Chương 4: Một số bài toán đơn giản của cơ học lượng tử

Chia sẻ: Susu Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

427
lượt xem 45
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

I. Chuyển động tự do của hạt vi mô: (U = 0) Ø Xét một hạt có khối lượng m, chuyển động tự do trong không gian (U = 0). Đơn giản xét 1 chiều, lúc này hạt có xung lượng hạt có giá trị xác định.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 4: Một số bài toán đơn giản của cơ học lượng tử

Chương 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ I. Chuyển động tự do của hạt vi mô: (U = 0) Ø Xét một hạt có khối lượng m, chuyển động tự do trong không gian (U = 0). Đơn giản xét 1 chiều, lúc này hạt có xung lượng , và năng lượng E của hạt có giá trị xác định. Hàm sóng của hạt có dạng: ð hàm sóng De Broglie. Ø Hàm sóng này thỏa phương trình Schrodinger: ứng với trạng thái dừng. Hay: § Vì U = 0 nên:
§ Đặt tham số: § Ta có: (1) ð Nghi ệm của phương trình (1) có dạng: (2) § Hàm sóng có dạng (2) thỏa các điều kiện: đơn trị, liên tục và hữu hạn với mọi giá trị thực của k ü Tham số k gọi là số sóng, số sóng k và năng lượng E liên hệ với nhau: (3) ü Từ (3) thấy rằng: nếu ứng với: · một giá trị của k một giá trị E. ð Có n giá trị k có n giá trị E. ð tạo thành phổ năng lượng của hạt. ü Trong TH này vì k nhận giá trị liên tục => giá trị E liên tục => tạo ra phổ năng lượng liên tục và có dạng hàm parabol. ü Mặt khác, ta có: Nên:
v Xác suất tìm hạt tại 1 vị trí nào đó trong không gian trường: ð Kết quả này chứng tỏ rằng xác suất tìm hạt tại 1 vị trí nào đó trong không gian (tọa độ), tức là hạt không có quỹ đạo chuyển động xác định => kết quả chứng tỏ tọa độ của hạt là hoàn toàn bất định nếu như xung lượng hoàn toàn xác định. (phù hợp với nguyên lý bất định Heizenberg). II. Hạt trong hố thế năng 1 chiều: ü Ta xét chuyển động của hạt trong một vùng thế năng biến đổi như sau: Ø Hình vẽ: hố thế năng một chiều. ü Vùng có thế năng biến đổi như thế được gọi là hố thế năng, trong đó a gọi là bề rộng thế năng, và gọi là chiều cao hố thế năng. ü N ếu , hạt chuyển động tự do trong không gian, hàm sóng dạng hình sin. Tuy nhiên, số sóng ở vùng trong hố thế , ,khác với số sóng ở hai vùng còn lại, . Phổ năng lượng hạt là liên tục. ü Ta xét trường hợp: năng lượng toàn phần ð theo vật lý cổ điển trong TH này hạt chỉ chuyển động trong hố thế, không thể vượt ra ngoài được, hàm sóng ở 2 miền ngoài hố sẽ bằng 0 1. Để đơn giản, ta xét hố thế sâu vô hạn: . Tức là:
Ø Vì nên => hạt chỉ chuyển động trong hố thế mà không thể ra khỏi hố thế nên: . ü Hàm sóng trong vùng II được thỏa phương trình Schro: khi 0 < x < a (4) Trong đó: ü Nghiệm tổng quát của phương trình (4) có dạng: Ø Hay viết dưới dạng lượng giác (A, B là hằng số) Vì : ü Áp dụng tính chất của hàm sóng là liên tục tại x = 0 và x = a. Tức là: và o Khi x = 0: Vậy : o Khi x = a: ü Từ giá trị của k ta xác định được năng lượng E:
(6) ü Hàm sóng của hạt trong hố thế có dạng: (7) ü Tìm A bằng điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng, vì hạt chuyển động trong . Nên ta có: ü Hàm sóng của hạt trong hố thế 1 chiều sâu vô hạn: (8) Ø Từ kết quả của năng lượng E ở (6) và hàm sóng ở (8) của hạt vi mô trong hố thế 1 chiều, ta có nhận xét như sau: v Về năng lượng E: § Vì k gián đoạn => E gián đoạn; là đại lượng bị lượng tử hóa, và n gọi là số lượng tử n và chỉ nhận những giá trị mà ở đó (vì ).(H.vẽ các mức năng lượng của hạt vi mô trong hố thế) Tức:
§ Khoảng cách giữa các mức năng lượng của hạt tăng theo số lượng tử n và tỉ lệ nghịch với bề rộng thế năng a: o Nếu a tăng thì giảm: Ø VD1: Với các electron: § Khi : § Khi: v Về hàm sóng của hạt trong hố thế: § Mỗi trạng thái chuyển động của hạt ứng với 1 mức và được biểu diễn bằng 1 hàm sóng . § Mật độ xác suất tìm hạt: Ø Hình vẽ: (H.sóng và mật độ xsuất tìm hạt trong hố thế). Ø Nhận xét: § Tại trạng thái cực tiểu E1, xác suất tìm hạt có cực đại tại khoảng giữa hố thế và bằng không tại vách hố thế. § Khi năng lượng tăng, số các cực đại của mật độ xác suất tăng và khoảng cách giữa các cực đại gần nhau hơn.
§ Khi n tiến tới vô cùng, ta sẽ có phân bố đều giống như trong vật lý cổ điển. III. Hiệu ứng đường ngầm: ü Xét một hạt chuyển động có năng lượng E, chuyển động theo phương x tới một rào thế năng được xác định theo điều kiện sau: ü Giả thuyết: ü Theo VLCĐ, nếu của rào thế thì chỉ có chuyển động trong vùng I, không thể vượt qua vùng II để sang được vùng III. Tuy nhiên khi sử dụng cơ học lượng tử, người ta tiên đoán rằng có tồn tại 1 xác suất tìm hạt khác 0 trong vùng III. ð Hiện tượng này gọi là hiệu ứng đường ngầm. ü Nếu ta gọi R là xác suất để các electron bị phản xạ trở lại từ bờ thế. ü Gọi T là xác suất để các electron truyền qua do hiệu ứng đường ngầm. ð Ta luôn có: ð Như vậy, nếu T = 0,02 có nghĩa là trong 100 electron được bắn tới bờ thế thì có 2 electron xuyên qua đường ngầm, còn 98 electron bị phản xạ trở lại. Ø Hình vẽ: (Mật độ xsuất mô tả sóng vật chất của các electron trong đường ngầm). Ø Nhận xét: đồ thị.
ü Bằng cách giải phương trình Schrodinger đối với các vùng I, II, III trong giới hạn 1 chiều theo phương x. Ta có thể chứng minh được hệ số truyền qua T bằng: Với: v VD1: (về hiệu ứng đường ngầm) Xét 1 dây đồng được cắt ra rồi nối lại bằng cách xoắn 2 đầu lại với nhau, các dây được phủ 1 lớp mỏng oxit đồng là 1 chất cách điện, nhưng dây nối ấy vẫn dẫn điện => các electron đã xuyên đường ngầm qua bờ thế cách điện mỏng đó. v VD2: Một electron có tiến tới một bờ thế có và chiều dày . § Tính hệ số tính qua T? Ta có: Với: § Tính T nếu hạt tới là proton: ð T Rất nhỏ với hạt nặng hơn này. ð Thử tưởng tượng xem nó còn nhỏ tới mức nào nếu hạt là 1 viên thạch.