§Ò thi häc sinh giái khèi 6
M«n: to¸n Thßi gian 120 phót
§Ò bµi
Bµi 1: Chøng minh ( 210 + 211 + 212 ) chi hÕt cho 7
Bµi 2: ViÕt 7. 32 thµnh tæng 3 lòy thõa c¬ sè 2 víi c¸c sè mò lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp
Bµi 3: TÝnh A =
39
8
119
1
117
5
119
118
5.
117
4
119
1
117
1
3
Bµi 4: Cho biÓu thøc
A =
433
229
4
433
432
229
1
433
1
2
229
3
a)B»ng c¸ch ®Æt a=
229
1, b =
433
1
Rót gän biÓu thøc A theo a vµ b
b)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A
Bµi 5: Chøng minh r»ng (19 45 + 1930 ) chi hÕt cho 20
Bµi 6: T×m sè d khi chia 1963 1964 cho 7
Bµi 7: Mét xÝ nghiÖp ®· lµm mét sè dông cô trong 3 ®ît. §ît 1 ®· lµm ®îc
3
1 tæng sè
dông cô
§ît 2 lµm ®îc
4
1 tæng sè dông cô vµ lµm thªm 25 chiÕc. §ît 3 xÝ nghiÖp lµm nèt 25
dông cô.
TÝnh tæng sè dông cô.
§¸p ¸n to¸n 6
C©u 1: (3 ®iÓm)
Ch¬ng minh: ( 210 + 211 + 212 ) chi hÕt cho 7
Ta cã ( 210 + 211 + 212 ) = 2 10 (1 + 2 + 2 2 )
(1 ®)
mµ (1 + 2 + 2 2 ) chia hÕt cho 7
(1 ®)
do vËy 2 10 (1 + 2 + 2 2 ) chia hÕt cho 7. Do ®ã ( 210 + 211 + 212 ) chia hÕt cho 7
(1 ®)
C©u 2: (3 ®iÓm)
§Æt sè tù nhiªn thø nhÊt lµ a c¸c sè tiÕp theo lµ a + 1, a + 2
Ta cã: 7 . 32 = 2 a + 2 a+1 + 2 a+2 = 2a +2a 2 + 2a. 22 = 2a (1 + 2 + 22 ) = 2a 7
(1,5 ®)
®Ò sè 4
7. 32 = 2a 7 32 = 2a a = 5
(1 ®)
VËy 32 = 2 5 + 2 6 + 2 7
C©u 3: TÝnh A=
39
8
119
1
117
5
119
118
5.
117
4
119
1
117
1
.3
®Æt a =
117
1 , b =
119
1
(1 ®)
Ta cã:
39
8
119
1
117
5
119
118
5
117
4
119
1
117
1
3
= 3ab – 4a (5 + 1 - b) – 5ab +
39
8 (0,5 ®)
= 3ab – 24 a + 4ab – 5ab +
39
8 (0,5 ®)
= 2ab – 24a +
39
8 (0,5 ®)
Thay a =
117
1 , b =
119
1
ta cã A =
39
8
117
1
24
119
1
117
1
2
=
119
117
11924
119
117
11924
119
117
2
=
119
117
2
(0,5
®)
C©u 4: A =
433
229
4
433
432
229
1
433
1
2
229
3
a) ®Æt a=
229
1, b =
433
1
Ta cã: A = 3a(2 + b) – a (1 - b) – 4ab = 5a (1,5 ®)
b) A = 5a = 5
229
5
229
1 (1,5 ®)
C©u 5: Chøng minh r»ng (19 45 + 1930 ) chi hÕt cho 20
C¸ch 1: ta cã (19 45 + 1930 ) = 1930 (1915 +1) (1 ®)
Mµ (1915 +1) = BS (19 + 1) chia hÕt cho 20 (1 ®)
Do ®ã: 1930 (1915 +1) chia hÕt cho 20 (1 ®)
Nªn (19 45 + 1930 ) chia hÕt cho 20 (1 ®)
C©u 6: Ta thÊy 1963 chia cho 7 d 3
Do ®ã 19631964 = (BS 7 +3)1964 = BS 7 + 31964 (1 ®)
XÐt sè 31964 = 32. (33)654 = 9. (28 – 1 )654 = 9. (BS 7 + 1 ) = BS 7 + 2 (1,5®)
VËy 31964 chia cho 7 d 2 do ®ã 19631964 chia cho 7 d 2 (0,5 ®)
C©u 7: §Æt tæng sè dông cô xÝ nghiÖp s¶n xuÊt lµ a (0,5 ®)
Ta cã: a
3
1 +
a
4
1+ 15 + 25 = a (0,25
®)
a
3
1 +
a
4
1 + 40 = a
(0,25 ®)
a
3
1 +
a
4
1- a = -40
a ( 1
4
1
3
1 ) = - 40
a (
12
1234
) = - 40
(0,5 ®)
a
12
5
= - 40 a = (- 40): (
12
5
) =96 (0,5 ®)
§¸p sè: 96 dông cô