thi ¤-lim -pic huyÖn M«n To¸n Líp 6 N¨m häc 2007-2008
Bµi 1. Cho c¸c sè a, b, c. H·y chøng tá r»ng nÕu 4a + 5b + 7c chia hÕt cho 11 th× 5a
+ 9b + 6c còng chia hÕt cho 11 (4®iÓm)
Gi¶i: Theo bµi ra ta cã: (4a + 5b + 7c)
M
11 => 7(4a + 5b + 7c)
M
11
XÐt tæng: 28a + 35b + 49c + 5a + 9b + 6c = 11(3a + 4b + 5c)
M
11 => 5a + 9b + 6c
M
11
Bµi 2. Cho mét sè cã ba ch÷ sè mµ ch÷ sè cuèi lín h¬n ch÷ sè ®Çu. NÕu viÕt ch÷ sè
cuèi lªn tríc ch÷ sè ®Çu th× ®îc mét sè míi lín h¬n sè ®· cho lµ 783. T×m sè ®·
cho? (3®iÓm)
Gi¶i: Sè ®· cho biÓu diÔn díi d¹ng:
abc
Trong ®ã a, b, c
N;
(0 b, c 9); 0 a 9
Sè míi biÓu diÔn díi d¹ng:
cab
.
Ta cã: 100c + 10a + b – 100a – 10b – c = 783
=> 99c – 90a – 9b = 783 => 11c – 10a – b = 87 => 11c > 87 => c = 8 hoÆc c = 9
NÕu c = 8 => 10a + b = 1 => a = 0 (lo¹i).
NÕu c = 9 => 10a + b = 12 => a = 1, b = 2
Thö l¹i: 912 – 129 = 783. VËy sè ph¶i t×m lµ 129
Bµi 3. a) T×m x: 3 9 2
1 (3 x 5 ) : 7 0
(2®iÓm)
Gi¶i: 27 129 3
1 ( x ). 0
8 24 23
=> 27 129
( x ).3 23
8 24
=> 81 129
24
(x 2).3 23
=> 3x = 23 + 6 => x =
2
9
3
b)T×m tÊt c c¸c sè nguyªn a vµ b, sao cho ¦CLN (a, b) = 10, BCNN
a, b
= 100
(4®iÓm)
Gi¶i: Ta cã
ab
a, b a.b
(a, b)
 = 100.10 = 103. Gi¶ sö a = 10a,, b = 10b,, víi (a,, b, ) = 1
=> a,b, =10.
VËy
,
,
a 1
b 10
,
,
,
a 2
b 5
,
,
,
a 10
b 1
,
,
,
a 5
b 2
=>
a 10
b 100
,
a 20
b 50
,
a 50
b 20
,
a 100
b 10
Bµi 4. Chu vi cña mét h×nh ch÷ nhËt lµ 60m. NÕu gi¶m chiÒu dµi 10% cña nã vµ t¨ng
chiÒu réng 20% cña nã th× chu vi kh«ng ®æi. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt? (4
®iÓm)
Gi¶i: Tæng chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lµ 60 : 2 = 30 (m)
Tæng cña 0,9 chiÒu dµi vµ 1,2 chiÒu réng còng b»ng 30m, tøc 0,1 chiÒu dµi b»ng 0,2 chiÒu
réng.
®Ò sè 3
NghÜa lµ tû sè gi÷a chiÒu réng vµ chiÒu dµi cña h×nh ch÷ nhËt b»ng
0,1 1
0, 2 2
VËy:
ChiÒu dµi cña h×nh ch÷ nhËt lµ 30 : (1 + 2) . 2 = 20 (m)
ChiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lµ 30 – 20 = 10 (m)
DiÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt lµ 10 . 20 = 200 (m2)
Bµi 5. Cho tia Oc n»m gi÷a hai tia Oa vµ Ob, tia Om n»m gi÷a hai tia Oa vµ Oc, tia On
n»m gi÷a hai tia Oc vµ Ob. Chøng tá r»ng tia Oc n»m gi÷a hai tia Om vµ On (3®iÓm)
Gi¶i: Gäi n÷a mÆt ph¼ng bê Oc chøa tia Oa lµ P, n÷a mÆt ph¼ng ®èi cña nã lµ Q, nh vËy
tia Ob thuéc Q.
Tia Om n»m gi÷a hai tia Oa vµ Oc nªn c¸c tia Om, Oa thuéc cïng mét n÷a mÆt ph¼ng
cã bê Oc, do ®ã tia Om thuéc P.
Tia On n»m gi÷a hai tia Oc, Ob nªn c¸c tia On, Ob thuéc cïng mét n÷a mÆt ph¼ng cã bê
Oc, do ®ã tia On thuéc Q.
C¸c tia Om, On thuéc hai n÷a mÆt ph¼ng ®èi nhau cã bê Oc (1).
Ta l¹i cã
·
·
cOm cOa
(v× tia Om n»m gi÷a hai tia Oc vµ Oa),
·
·
cOn cOb
(v× tia On n»m gi÷a hai tia Oc vµ Ob)
nªn
·
·
·
· ·
0
cOm cOn cOa cOb aOb 180
,
tøc lµ
·
·
0
cOm cOn 180
(2). Tõ (1) vµ (2)
suy ra tia Oc n»m gi÷a hai tia Om vµ On
O a
m
c
n
b
P
Q