữu hạn, dung lượng đặc trưng và tích phân Choquet theo chúng. §2. Địa chỉ ứng dụng

Giáo trình Độ đo và Tích phân đã được phát hành và được

đông đảo bạn đọc đón nhận.

Chương 1 và chương 2 của giáo trình này có thể làm tài liệu giảng dạy cho sinh viên ngành toán, chương 3 của giáo trình này có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học.

Bài báo “ Dung lượng trong không gian tôpô ” có thể làm tiền

đề để nghiên cứu tiếp về dung lượng theo hướng đó.

III. Các văn bản

1. Trang bìa, lời nói đầu, mục lục của sách “Độ đo và Tích

phân”. 2. Toàn văn bài báo “ Dung lượng trong không gian tôpô ” sẽ in ở Tạp chí Khoa học Tự nhiên trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, số 14(48).

3. Thuyết minh đề tài khoa học và công nghệ cấp trường.

DUNG L(cid:215)(cid:209)NG TRONG KH˘NG GIAN T˘P˘

Dau The Capa 1, Bui Dinh Thangb aUniversity of Pedagogy of HoChiMinh city, HoChiMinh city, VietNam. b SaiGon University, HoChiMinh city, VietNam.

Abstract.

In this note we introduce a notion of capacities in Hausdorff topological spaces, that generalizes the notion of capacity in IRn. The capacities for discrete support will also be investigated.

1 M(cid:240) (cid:31)ƒu

L(cid:254) thuy‚t dung l(cid:247)æng (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra b(cid:240)i G.Choquet [1] v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc ti‚p t(cid:246)c ph¡t tri”n b(cid:240)i nhi•u t¡c gi£ (xem t(cid:160)i li»u tham kh£o).

Dung l(cid:247)æng (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc x†t trong kh(cid:230)ng gian (cid:31)o (cid:31)(cid:247)æc b§t k(cid:253) nh(cid:247) l(cid:160) mºt kh¡i qu¡t cıa (cid:31)º (cid:31)o v(cid:160) gƒn (cid:31)¥y l(cid:160) trong IRn v(cid:238)i σ-(cid:31)⁄i sŁ Borel. Trong b(cid:160)i n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)(cid:247)a ra kh¡i ni»m dung l(cid:247)æng trong kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) Hausdorff tŒng qu¡t. Sau (cid:31)(cid:226) ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)¢ kh£o s¡t kh¡ tri»t (cid:31)” tr(cid:247)(cid:237)ng hæp dung l(cid:247)æng c(cid:226) gi¡ l(cid:160) t“p r(cid:237)i r⁄c. Trong IRn c(cid:244)ng m(cid:238)i x†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp dung l(cid:247)æng c(cid:226) gi¡ hœu h⁄n (xem [9]), do (cid:31)(cid:226) k‚t qu£ cıa ch(cid:243)ng t(cid:230)i l(cid:160) m(cid:238)i c£ trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp kh(cid:230)ng gian l(cid:160) IRn.

2 Dung l(cid:247)æng trong kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230)

Trong suŁt b(cid:160)i n(cid:160)y ta k(cid:254) hi»u X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) Hausdorff. K(X), F(X), G(X), B(X) theo thø t(cid:252) l(cid:160) h(cid:229) c¡c t“p con compact, t“p con (cid:31)(cid:226)ng, t“p con m(cid:240) v(cid:160) t“p con Borel cıa X. Ta c(cid:226)

K(X) ⊂ F(X) ⊂ F(X) ∪ G(X) ⊂ B(X)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1. H(cid:160)m t“p T : B(X) |→ [0; +∞) g(cid:229)i l(cid:160) mºt dung l(cid:247)æng tr¶n X n‚u th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n sau

1Corresponding author.

E-mail addresses: dauthecap@yahoo.com (Dau The Cap), buidinhthang1975@yahoo.com.vn (Bui Dinh Thang).

(C1) T (∅) = 0.

n \

T (

(−1)#I+1T (

Ai) ≤

Ai)

i=1

i∈I

I ∈ I(n)

(C2) T (cid:31)an d§u c§p hœu h⁄n, tøc l(cid:160) v(cid:238)i c¡c t“p A1, A2, . . . An ∈ B(X), n ≥ 2, (cid:31)•u c(cid:226) X [ (2.1)

trong (cid:31)(cid:226) I(n) = {I : I ⊂ {1, . . . n}, I 6= ∅}, #I l(cid:160) sŁ phƒn tß cıa t“p I.

(C3) T (A) = sup{T (C) : C ∈ K(X), C ⊂ A} v(cid:238)i m(cid:229)i A ∈ B(X).

(C4) T (A) = inf{T (G) : G ∈ G(X), G ⊃ C} v(cid:238)i m(cid:229)i C ∈ K(X).

BŒ (cid:31)• 2.1. Cho µ : M |→ [0; +∞) l(cid:160) mºt h(cid:160)m t“p th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)¥y: V(cid:238)i m(cid:229)i A, B ∈ M

K(cid:254) hi»u M l(cid:160) mºt σ-(cid:31)⁄i sŁ tr¶n X.

(2.2)

Khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i h(cid:229) c¡c t“p A1, . . . An ∈ M, n ≥ 2 ta (cid:31)•u c(cid:226)

n [

[

µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∪ B).

(2.3)

i=1

i∈I

µ( (−1)#I+1µ( Ai) = Ai).

Chøng minh. Ta chøng minh b‹ng qui n⁄p theo n. Theo gi£ thi‚t (2.2) ta c(cid:226) (2.3) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i n = 2. Gi£ sß (2.3) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i n ≥ 2, ta s‡ chøng minh n(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i n + 1. K(cid:254) hi»u

I ∈ I(n)

(cid:240) (cid:31)¥y (In, n + 1) = {I ∪ {n + 1} : I ∈ I(n)}. (cid:30)(cid:176)t A =

I(n + 1) = I(n) ∪ {n + 1} ∪ (In, n + 1),

n T i=1

Ai. Theo gi£ thi‚t

n+1 \

qui n⁄p ta c(cid:226)

µ(

Ai) = µ(A

An+1)

i=1

= µ(A) + µ(An+1) − µ(A

An+1)

[

n \

= µ(A) + µ(An+1) − µ

Ai)

An+1

n \

! [

= µ(

Ai) + µ(An+1) − µ(

(Ai ∪ An+1))

i=1

i=1 X

( i=1 n \

(−1)#I+1µ(

Ai) + µ(An+1) −

Ai)

i∈I

i∈I 0

X [ [

I ∈ I(n)

[

i∈I

I ∈ I(n) X = (−1)#I+1µ( Ai) + µ(An+1)

[

I ∈ I(n)

i∈I 0

+ (−1)#I 0+1µ( Ai)

[

I 0 ∈ (I(n), n + 1)

i∈I

= (−1)#I+1µ( Ai),

trong (cid:31)(cid:226) I 0 = I ∪ {n + 1}, I ∈ I(n). V“y (2.3) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i n + 1.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.2. Mºt (cid:31)º (cid:31)o µ tr¶n B(X) g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)º (cid:31)o Borel ch‰nh qui n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i E ∈ B(X) (cid:31)•u c(cid:226)

1. µ(E) = inf{µ(U ) : U ∈ G(X), U ⊃ E};

I ∈ I(n + 1)

2. µ(E) = sup{µ(C) : C ∈ K(X), C ⊂ E}.

Tł bŒ (cid:31)• 2.1 v(cid:160) t‰nh ch‰nh qui cıa (cid:31)º (cid:31)o Lebesgue tr¶n IRn ta c(cid:226)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1. a) H(cid:160)m t“p µ : B(X) |→ [0, +∞) tho£ m¢n (C1), (C3), (C4) v(cid:160) (2.2) l(cid:160) mºt dung l(cid:247)æng tr¶n X.

b) M(cid:229)i (cid:31)º (cid:31)o ch‰nh qui tr¶n B(X) (cid:31)•u l(cid:160) dung l(cid:247)æng tr¶n X. (cid:30)(cid:176)c bi»t (cid:31)º (cid:31)o Lebesgue m tr¶n B(IRn) l(cid:160) dung l(cid:247)æng tr¶n IRn.

T (A ∪ B) = max{T (A), T (B)}

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.3. H(cid:160)m t“p T : M |→ [0, +∞) g(cid:229)i l(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)⁄i n‚u

v(cid:238)i m(cid:229)i A, B ∈ M.

BŒ (cid:31)• 2.2. N‚u T l(cid:160) h(cid:160)m t“p c(cid:252)c (cid:31)⁄i th… m(cid:229)i h(cid:229) A1, . . . An ∈ M ta (cid:31)•u c(cid:226)

(−1)#I+1T (

Ai) = min{T (Ai) : 1 ≤ i ≤ n}

i∈I

I ∈ I(n)

X [

Chøng minh. Ta chøng minh b‹ng qui n⁄p theo n. V(cid:238)i m(cid:229)i A1, A2 ∈ M ta c(cid:226)

T (A1) + T (A2) − T (A1 ∪ A2) = T (A1) + T (A2) − max{T (A1), T (A2)}

tøc l(cid:160) khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i n = 2. Gi£ sß khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i n ≥ 2. V(cid:238)i m(cid:229)i h(cid:229) A1, . . . An+1 ∈ M, kh(cid:230)ng m§t tŒng qu¡t ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t

= min{T (A1), T (A2)},

T (A1) = min{T (Ai) : 1 ≤ i ≤ n + 1}

B(cid:240)i gi£ thi‚t qui n⁄p ta c(cid:226)

[

T (An+1) = max{T (Ai) : 1 ≤ i ≤ n + 1}.

i∈I

(−1)#I+1T ( (−1)#I+1T ( Ai) = Ai) + T (An+1)

[

I ∈ I(n + 1) I ∈ I(n)

i∈I 0

(−1)#I 0+1T ( + Ai)

I 0 ∈ (In, n + 1) = T (A1) + T (An+1)

n − · · · + (−1)nC n

n )T (An+1)

n + C 2 = T (A1) + (1 − 1)nT (An+1) = T (A1).

+(−C 1

V“y khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i n + 1.

Tł bŒ (cid:31)• 2.2 ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.4. H(cid:160)m t“p T : B(X) |→ [0, +∞) g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)º (cid:31)o c(cid:252)c (cid:31)⁄i n‚u n(cid:226) l(cid:160) h(cid:160)m t“p c(cid:252)c (cid:31)⁄i v(cid:160) th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n (C1), (C3), (C4).

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2. M(cid:229)i (cid:31)º (cid:31)o c(cid:252)c (cid:31)⁄i tr¶n X l(cid:160) dung l(cid:247)æng tr¶n X.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3. Cho T l(cid:160) mºt dung l(cid:247)æng tr¶n X. Khi (cid:31)(cid:226)

T (B).

a) T l(cid:160) h(cid:160)m t“p kh(cid:230)ng gi£m, tøc l(cid:160) m(cid:229)i A, B ∈ B(X), A ⊂ B th… T (A) ≤

T (A) + T (B) ≥ T (A ∪ B).

b) V(cid:238)i m(cid:229)i A, B ∈ B(X), A ∩ B = ∅ (cid:31)•u c(cid:226)

T (A) = sup{T (C) : C ⊂ A, C ∈ K(X)} ≤ sup{T (C) : C ⊂ B, C ∈ K(X)} = T (B).

b) 0 = T (A ∩ B) ≤ T (A) + T (B) − T (A ∪ B). Do (cid:31)(cid:226) T (A) + T (B) ≥ T (A ∪ B).

H» qu£ 2.1. N‚u A, B ∈ B(X) v(cid:160) T (A) = 0 th… T (A ∪ B) = T (B).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.5. Ta g(cid:229)i gi¡ cıa dung l(cid:247)æng T , k(cid:254) hi»u supp T l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng S nh(cid:228) nh§t cıa X sao cho

Chøng minh. a) Theo (C3)

H» qu£ 2.2. V(cid:238)i m(cid:229)i dung l(cid:247)æng T tr¶n X ta c(cid:226)

a) T (supp T ) ≥ T (B) ∀B ∈ B(X)

b) T (supp T ) = T (X).

Chøng minh. a) (cid:30)(cid:176)t A = B \ supp T , ta c(cid:226) A ⊂ X \ supp T n¶n T (A) = 0.

T (X \ S) = 0.

T (B) = T (B ∩ supp T ) ≤ T (supp T ).

V… B = A ∪ (B ∩ supp T ) n¶n theo h» qu£ 2.1

T (X). V“y T (supp T ) = T (X).

b) Theo a) ta c(cid:226) T (supp T ) ≥ T (X) v(cid:160) do t‰nh kh(cid:230)ng gi£m n¶n T (supp T ) ≤

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.6. Mºt dung l(cid:247)æng T tr¶n X g(cid:229)i l(cid:160) dung l(cid:247)æng x¡c su§t n‚u T (supp T ) = T (X) = 1.

3 Dung l(cid:247)æng c(cid:226) gi¡ r(cid:237)i r⁄c

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 3.1. T“p con D cıa X g(cid:229)i l(cid:160) r(cid:237)i r⁄c n‚u m(cid:229)i x ∈ D, t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n m(cid:240) Ux cıa x trong X sao cho D ∩ Ux = {x}.

BŒ (cid:31)• 3.1. Cho D l(cid:160) t“p con (cid:31)(cid:226)ng, r(cid:237)i r⁄c cıa X. Khi (cid:31)(cid:226)

a) M(cid:229)i t“p con cıa D (cid:31)(cid:226)ng trong X.

b) T“p con cıa D l(cid:160) compact n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u n(cid:226) l(cid:160) t“p con hœu h⁄n.

Chøng minh. a) A ⊂ D th… A (cid:31)(cid:226)ng trong D. V… D (cid:31)(cid:226)ng trong X n¶n A (cid:31)(cid:226)ng trong X.

kh(cid:230)ng compact trong X.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 3.2. H(cid:229) sŁ th(cid:252)c kh(cid:230)ng ¥m {ti}, i ∈ I g(cid:229)i l(cid:160) kh£ tŒng v(cid:160) c(cid:226) tŒng b‹ng s n‚u

b) N‚u C l(cid:160) t“p con v(cid:230) h⁄n cıa D th… C kh(cid:230)ng compact trong D do (cid:31)(cid:226) c(cid:244)ng

ti = sup{ ti, J ⊂ I, #J < +∞} = s < +∞.

BŒ (cid:31)• 3.2. N‚u

i ∈ I i ∈ J

ti < +∞ th… t“p I0 = {i ∈ I : ti > 0} l(cid:160) (cid:31)‚m (cid:31)(cid:247)æc.

i ∈ I

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t An = {i ∈ I0 : ti >

∞ [

}. Ta c(cid:226) 1 n

n=1

I0 = An

v(cid:230) h⁄n. Khi (cid:31)(cid:226) N‚u I0 kh(cid:230)ng (cid:31)‚m (cid:31)(cid:247)æc th… t(cid:231)n t⁄i n0 sao cho An0

ti =

ti ≥

ti = +∞.

i ∈ I

i ∈ An0

X X X

BŒ (cid:31)• 3.3. N‚u µ : B(X) |→ [0, +∞) l(cid:160) dung l(cid:247)æng (cid:31)º (cid:31)o, c(cid:226) gi¡ l(cid:160) t“p r(cid:237)i r⁄c D th… D l(cid:160) t“p (cid:31)‚m (cid:31)(cid:247)æc.

Chøng minh. M(cid:229)i x ∈ D (cid:31)•u c(cid:226) µ({x}) > 0 v… n‚u t(cid:231)n t⁄i x ∈ D, µ({x}) = 0 th… D0 = D \ {x} l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng ( bŒ (cid:31)• 3.1 ) v(cid:160) µ(X \ D0) = 0, m¥u thu¤n v(cid:238)i D l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng nh(cid:228) nh§t c(cid:226) t‰nh ch§t n(cid:160)y. M(cid:229)i t“p hœu h⁄n A ⊂ D

µ(A) =

µ({x}) ≤ µ(D) < +∞

x ∈ A

µ({x}) < +∞. Tł (cid:31)(cid:226) theo bŒ (cid:31)• 3.2, D (cid:31)‚m (cid:31)(cid:247)æc.

x ∈ D

X n¶n

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 3.3. Cho T l(cid:160) mºt dung l(cid:247)æng tr¶n X c(cid:226) gi¡ l(cid:160) t“p r(cid:237)i r⁄c D. (cid:30)(cid:176)t tx = T ({x}) v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ D, ta g(cid:229)i T∞ v(cid:160) T1 l(cid:160) c¡c h(cid:160)m tr¶n B(X) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

T∞(A) =

n‚u A ∩ D = ∅,

( sup{tx : x ∈ A ∩ D} n‚u A ∩ D 6= ∅

tx n‚u A ∩ D 6= ∅

T1(A) = x ∈ A ∩ D

n‚u A ∩ D = ∅.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1. Cho T l(cid:160) mºt dung l(cid:247)æng tr¶n X c(cid:226) gi¡ l(cid:160) t“p r(cid:237)i r⁄c D. Khi (cid:31)(cid:226) T∞ l(cid:160) dung l(cid:247)æng tr¶n X v(cid:160)

v(cid:238)i m(cid:229)i A ∈ B(X)

0    0

(cid:18)

(cid:19)

T∞(A) ≤ T (A)

Chøng minh. Hi”n nhi¶n T∞ th(cid:228)a m¢n (C1), (C3). V(cid:238)i m(cid:229)i C ∈ K(X), S(X \ D) l(cid:160) t“p m(cid:240) chøa C, T∞(C) = T∞(C ∩ D) =

S x∈C∩D

G = Ux

T∞(G ∩ D) = T∞(G) n¶n c(cid:226) (C4). (cid:30)” chøng minh T∞ th(cid:228)a m¢n (C2), theo bŒ (cid:31)• 2.2 ta s‡ chøng minh T∞ l(cid:160) h(cid:160)m c(cid:252)c (cid:31)⁄i. Th“t v“y, m(cid:229)i A, B ∈ B(X) (cid:31)•u c(cid:226)

= max{sup{tx : x ∈ A ∩ D}, sup{tx : x ∈ B ∩ D}} = max{T∞(A), T∞(B)}

T∞(A ∪ B) = sup{tx : x ∈ (A ∪ B) ∩ D}

T∞(A) = sup{tx : x ∈ A ∩ D}

= sup{T ({x}) : x ∈ A ∩ D} ≤ T (A)

CuŁi c(cid:242)ng, m(cid:229)i A ∈ B(X)

H» qu£ 3.1. Cho D l(cid:160) mºt t“p r(cid:237)i r⁄c trong X, mØi x ∈ D ch(cid:229)n mºt gi¡ tr(cid:224) dx > 0. V(cid:238)i m(cid:229)i A ∈ B(X) (cid:31)(cid:176)t

T (A) =

n‚u A ∩ D 6= ∅ ( sup{dx : x ∈ A ∩ D}

n‚u A ∩ D 6= ∅.

Khi (cid:31)(cid:226) T l(cid:160) dung l(cid:247)æng n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u sup{dx : x ∈ D} < ∞. V(cid:238)i dung l(cid:247)æng n(cid:160)y ta c(cid:226) T = T∞.

tx < ∞. V(cid:238)i m(cid:229)i A ∈ B(X)

x ∈ D

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2. Cho T l(cid:160) mºt dung l(cid:247)æng c(cid:226) gi¡ l(cid:160) t“p r(cid:237)i r⁄c D. Khi (cid:31)(cid:226) T1 l(cid:160) X dung l(cid:247)æng n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u D (cid:31)‚m (cid:31)(cid:247)æc v(cid:160)

T (A) ≤ T1(A).

Chøng minh. N‚u T1 l(cid:160) dung l(cid:247)æng th… T1(D) =

ta c(cid:226)

tx < ∞ v(cid:160) theo bŒ

(cid:31)• 3.2, D (cid:31)‚m (cid:31)(cid:247)æc. Ng(cid:247)æc l⁄i hi”n nhi¶n T1 th(cid:228)a m¢n (C1), (C3). V(cid:238)i m(cid:229)i C ∈ K(X), do

[

x ∈ D

x∈C∩D

l(cid:160) m(cid:240) chøa C v(cid:160)

G = (X \ D) Ux

n¶n T th(cid:228)a m¢n (C4).

V(cid:238)i m(cid:229)i A, B ∈ B(X) ta c(cid:226)

T1(C) = T1(C ∩ D) = T1(G ∩ D) = T1(G)

T1(A ∪ B) = tx

x ∈ (A ∪ B) ∩ D

tx +

tx −

x ∈ A ∩ D

x ∈ B ∩ D

x ∈ A ∩ B ∩ D

= T1(A) + T1(B) − T1(A ∩ B).

X X X

V“y T1 th(cid:228)a m¢n (2.1) v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) l(cid:160) mºt dung l(cid:247)æng theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1. V(cid:238)i m(cid:229)i a, b ∈ D, a 6= b theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3 b)

T ({a, b}) ≤ T ({a}) + T ({b})

tł (cid:31)(cid:226) ti‚p t(cid:246)c sß d(cid:246)ng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3 b) v(cid:160) qui n⁄p theo sŁ phƒn tß cıa C ta c(cid:226)

T (C) ≤

T ({x}) = T1(C)

x ∈ C

T (A) = T (A ∩ D)

= sup{T (C) : C ⊂ A ∩ D, C compact} (do C4) = sup{T (C) : C ⊂ A ∩ D, #C < ∞} (do bŒ (cid:31)• 3.1 b) ≤ sup{T1(C) : C ⊂ A ∩ D, #C < ∞} = T1(A ∩ D) = T1(A).

v(cid:238)i m(cid:229)i C ⊂ D, #C < ∞. B¥y gi(cid:237) v(cid:238)i m(cid:229)i A ∈ B(X) ta c(cid:226)

H» qu£ 3.2. N‚u T l(cid:160) dung l(cid:247)æng c(cid:226) gi¡ D l(cid:160) t“p r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)

T ({x}) <

x ∈ D ∞ th… T∞ v(cid:160) T1 l(cid:160) c¡c dung l(cid:247)æng v(cid:160)

v(cid:238)i m(cid:229)i A ∈ B(X).

H» qu£ 3.3. Cho D l(cid:160) t“p r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) (cid:31)(cid:226)ng trong X, v(cid:238)i mØi x ∈ D, ch(cid:229)n dx > 0. V(cid:238)i m(cid:229)i A ∈ B(X) (cid:31)(cid:176)t

n‚u A ∩ D 6= ∅

T∞(A) ≤ T (A) ≤ T1(A)

 



T (A) = x ∈ A ∩ D

n‚u A ∩ D = ∅.

dx <

x ∈ D

∞. V(cid:238)i dung l(cid:247)æng n(cid:160)y ta c(cid:226) T = T1.

X Khi (cid:31)(cid:226) T l(cid:160) dung l(cid:247)æng c(cid:226) gi¡ D n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u D (cid:31)‚m (cid:31)(cid:247)æc v(cid:160)

[1] G.Choquet, Theory of capacities, Ann.Inst.Fourier 5(1953-1954), 131-295. [2] S.Graf, A Radon-Nikodym theorem for capacities, J.Reine und Ange- wandte Mathematik 320(1980), 192-214. [3] P.J.Huber, The use of Choquet capacities in statistics, Bull.Internat.Statist. 45(1973), 181-191. [4] P.J.Huber, V.Strassen, Minimax test and Neyman-Pearson lemma for ca- paciti, Ann.Statist. 1(1973), 251-263. [5] N.T.Hung, N.T.Nhu, Tonghui Wang, On capacities functionals in inter- val probabilities, Inter.J.Uncertainty, Fuzziness and Knowleged-Based System 5(1997), 359-377. [6] N.T.Hung, B.Bouchon-Meunier, Random sets and large deviations prin- ciple as a foundation for possibility measures, Soft Computing 8(2003), 61-70. [7] J.B.Kodane, L.Wasserman, Symmetic coherent, Choquet capacities, Ann.Statist.24(1996), 1250-1264. [8] G.Matheron, Random sets and integral geometry, J.Wiley, 1975. [9] N.Nhuy, L.X.Son, Probability capacities in IRd and the Choquet integral for capacities, Acta.Math.Vietnam.29(2004), 41-56. [10] N.Nhuy, L.X.Son, The weak topology on the space of probability capaci- ties in IRd, Vietnam J.Math.33(2005), 241-251. [11] T.Norberg, Random capacities and their distributions, Prob.Theory Re- lat.Fields 73(1986), 281-297.

T(cid:160)i li»u tham kh£o