Chapter 5

Discrete Random Variables

McGraw­Hill/Irwin

Copyright © 2014 by The McGraw­Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Discrete Random Variables

5.1   Two Types of Random Variables 5.2   Discrete Probability Distributions 5.3   The Binomial Distribution 5.4 The Poisson Distribution (Optional) 5.5 The Hypergeometric Distribution

(Optional)

5.6 Joint Distributions and the Covariance

(Optional)

5­2

LO5-1: Explain the difference between a discrete random variable and a continuous random variable.

5.1 Two Types of Random Variables

Random variable: a variable that assumes  numerical values that are determined by the  outcome of an experiment ◦Discrete ◦Continuous

Discrete random variable: Possible values can be

counted or listed ◦The number of defective units in a batch of 20 ◦A listener rating (on a scale of 1 to 5) in an AccuRating

music survey

Continuous random variable: May assume any

numerical value in one or more intervals  ◦The waiting time for a credit card authorization ◦The interest rate charged on a business loan

5­3

LO5-2: Find a discrete probability distribution and compute its mean and standard deviation.

5.2 Discrete Probability Distributions

The probability distribution of a discrete  random variable is a table, graph or formula  that gives the probability associated with  each possible value that the variable can  assume

5­4

Notation: Denote the values of the random  variable by x and the value’s associated  probability by p(x)

LO5-2

Discrete Probability Distribution Properties

p(x) (cid:0)

0

1. For any value x of the random variable,

2. The probabilities of all the events in the  sample space must sum to 1, that is…

xp

1

x

all

5­5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

LO5-3: Use the binomial distribution to compute probabilities.

5.3 The Binomial Distribution

characteristics…

1. Experiment consists of n identical trials 2. Each trial results in either “success” or “failure” 3. Probability of success, p, is constant from trial

to trial

 The binomial experiment

1. Trials are independent

 The probability of failure, q, is 1 – p

trials of a binomial experiment, then x is a  binomial random variable

5­6

 If x is the total number of successes in n

LO5-3

Binomial Distribution Continued

For a binomial random variable x, the probability of

x successes in n trials is given by the binomial  distribution:

(cid:0) (cid:0)

=xp

x­nxqp

(cid:0) (cid:0)

n ! x­nx !

!

n! is read as “n factorial” and n! = n × (n­1) × (n­2)

× ... × 1

0! =1 Not defined for negative numbers or fractions

5­7

LO5-4: Use the Poisson distribution to compute probabilities (Optional).

5.4 The Poisson Distribution

occurs over an interval of time or space,  and assume that

1. The probability of occurrence is the same for

any intervals of equal length

2. The occurrence in any interval is independent of  an occurrence in any non­overlapping interval

 Consider the number of times an event

5­8

 If x = the number of occurrences in a  specified interval, then x is a Poisson  random variable

LO5-5: Use the hypergeometric distribution to compute probabilities (Optional).

5.5 The Hypergometric Distribution  (Optional)

◦r of these are successes ◦(N­r) are failures

Population consists of N items

replacement, the probability that x of the n  items will be successes is given by the  hypergeometric probability formula

If we randomly select n items without

r x

xP )(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

rN xn N n

5­9

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

LO5-5

The Mean and Variance of a Hypergeometric  Random Variable

Mean

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

n

x

(cid:0) (cid:0)

r N

Variance

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

n

1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

r N

r N

nN N 1

5­10

LO5-6: Compute and understand the covariance between two random variables (Optional).

5.6 Joint Distributions and the  Covariance (Optional)

5­11

LO5-6

Four Properties of Expected Values and  Variances

1.

2.

ax=a2σ2

x

3.

◦ Also, σ2

If a is a constant and x is a random  variable, then μax=aμx If x1,x2,…,xn are random variables, then μ(x1,x2,…,xn)= μx1 + μx2 + … + μxn If a is a constant and x is a random variable, then σ2 If x1,x2,…,xn are statistically independent random variables, then the covariance is zero x1+ σ2

(x1,x2,…,xn)= σ2

x2+…+ σ2

xn

5­12

4.