Thể tích và diện tích của hình cầu n chiều - Phải chăng kích
thước vũ trụ chỉ bằng 1 điểm vô hạn chiều?
Quangnx_ltd@yahoo.com
Quả cầu đơn vị trong không gian n chiều Rn được định nghĩa là tập hợp
tất cả các điểm (x1,…,xn) sao cho:
x12 + …. + xn2 ≤ 1
Vấn đề đặt ra cho chúng ta là:
Thể tích của hình cầu đơn vị sẽ như thế nào khi số chiều thay đổi, hay nói cách
khác, với số chiều khác nhau thì giá trị thể tích, diện tích bề mặt của hình cầu đơn
vị trong từng trường hợp sẽ được tính như thế nào?
Vậy liệu rằng thể tích, diện tích bề mặt của hình cầu có hội tụ hay phân kỳ khi số
chiều của không gian tiến về vô cùng?
Bằng trực giác, chúng ta có thể nghĩ ngay rằng nếu số chiều càng ngày càng cao
thì càng có nhiều ngăn trong quả cầu dơn vị, điều đó cho thấy thể tích của hình
cầu dường như sẽ tăng lên rất, rất nhiều; và có lẽ là thể tích của chúng sẽ dần tiến
ra vô hạn..?!. Nhưng câu trả lời đúng rất thú vị và đáng ngạc nhiên bởi vì nó
khẳng định rằng trực giác của chúng ta trong trường hợp này là không chính xác.
Bằng cách sử dụng giải tích hàm nhiều biến, công thức tổng quát để tính thể tích
hình cầu đơn vị (Bán kính R = 1) trong không gian n chiều là:
V(n) = πn/2/Γ (n/2+1) (1)
Còn công thức tính diện tích bề mặt hình cầu đơn vị :
S (n-1) = n Rn-1 πn/2 / Γ( n/2 + 1) (2)
trong đó Γ() là hàm Gamma là một tích phân Euler loại 2 và cũng là trường hợp
tổng quát của hàm giai thừa Γ (s+1) = sΓ (s), Γ (1) = 1, Γ (1/2) = π1/2 , cụ thể với
n là số tự nhiên ta có:
Γ (n+1) = n! (3)
Γ (n+1/2) = π1/21.3.5…(2n – 1)/2n (4)
Ta có các trường hợp:
o Khi n chẵn, thì thể tích của hình cầu trong không gian n chiều cho bởi công
thức trên sẽ là:
Theo (3) thì V(n) = πn/2 /(n/2)!
o Khi n lẻ, n = 2k + 1, thì:
Γ(n/2 + 1) = Γ(k + 1 + ½) = π1/2 1.3.5…(2(k+1)-1)/2k+1 , và
V(n) = 2(n-1)/2 π(n-1)/2 / 1.3.5…n , mà
2(n-1)/2 /1.3.5…n = 2n ((n – 1)/2)! / n! , ta có:
V(n) = π(n-1)/2 2n ((n – 1)/2)! / n!
Lúc này, với n lẻ đủ lớn thì n! tiến đến vô cùng nhanh hơn nhiều so với
π(n-1)/2 2(n-1) ((n – 1)/2)!,
hay trường hợp n chẵn, với k đủ lớn thì (n/2)! tiến đến vô cùng nhanh hơn so với
πn/2, ví dụ :
n = 20 , V(20) = 0.0258
n = 21 , V(21) = 0.0069
n = 200, V(200) = 5.5587* 10-109 ,
tức là thể tích V(n) → 0 khi n → ∞.
Như vậy, trong không gian với số chiều rất rất lớn, thì bạn chỉ có thể nhét 1 vật
rất, rất nhỏ vào trong quả cầu đơn vị, hay nói các khác: “Một hình cầu đơn vị vô
hạn chiều có bán kính R = 1 nhưng thể tích của nó chỉ bằng 1 điểm”.
Vậy là trong không gian có số chiều N càng lớn hơn 5 thì thể tích của quả cầu đơn
vị sẽ nhỏ hơn thể tích quả cầu có cùng bán kính trong không gian có số chiều nhỏ.
Thật quá thú vị phải không bạn !? Ta thử tính chi tiết, với:
Áp dụng:
N = 1: V(1) = 2
N = 2: V(2) = π = 3.1416
N = 3: V(3) = 4 π/3 = 4.1887
N = 4: V(4) = π2 /2 = 4.9348
N = 5: V(5) = 8π2 / 15 = 5.2637
Thể tích hình cầu đơn vị tăng dần lên đến không gian 5 chiều (Max), sau đó từ
không gian 6 chiều thể tích bắt đầu giảm nhanh theo số chiều
N = 6: V(6) = π3 /6 = 5.1677
N = 7: V(7) =16 π3 /105 = 4.7247
N = 8: V(8) = π4 /24 = 4.0587
N = 9: V(9) = 32π4 /945 = 3.2985
N = 10: V(10) = π5 /120 = 2.5501
N = 20: V(20) = π10 /10! = 0.0258
V(n) = πn/2/Γ (n/2+1)
n lẻ: V(n) = π(n-1)/2 2n ((n – 1)/2)! / n!
n chẵn: V(n) = πn/2 /(n/2)!
N = 200: V(200) = π100 /100! = 5.5588*10-109
Đối với diện tích mặt cầu đơn vị
Áp dụng:
N = 1: S(0) = 2
N = 2: S(1) = 2π = 6.28
N = 3: S(2) = 4π = 12.56
N = 4: S(3) = 2π2 = 19.73
N = 5: S(4) = 8 π2 /3 = 26.31
N = 6: S(5) = π3 = 31.00
N = 7: S(6) = 16π3 /15 = 33.07
Diện tích hình cầu đơn vị tăng dần lên đến không gian 7 chiều (Max), sau đó từ
không gian 8 chiều diện tích bắt đầu giảm nhanh theo số chiều
N = 8: S(7) = π4 /3 = 32.46
N = 9: S(8) = 32 π4 /105 = 29.68
N = 10: S(9) = π5 /12 = 25.50
N = 20: S(19) = π10/181440 = 0.51
N = 200: S(199) = 200π100/100! = 1.1117*10-105
S (n-1) = n π
n/2
/ Γ(1 + n/2)
n lẻ: S (n-1) = n π(n-1)/2 2n ((n – 1)/2)! / n!
n chẵn: S (n-1) = n πn/2 /(n/2)!
Công thức tính thể tích và diện tích của hình cầu n chiều bán kính R.
Thể tích hình cầu bán kính R cụ thể khi:
N = 1: Đường kính V1 (R) = 2R
N = 2: Diện tích hình tròn V2 (R) = πR2
N = 3: Thể tích hình cầu V3 (R) = 4πR3/3
N = 4: Thể tích hình cầu V4 (R) = π2 R4/2
N = 5: Thể tích hình cầu V5 (R) = 8π2 R5/15
N = 6: Thể tích hình cầu V6 (R) = π3 R6/6
N = 7: Thể tích hình cầu V7 (R) = 16π3 R7/105
N = 8: Thể tích hình cầu V8 (R) = π4 R8/24
Diện tích mặt cầu bán kính R cụ thể khi:
N = 1: Hằng S0 (R) = 2
N = 2: Chu vi đường tròn S1 (R) = 2πR
Vn (R) = R
n
π
n/2
/ Γ(1 + n/2)
n lẻ: Vn (R) = Rn π(n-1)/2 2n ((n – 1)/2)! / n!
n chẵn: Vn (R) = Rn πn/2 /(n/2)!
Sn-1 (R) = n R
n
-
1
π
n/2
/ Γ(1 + n/2)
n lẻ: Sn-1 (R) = nRn-1 π(n-1)/2 2n ((n – 1)/2)! / n!
n chẵn: Sn-1 (R) = nRn-1 πn/2 /(n/2)!