Chapter 4

Probability

McGraw­Hill/Irwin

Copyright © 2014 by The McGraw­Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Probability

4.1   Probability and Sample Spaces 4.2   Probability and Events 4.3   Some Elementary Probability Rules 4.4   Conditional Probability and

Independence

4.5 Bayes’ Theorem (Optional) 4.6 Counting Rules (Optional)

4­2

LO4-1: Define a probability and a sample space.

4.1 Probability and Sample Spaces

An experiment is any process of observation with

an uncertain outcome

The possible outcomes for an experiment are called

the experimental outcomes

Probability is a measure of the chance that an  experimental outcome will occur when an  experiment is carried out

The sample space of an experiment is the set of all

possible experimental outcomes

The experimental outcomes in the sample space are

called sample space outcomes

4­3

LO4-1

Probability

0 (cid:0)

1.

 

If E is an experimental outcome, then P(E)  denotes the probability that E will occur  and: Conditions  P(E) (cid:0)  1 such that: If E can never occur, then P(E) = 0 If E is certain to occur, then P(E) = 1

1. The probabilities of all the experimental

outcomes must sum to 1

4­4

LO4-1

Assigning Probabilities to Sample Space  Outcomes

1. Classical method

◦ For equally likely outcomes 1. Relative frequency method

◦ Using the long run relative frequency

1. Subjective method

◦ Assessment based on experience, expertise or

intuition

4­5

LO4-2: List the outcomes in a sample space and use the list to compute probabilities.

4.2 Probability and Events

An event is a set of sample space outcomes The probability of an event is the sum of

the probabilities of the sample space  outcomes

If all outcomes equally likely, the probability  of an event is just the ratio of the number of  outcomes that correspond to the event  divided by the total number of outcomes

4­6

LO4-3: Use elementary profitability rules to compute probabilities.

4.3 Some Elementary Probability Rules

1. Complement 2. Union

Intersection

3. 4. Addition 5. Conditional probability 6. Multiplication

4­7

LO4-4: Compute conditional probabilities and assess independence.

4.4 Conditional Probability and  Independence

The probability of an event A, given that the

event B has occurred, is called the  conditional probability of A given B ◦Denoted as P(A|B)

∩

Further, P(A|B) = P(A B) / P(B)

◦P(B) ≠ 0

4­8

LO4-5: Use Bayes’ Theorem to update prior probabilities to posterior probabilities (Optional).

4.5 Bayes’ Theorem

S1, S2, …, Sk represents k mutually exclusive  possible states of nature, one of which must  be true

P(S1), P(S2), …, P(Sk) represents the prior

probabilities of the k possible states of nature If E is a particular outcome of an experiment  designed to determine which is the true state  of nature, then the posterior (or revised)  probability of a state Si, given the  experimental outcome E, is calculated using  the formula on the next slide

4­9

LO4-5

Bayes’ Theorem Continued

i

i

i P(E)

(cid:0) P(S E) P(S ) (cid:0) P(S =|E) i

)P(E|S P(E)

i )P(E|S

P(S )P(E|S (cid:0)

k

k

2

1

2

4­10

) i )+ )P(E|S )+P(S ... +P(S )P(E|S ) P(S 1

LO4-6: Use elementary counting rules to compute probabilities (Optional).

4.6 Counting Rules (Optional)

A counting rule for multiple­step

experiments

(n1)(n2)…(nk)

A counting rule for combinations

N!/n!(N­n)!

4­11