V
Va
an
nH
Ho
oa
a
C
Ch
hu
uy
yê
ên
n
d
dã
ãy
y
s
s
-
-
G
Gi
i
i
i
c
cá
ác
c
h
h
t
th
h
c
c
t
tr
ru
uy
y
h
h
i
i
v
va
an
nh
ho
oa
a@
@l
lq
qd
dq
qt
t.
.c
co
om
m
T
Tr
ra
an
ng
g
1
1
1
10
0/
/1
1/
/2
20
00
08
8
Copyright 2008 vanhoa
Knowledge is power
Chuyên 
I. S lc v dãy s và quan h truy hi trong toán hc
Trong toán hc, dãy s là mt danh sách (hu hn hoc vô hn) lit kê các s theo mt th t nào ó.
Quan h truy hi là mt ng thc biu din dãy s mt cách  quy, mi phn t ca dãy c xác
nh bi mt hàm s ca các phn t trc.
Mt s quan h truy hi c xác nh mt cách n gin có th có nhng c tính ht sc phc tp,
thnh thong c nghiên cu bi các nhà vt lý hc và thnh thong li c nghiên cu bi các nhà
toán hc v mt lp ca toán hc c bit n vi cái tên gii tích phi tuyn. Phn này khá phc tp
và không ng dng nhiu chng trình THPT nên s không c  cp chuyên  này.
Mt cách t ng quát, h thc
(
)
(
)
( 1), ( 2),..., ( 1)
f n k g f n k f n k f n
+ = + − + − +
(B.1)
là mt h thc truy hi bc k. Công thc trên còn có th c viêt di dng:
(
)
1 2 1
, ,...,
n k n k n k n
f g f f f
+ + − + − +
=
Gii mt h thc truy hi có ngh!a là tìm mt hàm s không  quy theo bin n n gin nht.
II. Gii h thc truy hi
" chuyên  này chúng ta s ch xét 4 phng pháp c bn:
• Phng pháp th
• Phng pháp quy np
• Phng pháp s dng nghim c trng
• Phng pháp s dng hàm sinh
1. Phng pháp th
Trong phng pháp th  gii các h thc truy hi cho
( )
, s truy hi ca
( )
f n
c s dng lp
i lp li nhiu ln  loi b# mi giá tr ca
()
f
v phi. $ hiu rõ hn phng pháp này, ta hãy xét
mt s ví d.
Ví d II.1.1 Xét dãy s
(
)
n
t
xác nh nh sau:
1
*
2 1
| 0
|
n
n
c n
tc t n
−
=
=+ ∈
(II.1.1)
Nu
2
n
>
thì
1 2 2
n n
t c t
− −
= + , nu
3
n
>
thì
2 2 3
n n
t c t
− −
= + ,… Nhng ng thc này là h qu trc tip
ca (II.1.1) và c dùng  xác nh biu thc không truy hi cho
n
t
:
2 1
2 2 2
2 2 2 3
2 0
2 1
...
,
n n
n
n
t c t
c c t
c c c t
nc t
nc c n
−
−
−
= +
= + +
= + + +
=
= +
= + ∈
Nên chúng ta có th th%y r&ng 2 1,
n
t nc c n
= + ∈
V
Va
an
nH
Ho
oa
a
C
Ch
hu
uy
yê
ên
n
d
dã
ãy
y
s
s
-
-
G
Gi
i
i
i
c
cá
ác
c
h
h
t
th
h
c
c
t
tr
ru
uy
y
h
h
i
i
v
va
an
nh
ho
oa
a@
@l
lq
qd
dq
qt
t.
.c
co
om
m
T
Tr
ra
an
ng
g
2
2
1
10
0/
/1
1/
/2
20
00
08
8
Ví d II.1.2 Xét h thc truy hi:
( )
*
| 1
| , 2
c n
t n n
at nc n n
b
=
=
+ ∈ ≥
(II.1.2)
vi n là l'y th(a ca b.
Gi s r&ng ,
k
n b k
= ∈
. Gii (II.1.2) b&ng phng pháp th cho ta:
( )
2
2
2
2
3 2
2
3
3
2
3
4 4
4
4
1
1
1
n
t n at nc
b
n n
a at c nc
b b
n a
a t nc nc
b b
n n a
a at c nc
b b b
n a a
a t nc nc
b b b
n n a a
a at c nc
b b b b
n
a t b
= +
= + +
= + +
= + + +
= + + +
= + + + +
=
( )
3 2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
...
1
i
k
k
k
i
i
k
k
i
i
k
k
i
k i
k
i
i
a a a
nc b b b
n a
a t nc
b b
a
a t nc b
a
a c nc b
a a
nc nc
b b
a
nc b
−
=
−
=
−
=
−
=
+ + + +
=
= +
= +
= +
= +
=
0
k
i=
Khi
a b
=
,
0
1
i
k
i
a
k
b
=
= +
, khi
a b
≠
,
1
0
1
1
k
i
k
i
a
ab
a
b
b
+
=
−
=
−
.
V
Va
an
nH
Ho
oa
a
C
Ch
hu
uy
yê
ên
n
d
dã
ãy
y
s
s
-
-
G
Gi
i
i
i
c
cá
ác
c
h
h
t
th
h
c
c
t
tr
ru
uy
y
h
h
i
i
v
va
an
nh
ho
oa
a@
@l
lq
qd
dq
qt
t.
.c
co
om
m
T
Tr
ra
an
ng
g
3
3
1
10
0/
/1
1/
/2
20
00
08
8
Vy, ta c:
( )
(
)
1
1 |
1
, log
|
1
k
b
nc k a b
a
t n k n
b
nc a b
a
b
+
+ =
−
= =
≠
−
Xét h thc
( ) ( )
*
|
n
t n at g n n
b
= + ∈
(I.1.3)
vi a và b là nhng h&ng s ã bit. Gi s r&ng
(
)
1
t
ã c bit. Rõ ràng, (I.1.3) tr thành (I.1.2)
khi
(
)
1
t c
=
và
(
)
g n nc
=
. Li s dng phng pháp th, ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
1
0
...
1
k
k i
i
i
n
t n at g n
b
n n
a at g g n
b b
n n
a t ag g n
b b
n
a t a g b
−
=
= +
= + +
= + +
=
= +
Vi
log
b
k n
=. $ng thc này có th c làm n gin hn nh sau:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
1
0
1
1
1
1
k
k i
i
i
k
k i k i
i
k
k j j
j
n
t n a t a g b
a t a g n
a t a g b
−
=
−
−
=
−
=
= +
= +
= +
Do
log log
b b
n a
k
a a n= = , nên biu thc cho
(
)
t n
tr thành:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
log
1
log
log
1
log
1
1
1
1
b
b
b
b
k
aj j
j
j
k
a
a
j
j
k
aj
j
t n n t a g b
g b
n t
b
n t h b
−
=
=
=
= +
= +
= +
V
Va
an
nH
Ho
oa
a
C
Ch
hu
uy
yê
ên
n
d
dã
ãy
y
s
s
-
-
G
Gi
i
i
i
c
cá
ác
c
h
h
t
th
h
c
c
t
tr
ru
uy
y
h
h
i
i
v
va
an
nh
ho
oa
a@
@l
lq
qd
dq
qt
t.
.c
co
om
m
T
Tr
ra
an
ng
g
4
4
1
10
0/
/1
1/
/2
20
00
08
8
Vi
( )
(
)
( )
logb
j
j
a
j
g b
h b
b
=. Vy cui cùng biu thc cho
(
)
t n
ca chúng la là
(
)
(
)
(
)
(
)
log 1
ba
t n n t f n
= + vi
( )
( )
( )
1
k
j
j
f n h b
=
=. Xét mt s tr)ng hp riêng ca (II.1.3):
•
1, 2, ( )
a b g n c
= = =
cho ta
( )
2
n
t n t c
= +
, lúc này
log 0
ba
=
và
( )
(
)
logba
g n
h n c
n
= =
. T( công
thc trên, ta c
(
)
(
)
(
)
(
)
log
2 2
1 log 1 log
ba
t n n t c n t c n
= + = +
•
(
)
2
7, 2, 18
a b g n n
= = = cho ta
( )
2
7 18
2
n
t n t n
= +
, lúc này 2
log log 7
ba= và
( )
2
2
2
2 log 7
log 7
18 18
n
h n n
n
−
= = , công thc cho
(
)
t n
là
( ) ( )
( )
2
2
2 log 7
log 7
1
1 18 2
k
j
j
t n n t −
=
= +
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )
2 2
2
2 2
2
2 log 7 1 2 log 7
2 log 7
log 7 log 7
2 log 7
1
2 2
1 18 2 1 18 2 1
k
kj
j
n t n t
− + −
−
−
=
−
= + = +
−
.
•
(
)
6
9, 3, 4
a b g n n
= = = cho ta
( )
6
9 4
3
n
t n t n
= +
, lúc này
log 2
ba
=
và
( )
6
4
2
4
4
n
h n n
n
= = , nên
( ) ( )
( )
( )
3
log 1
4
2 2
1
81 81
1 4 3 1 20
n
k
j
j
t n n t n t
+
=
−
= + = +
2. Phng pháp quy np
Quy np là mt phng pháp kim tra hn là mt phng pháp gii. Xét các ví d:
Ví d II.2.1 Xét h thc truy hi
*
1
2 | 0
3 |
n
n
n
tt n
−
=
=+ ∈
C s cho vic quy np là, khi
0, 2
n
n t
= =
và 3n + 2 = 2. Gi s r&ng 3 2,
m
t m m
= + ∈
, chúng ta s
chng minh
(
)
1
3 1 2
m
t m
+
= + +
, iu này hin nhiên úng theo h thc truy hi.
Nh ã c  cp trên, phng pháp quy np không th dùng  tìm ra l)i gii cho mi h thc
truy hi, nó ch có th dùng  kim tra tính úng *n mt h thc.
3. Phng pháp nghim c trng
H thc truy hi ca
(
)
f n
là mt phng trình truy hi tuyn tính nu và ch nu nó có dng:
( ) ( ) ( ) ( )
1
k
i
i
f n g n f n i g n
=
= − +
vi
(
)
| 1,
i
g n i k
= và
(
)
g n
là các hàm s bin n mà không phi là hàm s bin f. H thc truy hi xác
nh nh trên là phng trình truy hi tuyn tính bc k, vi k là h&ng s và
(
)
0
k
g n
≠
. Nu
(
)
0,
k
g n n
= ∀
thì bc ca phng trình truy hi tuyn tính ó nh# hn k. Mt phng trình truy hi
tuyn tính vi h s hng là phng trình có dng:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
1 2 ... ,
k
f n a f n a f n a f n k g n n k
= − + − + + − + ≥
(II.3.1)
Vi
| 1,
i
a i n
= là h&ng s,
(
)
g n
là hàm s bin n mà không phi là hàm s bin f. (II.3.1) là mt ca
phng trình truy hi tuyn tính thun nht nu và ch nu
(
)
0
g n
≡
. Phn ln các h trc truy hi
chuyên  này ã  cp n u là phng trình truy hi tuyn tính vi h s hng.
V
Va
an
nH
Ho
oa
a
C
Ch
hu
uy
yê
ên
n
d
dã
ãy
y
s
s
-
-
G
Gi
i
i
i
c
cá
ác
c
h
h
t
th
h
c
c
t
tr
ru
uy
y
h
h
i
i
v
va
an
nh
ho
oa
a@
@l
lq
qd
dq
qt
t.
.c
co
om
m
T
Tr
ra
an
ng
g
5
5
1
10
0/
/1
1/
/2
20
00
08
8
H thc (II.1.2):
( )
*
| 1
| , 2
c n
t n n
at nc n n
b
=
=
+ ∈ ≥
vi n là l'y th(a ca b không phi là mt phng trình truy hi tuyn tính bc k vi h&ng s k nào bi
vì s xu%t hin ca
n
t
b
v phi. Tuy nhiên, vì n là l'y th(a ca b nên (II.1.2) có th vit li:
( ) ( )
1 *
| 1
|
k
k k
c n
t b at b cb k
−
=
=+ ∈
Dùng
( )
h k
 biu din
(
)
k
t b
, h thc trên tr thành:
( ) ( )
*
| 1
1 2 |
k
c n
h k ah k c k
=
=− + ∈
D th%y h thc trên là mt phng trình truy hi tuyn tính không thun nht bc 1 vi h s hng. Do
(
)
(
)
( ) k
h k t b t n
= = , vic gii h thc tuyn tính tng ng vi vic gii h thc trên.
H thc
(
)
(
)
(
)
*
1 2 | , 2
t n t n t n n n
= − + − ∈ ≥
Xác nh các s Fibonacci khi s dng iu kin
(
)
(
)
0 0, 1 1
t t
= =
. $ây là mt phng trình truy hi tuyn
tính thun nht bc 2 vi h s hng.
Nhng h thc trên có th c gii b&ng cách trc tiên xác nh mt nghim chung cho
(
)
t n
.
Nghim chung này cha mt s h s cha xác nh và vi các giá tr ca
(
)
(
)
(
)
0 , 1 ,..., 1
t t t k
−
, chúng
ta có th xác nh c các h s cha xác nh ó.
L%y ví d h thc
(
)
(
)
(
)
*
5 1 6 2 | , 2
t n t n t n n n
= − − − ∈ ≥
, nghim chung ca nó là
(
)
1 2
2 3
n n
t n c c
= +
(chúng ta s tìm hiu cách tìm nghim chung này sau), các d s cha xác nh là
1
c
và
2
c
. Nu
(
)
0 0
t
=
và
(
)
1 1
t
=
, chúng ta có th th vào
(
)
1 2
2 3
n n
t n c c
= +  xác nh
1
c
và
2
c
. Vic này cho ta
(
)
1 2
0 0
f c c
= + =
và
(
)
1 2
1 2 3 1
f c c
= + =
Do ó 1 2
1, 1
c c
= = −
. Vì vy,
(
)
2 3 , 0
n n
t n n
= − ≥
là nghim ca h thc
(
)
(
)
(
)
5 1 6 2
t n t n t n
= − − −
.
Nghim chung ca (II.3.1) có th biu din di dng t ng ca
(
)
h
f n
và
(
)
p
f n
, vi
(
)
h
f n
là nghim
chung cho phn thun nh%t ca (II.3.1):
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
1 2 ... ,
h h h k h
f n a f n a f n a f n k n k
= − + − + + − ≥
và
(
)
p
f n
là nghim riêng ca
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
1 2 ... ,
p p p k p
f n a f n a f n a f n k g n n k
= − + − + + − + ≥
Nhn th%y r&ng
(
)
(
)
h p
f n f n
+ là mt nghim ca (II.3.1). Do phng pháp ta s dùng  xác nh
(
)
p
f n
s cho chúng ta mt biu thc
(
)
p
f n
có th không phi là nghim ca phng trình
(
)
f n
. Nên
vic tìm
(
)
h
f n
 cng vào
(
)
p
f n
là iu cn thit.