Chapter 9

Hypothesis Testing

McGraw­Hill/Irwin

Copyright © 2014 by The McGraw­Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Hypothesis Testing

9.1 Null and Alternative Hypotheses and

Errors in Testing

9.2 z Tests about a Population Mean

σ Known

9.3 t Tests about a Population Mean

σ Unknown

9.4 z Tests about a Population Proportion 9.5 Type II Error Probabilities and Sample

Size Determination (Optional)

9­2

LO9-1: Specify appropriate null and alternative hypotheses.

9.1 Null and Alternative Hypotheses  and Errors in Hypothesis Testing Null hypothesis, H0, is a statement of the basic

convincing sample evidence that it is false Alternative hypothesis, Ha, is an alternative  accepted only if there is convincing sample  evidence it is true

proposition being tested ◦Represents the status quo and is not rejected unless there is

μ0 vs. Ha: μ > μ0

One­Sided, “Greater Than” H0: μ (cid:0) One­Sided, “Less Than” H0 : μ (cid:0) Two­Sided, “Not Equal” H0 : μ = μ0 vs. Ha : μ (cid:0) where μ0 is a given constant value (with the  appropriate units) that is a comparative value

9­3

μ0 vs. Ha : μ < μ0  μ0

LO9-1

Types of Decisions

As a result of testing H0 vs. Ha, will decide either of  the following decisions for the null hypothesis H0: ◦Do not reject H0 or reject H0

To “test” H0 vs. Ha, use the “test statistic”

0

0 n

x

z measures the distance between μ0 and  on the

sampling distribution of the sample mean

If the population is normal or n is large*, the test

statistic z follows a normal distribution

9­4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x (cid:0) (cid:0) z (cid:0) (cid:0)

LO9-2: Describe Type I and Type II errors and their probabilities.

Error Probabilities

Type I Error: Rejecting H0 when it is true  is the probability of making a Type I error

is the probability of not making a Type I

Type II Error: Failing to reject H0 when it is

◦(cid:0) ◦1 – (cid:0) error

false ◦β is the probability of making a Type II error ◦1 – β is the probability of not making a Type II

9­5

Table 9.1

error

LO9-2

Typical Values

Usually set (cid:0)

to a low value ◦So there is a small chance of rejecting a true H0

Typically, (cid:0)

= 0.05

 (cid:0)

= 0.01 requires very strong evidence to reject H0  and β

Tradeoff between (cid:0)

◦Strong evidence is required to reject H0 ◦Usually choose α between 0.01 and 0.05

 And the higher (cid:0)

, the lower β

9­6

◦For fixed sample size, the lower (cid:0) , the higher β

LO9-3: Use critical values and p-values to perform a z test about a population mean when σ is known.

9.2 z Tests about a Population Mean:  σ

Known

Test hypotheses about a population mean

using the normal distribution

Called z tests Require that the true value of the population

standard deviation σ is known ◦In most real­world situations, σ is not known  But often is estimated from s of a single sample  When σ is unknown, test hypotheses about a

population mean using the t distribution

9­7

◦Here, assume that we know σ

LO9-3

Steps in Testing a “Greater Than”  Alternative 1. State the null and alternative hypotheses 2. Specify the significance level α 3. Select the test statistic 4. Determine the critical value rule for deciding

5. Collect the sample data and calculate the value of

whether or not to reject H0

6. Decide whether to reject H0 by using the test

7.

the test statistic

9­8

statistic and the rejection rule Interpret the statistical results in managerial terms  and assess their practical importance

LO9-4: Use critical values and p-values to perform a t test about a population mean when σ is unknown.

9.3 t Tests about a Population Mean:  σ Unknown

Assume the population being sampled is

normally distributed

The population standard deviation σ is

unknown, as is the usual situation ◦If the population standard deviation σ is

Under these two conditions, have to use the t

unknown, then it will have to estimated from a  sample standard deviations

distribution to test hypotheses

9­9

LO9-5: Use critical values and p-values to perform a large sample z test about a population proportion.

9.4 z Tests about a Population  Proportion

Alternative

p­value

Reject H0 if:

z > z(cid:0)

Ha: ρ > ρ0

Area under t distribution to  right of z

z < –z(cid:0)

Ha: ρ < ρ0

Area under t distribution to  left of –z

|z| > z (cid:0)

Ha: ρ (cid:0)

ρ0

/2 *

Twice area under t  distribution to right of |z|

pˆ

p

(cid:0)

Where the test statistics is

z

(cid:0)

p

0 p

0

0

1(cid:0) n

* either z > zα/2 or z < –zα/2

9­10

(cid:0) (cid:0)

LO9-6: Calculate Type II error probabilities and the power of a test, and determine sample size (Optional).

9.5 Type II Error Probabilities and  Sample Size Determination (Optional) Want the probability β of not rejecting a false null

1 ­ β is called the power of the test Assume that the sampled population is normally

hypothesis ◦Want the probability β of committing a Type II error

Test…

◦H0: µ = µ0 vs  ◦Ha: µ < µ0 or Ha: µ > µ0 or Ha: µ ≠ µ0

Want to make the probability of a Type I error equal

distributed, or that a large sample is taken

9­11

to α and randomly select a sample of size n

LO9-6

Calculating β Continued

The probability β of a Type II error

corresponding to the alternative value µa for  µ is equal to the area under the standard  normal curve to the left of

a

0

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) *z

Here z* equals zα if the alternative hypothesis

(cid:0) n

is one­sided (µ < µ0 or µ > µ0)

Also z* ≠ zα/2 if the alternative hypothesis is

two­sided (µ ≠ µ0)

9­12