Các bài toán về mặt cầu và đường thẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Các bài toán về mặt cầu và đường thẳng" trình bày lý thuyết những kiến thức cần nhớ và các dạng bài toán thường gặp, kèm theo các bài tập vận dụng có hướng dẫn giải. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài toán về mặt cầu và đường thẳng

CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG A. LÝ THUYẾT 1. Kiến thức cần nhớ: Cho mặt cầu tâm , bán kính và đường thẳng (đi qua và có VTCP ). Khi đó: +) . +) . +) . ở đó và 2. Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu. Phương pháp: Cách 1: Sử dụng lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu. - Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và so sánh với . - Bước 2: Kết luận dựa vào các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu. Cách 2: Xét phương trình giao điểm của đường thẳng và mặt cầu. - Nếu phương trình vô nghiệm thì đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu. - Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu. - Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước. Phương pháp: - Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát. - Bước 2: Xét phương trình giao điểm của và , điều kiện để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là phương trình giao điểm có nghiệm duy nhất. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng có mối quan hệ với đường thẳng và mặt cầu. Phương pháp chung: Xác định điểm đi qua và VTPT của mặt phẳng, từ đó viết phương trình. B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1 (NB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu . Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là: A. B. C. D. Phương pháp: (S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi hệ phương trình tọa độ giao điểm của (S) và Ox có nghiệm kép.
Cách giải: Tọa độ giao điểm của (S) và Ox là nghiệm của hệ (*) (S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép có nghiệm kép Chọn D Chú ý khi giải: Các em cũng có thể tính khoảng cách từ tâm của đến và cho bằng . Câu 2 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng d có phương trình . Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d. A. B. C. D. Phương pháp: (S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi hệ phương trình tọa độ giao điểm của (S) và d có nghiệm kép. Cách giải: Phương trình mặt cầu (S) có dạng Phương trình tham số của d là: Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ (*) (S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép có nghiệm kép có nghiệm kép Suy ra đường kính của mặt cầu (S) là Chọn B Chú ý khi giải: - Có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tính bán kính mặt cầu: - Từ đó suy ra đường kính Câu 3 (TH): Trong không gian , cho điểm và đường thẳng có phương trình: . Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng có bán kính là A. . B. . C. . D. . Phương pháp : Ta tìm bán kính của mặt cầu bằng cách tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Cách giải : Phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với là : . Gọi là hình chiếu của lên . Khi đó :
. Chọn A. Câu 4 (NB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm và tiếp xúc với đường thẳng là: A. B. C. D. Phương pháp: (S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi hệ phương trình tọa độ giao điểm của (S) và d có nghiệm kép. Cách giải: Phương trình mặt cầu (S) có dạng Phương trình tham số của d là: Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ (*) (S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép có nghiệm kép có nghiệm kép Chọn A Câu 5 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình . Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với là: A. B. C. D. Phương pháp: Lấy . Giả sử mặt cầu (S) và đường thẳng có điểm chung . và có hai điểm chung phân biệt nếu và chỉ nếu phương trình ẩn có hai nghiệm phân biệt. Cách làm: . A. Thay vào ta có . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại B. Thay vào ta có . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại C. Thay vào ta có . Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãn D. Thay vào ta có . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại Chọn C Câu 6 (TH): Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là: A. B. C. D. Phương pháp:
Lấy . Giả sử mặt cầu (S) và trụccó điểm chung . Khi đó phương trình ẩn phải có nghiệm. Cách làm: . A. Thay vào ta có . Phương trình vô nghiệm. Loại B. Thay vào ta có . Phương trình vô nghiệm. Loại C. Thay vào ta có . Phương trình vô nghiệm. Loại D. Thay vào ta có . Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãn Chọn D Câu 7 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình . Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào. A. B. Trục Ox C. Trục Oy D. Trục Oz Phương pháp: Chỉ ra tâm I và bán kính của mặt cầu (S) Tìm hình chiếu của I trên các trục tọa độ, từ đó tính khoảng cách từ I đến các trục tọa độ. Từ đó xác định được tính đúng sai của các đáp án B,C,D. Kết luận. Cách làm: (S) có tâm và Gọi M là hình chiếu của I lên trục Ox. Suy ra loại B Gọi N là hình chiếu của I lên trục Oy. Suy ra loại C Gọi P là hình chiếu của I lên trục Oz. Suy ra loại D Chọn A Câu 8 (TH): Xét đường thẳng d có phương trình và mặt cầu (S) có phương trình . Nhận xét nào sau đây đúng. A. d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B và B. d không có điểm chung với (S) C. d tiếp xúc với (S) D. d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B và AB đạt GTLN. Phương pháp: Xét số giao điểm của d và (S) bằng cách tìm số nghiệm của hệ phương trình
Cách làm: Giải hệ Suy ra d cắt (S) tại hai điểm phân biệt. Mặt khác (S) có tâm nên d qua tâm của mặt cầu. Do đó AB đạt GTLN Chọn D Câu 9(TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và đường thẳng . (d) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng: A. B. C. D. Phương pháp: Giải hệ phương trình tọa độ giao điểm của (S) và (d) để tìm A, B. Sau đó tính AB. Cách giải: Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta được: Giả sử A là giao điểm của (d) và (P). Vì nên ta có: Mặt khác nên ta có Chọn A Câu 10(TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm và cắt trục Oy tại hai điểm A, B mà là A. B. C. D. Phương pháp: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên trục Oy. Khi đó, H cũng là trung điểm của AB. Ta có hệ thức . Từ đó, tìm được bán kính R của mặt cầu (S). Cách làm: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên Oy Mặt khác ta có: Suy ra (S) có tâm và bán kính R với . Suy ra:
Chọn đáp án: D Câu 11 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d' là A. B. C. D. Phương pháp: Tìm và sao cho AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d' Lập phương trình mặt cầu đường kính AB Cách làm: Lấy và . Ta có: AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d’ khi và chỉ khi Suy ra , và Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d' Có tâm I là trung điểm của AB và bán kính . Ta có và Vậy ta có Chọn C Câu 12 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz. A. B. C. D. Phương pháp: Gọi (S’) là mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz. Tìm J là điểm đối xứng của tâm mặt cầu (S) qua Oz. Mặt cầu (S’) có tâm J và bán kính R Cách làm: (S) có tâm và Lấy đối xứng điểm I qua trục Oz ta được . (S’) có tâm J và bán kính R có phương trình là:
Chọn A Câu 13 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và ba điểm, và . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC, BC? A. 4 mặt cầu. B. 2 mặt cầu. C. 1 mặt cầu. D. Vô số mặt cầu. Phương pháp: - Nhận xét mặt phẳng song song với mặt phẳng . - Số mặt cầu thỏa mãn bài toán bằng với số điểm nằm trên mặt phẳng mà cách đều các đường thẳng (các điểm này là tâm mặt cầu). Cách làm: Ta có: Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến là . Suy ra (P) // (ABC) Trên mặt phẳng (ABC) có 4 điểm M, N, P, Q cách đều AB, BC, AC là tâm đường tròn nội tiếp, 3 tâm đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C do đó có 4 điểm trên mặt phẳng (P) là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q trên (P) thỏa mãn tính chất cách đều AB, BC, AC. Tương ứng có 4 mặt cầu tâm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A Câu 14 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ . Hãy viết phương trình mặt cầu (S) có tâm và tiếp xúc với đường thẳng d:. A. B. C. D. - Phương pháp: + + Phương trình mặt cầu (S) tâm I( a;b;c) bán kính R là (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 - Cách giải: . Lấy điểm M( 1;0;2) ; Vậy phương trình mặt cầu tâm I ( 2; 0; 1) bán kính là: . Chọn A.
Câu 15 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: điểm A (2; -1; 1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A A. B. C. D. – Phương pháp + Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc (d): nhận VTCP của d (u d) làm VTPT + Tìm giao của (d) và (P), là I + Tính R = IA. Viết phương trình mặt cầu – Cách giải Phương trình mặt phẳng qua , vuông góc là: Gọi , khi đó: Có . Phương trình mặt cầu là: Chọn D Câu 16 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và đường thẳng . Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S). A. B. C. D. Phương pháp: Mặt cầu: Cách giải: Ta xét mặt cầu (S): Điểm A(1;-3;0) thuộc d nên và nên thử các đáp án ta thấy C đúng. Chọn C. Câu 17 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng . Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I A. B. C. D. – Phương pháp
+ Gọi tọa độ tâm theo tham số của đường thẳng. + Tìm tọa độ dựa vào khoảng cách từ đến mặt phẳng . – Cách giải Tâm I thuộc đường thẳng d nên Phương trình mặt phẳng Ta có bán kính mặt cầu , mặt cầu cắt mặt phẳng (Oxz) theo đường tròn có bán kính HM=2 suy ra Ta có Chọn A Câu 18 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: và đường thẳng . Mặt phẳng (P) vuông góc với và tiếp xúc với (S) có phương trình là A. và B. và C. và D. và – Phương pháp Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu – Cách giải Tâm mặt cầu I(1;-2;1), bán kính R=3 Mặt phẳng (P) vuông góc với có phương trình dạng Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu nên Phương trình (P) là 2x-2y+z+2=0; 2x-2y+z-16=0 Chọn B và 2 mặt phẳng và Câu 19 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng lần lượt có phương trình cầu có tâm thuộc đường thẳng , tiếp xúc với hai mặt phẳng và . . Viết phương trình mặt  A. B. C. D. – Phương pháp Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu.
– Cách giải. Ta có Chọn B. Câu 20(VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và hai mặt phẳng (P): x – 2y + 2z = 0. (Q): x – 2y + 3z -5 =0. Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S). A. B. C. D. - Hướng dẫn – Phương pháp Sử dụng các dữ kiện của bài toán để tìm bán kính và tâm của mặt cầu +Tâm là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng +Bán kính là khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng (Q) (do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng) – Cách giải Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên Chọn C