Phương pháp giải bài tập phương trình - hệ phương trình

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Phương pháp giải bài tập phương trình - hệ phương trình" là tài liệu tham khảo dành cho các em học sinh đang có nhu cầu và học tập môn Toán. Giúp các em biết cách phân loại và nắm được phương pháp giải bài tập phương trình - hệ phương trình. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp giải bài tập phương trình - hệ phương trình

BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f  x   g  x  1 trong đó f  x  và g  x  là những biểu thức của x. Ta gọi f  x  là vế trái, g  x  là vế phải của phương trình 1 . Nếu có số thực x0 sao cho f  x0   g  x0  là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình 1 . Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó . Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm . 2. Điều kiện của một phương trình Khi giải phương trình 1 , ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f  x  và g  x  có nghĩa . Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình . 3. Phương trình nhiều ẩn Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3 x  2 y  x 2  2 xy  8,  2 4 x  xy  2 z  3 z  2 xz  y . 2 2 2  3 Phương trình  2  là phương trình hai ẩn ( x và y ), còn  3 là phương trình ba ẩn ( x, y và z ). Khi x  2, y  1 thì hai vế của phương trình  2  có giá trị bằng nhau, ta nói cặp  x; y    2;1 là một nghiệm của phương trình  2  . Tương tự, bộ ba số  x; y; z    1;1; 2  là một nghiệm của phương trình  3 . 4. Phương trình chứa tham số Trong một phương trình , ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 1. Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. 2. Phép biến đổi tương đương Định lí Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 183 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó. 3. Phương trình hệ quả Nếu mọi nghiệm của phương trình f  x   g  x  đều là nghiệm của phương trình f1  x   g1  x  thì phương trình f1  x   g1  x  được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f  x   g  x  . Ta viết f  x   g  x   f1  x   g1  x  . Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Điều kiện xác định của phương trình 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 2x 3 Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình 5  2 x 1 2 x 1 Lời giải Chọn D Do x 2  1  0, x   nên điều kiện xác định của phương trình là D   . Ví dụ 2. Tìm điều kiện xác định của phương trình x 1  x  2  x  3 Lời giải x 1  0 x  1   Điều kiện xác định của phương trình là:  x  2  0   x  2  x  3 . x  3  0 x  3   6 Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của phương trình x2  4 x 3 Lời giải x  2  0 x  2 Điều kiện xác định của phương trình:   x  3  0 x  3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 184 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
1 Ví dụ 4. Cho phương trình x3  1  x  1  . Tìm điều kiện xác định của phương trình x 4 2 đã cho. Lời giải  x3  1  0  Điều kiện xác định của phương trình  x  1  0  x  2.  x2  4  0  3. Bài tập trắc nghiệm x 1 Câu 1. Tìm tập xác định của phương trình  3 x 5  2017  0 . x A.  1;   . B.  1;   \ 0 . C.  1;   \ 0 . D.  1;   . Hướng dẫn giải Chọn C.  x  1  0  x  1 Điều kiện   . x  0 x  0 Tập xác định của phương trình là  1;   \ 0 . 1 3  2x Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x   là 2x  4 x 3 3 A. x  2 và x  . B. 2  x  . 2 2  3  2  x  C. x  2 và x  0 . D.  2.  x  0 Hướng dẫn giải Chọn C.  3  x 3  2 x  0 2  3    2  x  Điều kiện xác định của phương trình là 2 x  4  0   x  2   2 x  0 x  0  x  0    1 Câu 3. Cho phương trình x 2  1  . Tập giá trị của x để phương trình xác định là x 1 A. 1;   . B.  . C. 1; ) . D.  \ 1 . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 185 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Chọn A. 1 x2  1  xác định  x  1  0  x  1 . x 1 Câu 4: Điều kiện xác định của phương trình x  2  8  x là A. x   2;8  . B. x  8 . C. x  2 . D. x  8 . Lời giải Chọn C ĐK: x  2  0  x  2 Câu 5. Giá trị x  2 là điều kiện của phương trình nào sau đây? 1 1 A. x   2x 1 . B. x   x2  0. x2 x 1 1 C. x   x2 . D. x   0. 4 x x2 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 Phương trình x   2 x  1 có điều kiện là x  2  0  x  2 . x2 1 x  2  0 Phương trình x   x  2  0 có điều kiện là   x  2. x x  0 1 x  2  0 x  2 Phương trình x   x  2 có điều kiện là   . 4 x 4  x  0 x  4 1 Phương trình x   0 có điều kiện là x  2  0  x  2 . x2 x2 3 Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình  là x  2x 2 5 x A. x   \ 0; 2 . B. x   2;5  \ 0 . C.  2;5 \ 0; 2 . D.  ;5  \ 0; 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 186 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
x2 3 Phương trình  có nghĩa khi x  2x 2 5 x x  2  0  x  2  2   x  2 x  0   x  0; x  2  x   2;5  \ 0 . 5  x  0 x  5   x4 2 Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình  là x 1 2 3 x A. x   4;    . B. x   4;3 \ 1 . C. x   ;3 . D. x   \ 1 . Hướng dẫn giải Chọn B. x  4  0  x  4  2  4  x  3 Phương trình đã cho xác định khi  x  1  0   x  1   . 3  x  0 x  3  x  1   x2 1 3 Câu 8. Tập xác định của phương trình x  x  2 là x 1 A. D   2;    . B. D   0;    \ 1 . C. D   0;    . D. D   0;    \ 1; 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện xác định: x  0 x  0   . Vậy đáp án D   0;    \ 1 . x 1  0 x  1 x+5 Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình = 1 là x-2 ìïx > -5 ìï x ³-5 A. x ³ -5. B. ïí . C. ïí . D. x > 2. ïïîx ¹ 2 ïïî x ¹ 2 Lời giải Chọn C ìï x + 5 ³ 0 ìïï x ³ -5 Phương trình xác định khi và chỉ khi ïí í . ïîï x - 2 ¹ 0 ïîï x ¹ 2 Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình x  2 x  1  1  x là Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 187 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
1 1 1 A.   x  1. B.   x  1. C. x   . D. x  1. 2 2 2 Lời giải Chọn B  1 2 x  1  0 x   1 Điều kiện xác định của phương trình là   2    x 1. 1  x  0  x  1 2 x2  5 Câu 11. Điều kiện xác định của phương trình x2  0 ? 7x A.  2;7  . B.  2;   . C.  2;7 . D.  7;   . Lời giải Chọn A x  2  0 x  2 Điều kiện xác định của phương trình đã cho là:    2 x7. 7  x  0 x  7 x4 2 Câu 12. Điều kiện xác định của phương trình  là: x 1 2 3 x A. x   4;    . B. x   4;3 \ 1 . C. x   ;3 . D. x   \ 1 . Lời giải: Chọn B x  4  0  x  4  2  4  x  3 Phương trình đã cho xác định khi  x  1  0   x  1   . 3  x  0 x  3  x  1   Dạng 2: Sử dụng điêu kiện xác định của phương trình để tìm gghiệm của phương trình 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1 : Giải phương trình x ( x 2 -1) x -1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? Lời giải ìï x -1 ³ 0 éx ³1 ïï ê Vì : x ( x -1) 2 ï x -1 = 0  í é x = 0  êê é x = 0  x = 1 ïïê 2 ê ê ê x = 1 ïïîêë x -1 = 0 êë ë Ví dụ 2 : Giải phương trình 2 x + x - 2 = 2 - x + 2 Lời giải x  2  0 x  2 Vì : Điều kiện của pt    x  2 . Thay x = 2 vào phương trình thấy 2  x  0 x  2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 188 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
thỏa mãn nên x = 2 là nghiệm phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình x 3 - 4 x 2 + 5x - 2 + x = 2 - x Lời giải Vì: x 3 - 4 x 2 + 5 x - 2 + x = 2 - x  ( x - 2)( x -1) 2 + x = 2 - x . ìïé x - 2 ³ 0 ìïé x ³ 2 ìï( x - 2)( x -1) 2 ³ 0 ïïê ïïê Điều kiện của phương trình: ïí  ïíêë x = 1 ïíê x = 1  éê x = 2 ïîï2 - x ³ 0 ïï ïë ê ëx = 1 ïîï2 - x ³ 0 ïîïï x £ 2 Ví dụ 4: Giải phương trình ( x 2 - 3 x + 2 ) x - 3 = 0 Lời giải ìx ³ 3 ï ìx - 3 ³ 0 ï ï ï ï ï ï ï ïé x = 1 Vì : ( x 2 - 3x + 2) x - 3 = 0  í x - 3x + 2 = 0  íê é ê 2 ê  x=3 ï ïê ï ïê x = 2 ï ïë î x - 3 = 0 ï ïê îë x = 3 ïï é x=2 + Thay êê vào phương trình thì thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn. Nên x = 1 là nghiệm pt ëx =1 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cặp số  x; y  nào sau đây không là nghiệm của phương trình 2 x  3 y  5 ? 5  A.  x; y    ; 0  . B.  x; y   1;  1 . 2   5 C.  x; y    0;  . D.  x; y    2;  3 .  3 Hướng dẫn giải Chọn C. Thay các bộ số  x; y  vào phương trình, ta thấy bộ số đáp án C không thỏa mãn: 5 2.0  3.  5  5 . 3 1 1 Câu 2. Số nghiệm của phương trình 2 x    x2  là x 1 x 1 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. x  0 Điều kiện: x  1 . Khi đó phương trình đã cho  2 x   x 2    x  0.  x  2  L  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 189 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
x 1 Câu 3. Số nghiệm của phương trình  là: 2 x3 x 3 A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đkxđ: x  3 x Với điều kiện x  3 phương trình đã cho trở thành 1 x  2  3 2 Vậy phương trình không có nghiệm. Câu 4. Tập nghiệm của phương trình x  x  x  1 là A. S   . B. S   . C. S  0 . D. S  1 . Lời giải Chọn B Điều kiện: x  0 . x  x  x  1  x  1 . Vây tập nghiệm của phương trình đã cho là S   . Câu 5. Phương trình nào sau đây nhận 2 làm nghiệm ? A. x 4  4 x 2  3  0. B. x 2  4 x  3  0. C. 1  x  x  1  x  2 . D. x 4  5 x 2  4  0. Lời giải Chọn D  x2  1  x  1 - Xét PT: x 4  4 x 2  3  0   2  x  3 x   3 Vậy x  2 không phải nghiệm của PT đã cho.  x 1 - Xét PT: x 2  4 x  3  0   x  3 Vậy x  2 không phải nghiệm của PT đã cho. - Xét PT: 1  x  x  1  x  2 . Điều kiện 1  x  0  x  1 Vậy x  2 không phải nghiệm của PT đã cho. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 190 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
 x2  1  x  1 - Xét PT: x 4  5 x 2  4  0   2  x  4  x  2 Vậy x  2 là nghiệm của PT đã cho. Câu 6. Phương trình x ( x 2 -1) x -1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B ìï x -1 ³ 0 éx ³1 ïï ê Vì : x ( x -1) 2 x -1 = 0  ïíé x = 0  êê é x = 0  x = 1 ïïê 2 ê ê ê x = 1 ïïîêë x -1 = 0 êë ë Câu 7. Phương trình - x 2 + 6 x - 9 + x 3 = 27 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B Vì -x 2 + 6 x - 9 + x 3 = 27  -( x - 3) 2 = 27 - x 3 Đk : -( x - 3) 2 ³ 0  x = 3 . Thay x = 3 vào phương trình thấy thỏa mãn nên x = 3 là nghiệm pt Câu 8. Phương trình ( x - 3)2 (5 - 3 x ) + 2 x = 3 x - 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B ìïé 5 ï ï êx £ ì ï é 5 - 3 x ³ 0 ï ê 3 éx = 3 ì( x - 3) (5 - 3 x) ³ 0 ïïê ï 2 ïïê ê Vì điều kiện của phương trình: : ï í ïíêë x = 3 ï íêë x = 3  ê 5 ïï3 x - 5 ³ 0 î ïï ïï ïï êx = ê î3 x - 5 ³ 0 ïï ïx ³ 5 ë 3 ï ï î 3 éx = 3 ê + Thay ê 5 vào phương trình thì thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn. Nên x = 3 là nghiệm pt êx = êë 3 Câu 9. Phương trình x + x -1 = 1 - x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 191 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
x 1  0 x  1 Vì : Điều kiện của pt :    x  1 . Thay x = 1 vào phương trình thấy vô 1  x  0 x  1 lí nên pt vô nghiệm. é x=2 + Thay êê vào phương trình thì thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn. Nên x = 1 là nghiệm pt ëx =1 Câu 10. Phương trình ( x 2 - x - 2 ) x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn C ïïì x + 1 ³ 0 ì ï ï x ³ -1 ï 2 ï é x = -1 Vì : ( x - x - 2) 2 x + 1 = 0  íé x - x - 2 = 0  ïíé x = -1  ê ï ïïê ïïê ê ëx = 2 ê ê ïîïë x + 1 = 0 ïïë x = 2 î Dạng 3: Phương trình tương đương, phương trình hệ quả 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Cho phương trình f  x   0 có tập nghiệm S1  m; 2 m  1 và phương trình g  x   0 có tập nghiệm S2  1; 2  . Tìm tất cả các giá trị m để phương trình g  x   0 là phương trình hệ quả của phương trình f  x   0 . 3 3 A. 1  m  . B. 1  m  2 . C. m . . D. 1  m  . 2 2 Lời giải Chọn D Gọi S1 , S2 lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình f  x   0 và g  x   0 . Ta nói phương trình g  x   0 là phương trình hệ quả của phương trình f  x   0 khi S1  S2 . 1  m  2 1  m  2  3 Khi đó ta có   3 1 m . 1  2 m  1  2 1  m  2 2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình x  1  0 ? A. x  2  0 . B. x  1  0 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 192 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
C. 2 x  2  0 . D.  x  1 x  2   0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có x  1  0  2 x  2  0 . Câu 2. Cho phương trình  x 2  1  x –1 x  1  0 . Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho? A. x 2  1  0 . B. x  1  0 . C.  x –1 x  1  0 . D. x  1  0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Phương trình  x 2  1  x –1 x  1  0 có tập nghiệm S  1;1 . Phương trình  x –1 x  1  0 có tập nghiệm S  1;1 . Câu 3. Phương trình 2 x  3  1 tương đương với phương trình nào dưới đây? A.  x  3 2 x  3  x  3 . B.  x  4  2 x  3  x  4 . C. x 2 x  3  x . D. x  3  2x  3  1 x  3 . Hướng dẫn giải Chọn C. 2x  3  1  x  2 .  2 x  3  x  3 Xét  x  3 2x  3  x  3    nên phương trình này không tương x  3  0 x  2    2 x  3  1 đương với phương trình đã cho.  2 x  3  x  4 Xét  x  4  2 x  3  x  4    nên phương trình này không x  4  0  x  2    2 x  3  1 tương đương với phương trình đã cho. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 193 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
 2 x  3  Xét x 2 x  3  x   x  0  x2   2x  3  1   phương trình tương đương với phương trình đã cho.  x  3 Xét x  3  2x  3  1 x  3    x   nên phương trình này không  2 x  3  1 tương đương với phương trình đã cho. Câu 4: Cho phương trình: x 2  x  0 (1) . Phương trình nào tương đương với phương trình (1) ? A. x  x  1  0 . B. x  1  0 . C. x 2  ( x  1) 2  0 . D. x  0 Lời giải Chọn A x  0 (1)  x 2  x  0    x  1 x  0 Ý A: x  x  1  0   x  1 Câu 5. Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình x 2  3x  0 ? A. x 2  2 x  1  3 x  2 x  1 . B. x 2 x  3  3 x x  3 . 1 1 C. x 2  3 x  3  3 x  3 x  3 . D. x 2  x   2x  . x x Lời giải Chọn C Phương trình x 2  3x  0 có tập nghiệm là S  0;3 nên phương trình tương đương cũng phải có tập nghiệm như vậy. Chọn C Chú ý lý thuyết: + Phép biến đổi tương đương cho hai phương trình tương đương + Phép biến đổi cộng hai vế một biểu thức hoặc nhân 2 vế với một biểu thức khác 0 là phép biến đổi tương đương khi chúng không làm thay đổi điều kiện Do đó dựa và điều kiện của các phương trình ta cũng có thể chọn C Câu 6. Phép biến đổi nào sau đây là phép biến đổi tương đương? 2 2 2 2 2 A. x  x  2  x  x  2  x  x . B. 2 x  x  2 x  x . 2 2 2 2 2 2 C. x  x  2  x  x  2  x  x . D. x  x  3  x  x  3  x  x . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 194 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Lời giải Chọn D * Xét phương án A:  x2  2  0  x  2  0 2 2 2 2  x x 2  x  x 2   2   x  0  x   x  x   x  1 2 x  0 xx  x  1 2 phương trình không có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương. * Xét phương án B: x  0  x  0  2 x  x   2    x  2  x  1  2  x  x  x  1  2  x  2 2 x  x   x  1 2 phương trình không có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương. * Xét phương án C: x  2 2  x  2  0 2  x x2  x  x2  x  x   2   x  0  x    x  x   x  1 2 x  0 xx  x  1 2 phương trình không có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương. * Xét phương án D: 2 2 2 2  x 2  3  0 x  0 x x 3  x  x 3  x  x     x  1 2  x  x 2 x  0 xx  x  1 2 phương trình có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi là tương đương. Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: 2 x 2 + mx - 2 = 0 (1) và 2 x 3 + (m + 4 ) x 2 + 2 (m -1) x - 4 = 0 (2) . 1 A. m = 2. B. m = 3. C. m = . D. m = -2. 2 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 195 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Chọn B Xét phương trình é x = -2 2 x3 + (m + 4) x 2 + 2 (m -1) x - 4 = 0  ( x + 2)(2 x 2 + mx - 2) = 0  ê 2 ê ë 2 x + mx - 2 = 0(1) để hai phương trình trên tương đương thì x = - 2 phải là nghiệm của phương trình (1) từ đó suy ra m = 3. Cách khác : có thể thử ngược đáp án. Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: mx 2 - 2 (m -1) x + m - 2 = 0 (1) và (m - 2 ) x 2 - 3 x + m 2 -15 = 0 (2) . A. m = -5. B. m = -5; m = 4. C. m = 4. D. m = 5. Lời giải Chọn C éx =1 Vì xét phương trình: mx 2 - 2 (m -1) x + m - 2 = 0  ( x -1)(mx - m + 2) = 0  êê ë mx - m + 2 = 0 Để hai phương trình tương đương thì điều kiện cần x = 1 phải là nghiệm của phương trình (2). m  4 Thay x = 1 vào (2) ta được: m 2  m  20  0    m  5 + Với m = 4 : (1)  4 x 2  6 x  2  0 (2)  2 x 2  3x  1  0 suy ra m = 4 thỏa mãn + Với m = -5: (1)  5 x 2  12 x  7  0 (2)  7 x 2  3 x  10  0 suy ra m = -5 (loại) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 196 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 1. Phương trình bậc nhất Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận b a¹0 (1) có nghiệm duy nhất x = - a b¹0 (1) vô nghiệm a=0 b=0 (1) nghiệm đúng với mọi x Khi a ¹ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Phương trình bậc hai Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (2 ) D = b2 - 4ac Kết luận -b  D D>0 (2) có hai nghiệm phân biệt x1, 2 = 2a b D=0 (2) có nghiệm kép x = - 2a D
Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó. 1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1. Giải phương trình x - 3 = 2 x +1. (3) Giải Cách 1 a) Nếu x ³ 3 thì phương trình (3) trở thành x - 3 = 2 x + 1. Từ đó x = - 4. Giá trị x = - 4 không thỏa mãn điều kiện x ³ 3 nên bị loại. 2 b) Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành - x + 3 = 2 x + 1. Từ đó x = . 3 Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm. Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 . 3 Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả 2 2 (3)  ( x - 3) = (2 x + 1)  x 2 - 6 x + 9 = 4 x 2 + 4 x +1  3 x 2 + 10 x - 8 = 0. 2 Phương trình cuối có hai nghiệm là x = - 4 và x = . 3 2 Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là x = . 3 2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn. Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x - 3 = x - 2. (4) Giải. 3 Điều kiện của phương trình (4) là x ³ . 2 Bình phương hai vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả (4 )  2 x - 3 = x 2 - 4 x + 4  x 2 - 6 x + 7 = 0. Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3 + 2 và x = 3 - 2. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4 ), nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị x = 3 - 2 bị loại , còn Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 198 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
giá trị x = 3 + 2 là nghiệm . Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4) là x = 3 + 2. Dạng 1: Phương trình tích 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Giải phương trình  x 2  4 x  3 x  2  0 Hướng dẫn giải x  2   x  1 x  2 x 2  4 x  3 x  2  0    .  x  3 x  3    x  2 Vây phương trình đã cho có 2 nghiệm. Ví dụ 2. Giải phương trình  x  2  2 x  7  x 2  4 Hướng dẫn giải 7 Điều kiện xác định của phương trình 2 x + 7 ³ 0  x ³ - . 2 Ta có ( x - 2) 2 x + 7 = x 2 - 4  ( x - 2) 2 x + 7 = ( x - 2)( x + 2) éx -2 = 0 éx = 2  ( x - 2 ) éê 2 x + 7 - ( x + 2 )ùú = 0  êê  ê ê . ë û êë 2 x + 7 - ( x + 2 ) = 0 êë 2 x + 7 = x + 2 (1) Giải phương trình ì ìï x ³ -2 ì ï x ³ -2 ïï x ³ -2 ï (1) : 2 x + 7 = x + 2  ïí ï í 2  ï íé x = 1  x = 1. ïï2 x + 7 = ( x + 2 )2 î ï ï x + 2 x - 3 = 0 ïï î ïêê îïë x = -3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1, x = 2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho phương trình x3  mx 2  4 x  4m  0 . Tìm m để có đúng hai nghiệm A. m  2 . B. m  2 . C. m 2; 2 . D. m  0 . Hướng dẫn giải Chọn C.  x  2 x3  mx 2  4 x  4m  0  x  x 2  4   m  x 2  4   0   x 2  4   x  m   0   x  m Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 199 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Để phương trình có đúng hai nghiệm thì m  2 . Câu 2. Phương trình x 4  5 x 3  8 x 2  10 x  4  0 có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn D. x 4  5 x 3  8 x 2  10 x  4  0   x 2  x  2  x 2  4 x  2   0 Phương trình không có nghiệm nguyên. Câu 3. Phương trình x 4  4 x 2  5  0 có bao nhiêu nghiệm thực? A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B.    Phương trình  x 2  1 x 2  5  0  x 2  1  x  1 . Vậy phương trình có 2 nghiệm thực. Câu 4. Phương trình  x 2  6 x  17  x 2  x 2  6 x có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện: 17  x 2  0   17  x  17 . Ta có:  x 2  6 x  17  x 2  x 2  6 x   x 2  6 x    17  x 2  1  0  x  0 T   x2  6x  0  x  x  6  0      x  6  L  . Vậy phương trình có 3 thực phân 16  x  0 2  17  x  1 2  x  4 T    biệt. Câu 5. Phương trình  x 2  5 x  4  x  3  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện xác định của phương trình là x  3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 200 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
 x  3    x  1  x  1 Phương trình tương đương với     .   x  4  x  3   x  3  Câu 6. Số nghiệm của phương trình:   x  4  1  x 2  7 x  6   0 là A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện xác định của phương trình x  4 . x  5  x  4 1 Phương trình tương đương với  2   x  1 kết hợp điều kiện suy ra  x  7 x  6  0  x  6 x  5 x  6 .  Dạng 2: Phương trình chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Giải phương trình 3x  2  2 x  1 Hướng dẫn giải 2 x  1  0  1 x  1 x  Ta có 3x  2  2 x  1   2   2   3 x  2    2 x  1 2 5 x  8 x  3  0 2 x  3   5 Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x 2  3x  2  x  2 Hướng dẫn giải x  1 3  2 x 2  3x  2  x  2 2x2  4 x  4  0  Phương trình   2  2  x  0 .  2 x  3x  2   x  2  2 x  2 x  0 x 1  3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Phương trình x  2  3x  1 có tổng các nghiệm là 1 1 1 3 A.  . B.  . C. . D.  . 2 4 4 4 Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 201 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Chọn C.  1 x  x  2  3x  1  2 . Vậy tổng các nghiệm là 1 . Ta có: x  2  3x  1     x  2  1  3x x  3 4  4 Câu 2. Phương trình x 2  2 x  8  x  2 có số nghiệm là A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D. x  2  x  2  0  Ta có x  2 x  8  x  2   2 2   x2  2 x  8  x  2  x  2 x  8     x  2   2  x  2 x  8   x  2  x  2  x  2  2   x  x  6  0   x  2, x  3    x  2.  x2  x  2     x 2  3 x  10  0   x  2, x  5 Câu 3. Phương trình 2 x  4  2 x  4  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. vô số. Hướng dẫn giải Chọn D. 2x  4  2x  4  0  2x  4  2x  4  2x  4  0  x  2 . Câu 4. Phương trình x 2  2 x  3  x  5 có tổng các nghiệm nguyên là A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B.  x  3 TH1: x 2  2 x  3  0   . Khi đó phương trình trở thành: x  1  1  33 x  2 x2  2 x  3  x  5  x2  x  8  0   .  1  33 x   2 TH2: x 2  2 x  3  0  3  x  1 . Khi đó phương trình trở thành: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trang 202 Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133