CHỦ ĐỀ 8. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Tìm hằng số C .
Bài 1. Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f (x) biết:
a.
2
3
2f x x
x
và
1 4
F
b.
3 2
2
3 3 7
1
x x x
f x x
và
0 8
F
c.
cos5 os3
f x x x
và
1
4
F
d.
sin 2 os3
f x x x
và
0 0
F
e.
sin sin7
f x x x
và
0
2
F
f.
2
sin cos
2 2
x x
f x
và
2 2
F
Vấn đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a. 2
2
0cos sin
x xdx
; b. 2 3
2
0cos sin
x xdx
; c. 5
2
0cos
xdx
;
d. 4
2
6
1
sin cot
dx
x gx
; e.
12007
01
x x dx
; f. 1
01
x xdx
;
g. 2
1
1
1 ln
e
dx
x x
h. 3
2
4
1
cos t
dx
x gx
; i. 3
8
1
1
x
dx
x
.
j. 2 2
0
1
a
dx
a x
; k. 2
3
2
1
1x
dx
x
; l.
4
3
2
4
4
x
dx
x
; m. 2 2
2
2
1
2
dx
x x
n. 22 2
04
x x dx
o.
2
2
0
6 2
1
x
dx
x x
Bài 2. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b].Chứng minh rằng:
b b
a a
f x dx f a b x dx
. Suy ra
0 0
b b
f x dx f b x dx
. Áp dụng tính
2
0
sin
1 cos
x
I dx
x
và
4
0
ln 1
J tgx dx
.
Bài 3. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [- a ; a] (
0
a
). Chứng minh rằng:
a. Nếu f là hàm số lẻ trên thì
0
a
a
f x dx
;
b. Nếu f là hàm số chẵn trên thì
0
2
a a
a
f x dx f x dx
.
Tính
12
1
ln 1
I x x dx
, 1
1
1
1
x
x
, 12
1
1
K x dx
và
1
2
1
2
1
cos .ln1
x
L x dx
x
.
Vấn đề 3: Bất đẳng thức tích phân:
Bài 1. Chứng minh rằng:
a. 12
0
4 5
1
2 2
xdx
b. 2
2
1
2 1
5 1 2
xdx
x
c. 2
2
0
1
16 5 3cos 10
dx
x
d. 22
0
1 6
1 sin
2 2 4
xdx
e. 3
4
3 cot 1
12 3
gxdx
x
f. 1
0
sin
1 ln 2
1 sin
x x dx
x x
Vấn đề 4: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a. 4
0cos2
x xdx
b. ln2 2
0
x
xe dx
c.
2
02 1 cos
x xdx
d. 2
0cos sin
x x xdx
e.
2
11 ln
e
x x xdx
f. 22
1
1
ln 1
x dx
x
g.
12
0
ln 1
x x dx
h.
12
2
ln
1
e
e
x
dx
x
i.
2
2
01 3 sin
x xdx
j.
12
01x
x x e dx
k.
2
2
02 1 cos
l. 2
0sin cos
x x xdx
m.
2
2
22
x
ex e
dx
x
n. 2
0cos3
x
e xdx
o. 2
0cos
x
e xdx
Vấn đề 5: Tính tích phân bằng cách phối hợp cả 2 phương pháp(phương pháp
tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số):
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a. 32
4sin
x
dx
x
b.
2
4
0sin
xdx
c. 2
0sin
x xdx
d.
3
3
2
0sin
xdx
e. 2
13
0
x
x e dx
f.
12
0
ln 1
x dx
g.
1
2
02
1
1
dx
x
h.
Vấn đề 6: Tính tích phân bằng cách dùng tích phân từng phần xuất hiện lại tích
phân ban đầu:
Bài 1. a. 32
2
1
x dx
; b. sin 2
x
e xdx
; c.
cos ln
x dx
; d. 2 2
0cos
x
e xdx
.
Vấn đề 7: Tính diện tích hình phẳng:
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a.
5
1
y x
,
x
y e
,
0
x
,
1
x
.
b. 2
4 3
y x x
,
2 6
y x
,
0
x
,
3
x
.
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a.
2
2
x
y,
0
x
,
2
y
,
4
y
.
b. 2
2
y x
,
y x
,
0
y
,
3
y
.
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a. 2
2
y x x
,
y x
.
b. 2
4 3
y x x
,
3
y
.
c. 2
2
y x x
,
2 4
y x
.
d.
2
y x
,
2
y x
.
e.
2
4
y x
, 2
2
y x x
. f. 3 2
4 6
y x x x
,
0
y
.