CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Để đảm bảo quyền lợi cho giáo viên đã mua tài liệu, thì nội dung file pdf này bên mình sẽ cắt giảm
đi số lượng câu hỏi so với file thực tế.
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ
I. ĐỊNH NGHĨA MẶT CẦU
Cho trước điểm
I
và số dương
R
. Mặt cầu tâm
I
bán kính
R
là tập hợp tất cả các điểm trong
không gian cách điểm
I
một khoảng bằng
R
.
Nhận xét
- Điểm
M
thuộc mặt cầu tâm
I
bán kính
R
khi và chỉ khi
IM R
.
- Điểm
M
nằm trong mặt cầu tâm
I
bán kính
R
khi và chỉ khi
IM R
.
- Điểm
M
nằm ngoài mặt cẩu tâm
I
bán kính
R
khi và chỉ khi
IM R
.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt cầu tâm
( 2;1;5)I
bán kính 3. Các điểm
(10;1;2), (0;1;4)A B
và
(0;3;4)C
nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu đó?
Giải
Do
2 2 2
(10 ( 2)) (1 1) (2 5) 153 3IA
nên điểm
(10;1;2)A
nằm ngoài mặt cầu
đó.
Vì
2 2 2
(0 ( 2)) (1 1) (4 5) 5 3IB
nên điểm
(0;1;4)B
nằm trong mặt cầu đó.
Do
2 2 2
(0 ( 2)) (3 1) (4 5) 9 3IC
nên điểm
(0;3; 4)C
nằm trên mặt cầu đó.
Trong bài hoc này, nếu không có chú ý gì thêm thì ta hiểu các bài toán đuợc xét trong không
gian với hệ toạ độ
.Oxyz
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phương trình của mặt cầu tâm
( ; ; )I a b c
bán kính
R
là:
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) .x a y b z c R
Ví dụ 2: Viết phương trình của mặt cầu, biết:
a) Tâm
(1;2;3)I
bán kính
10R
;
b) Tâm
(3; 1; 5)I
và đi qua điểm
(0;2;1)B
.
Giải
a) Phương trình của mặt cầu tâm
(1;2;3)I
bán kính
10R
là:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 100x y z
.
b) Bán kính mặt cầu là:
2 2 2
(0 3) (2 1) (1 5) 54.R IB
Phương trình của mặt cầu tâm
(3; 1; 5)I
bán kính
54R
là:
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 54x y z
.
Nhận xét
- Cho mặt cầu tâm
( ; ; )I a b c
bán kính
R
có phương trình là:
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) .x a y b z c R
Ta có thể viết phương trình đó về dạng:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 0 v?i . x y z ax by cz d d a b c R
Vậy mỗi mặt cầu đều có phương trình dạng:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
.
- Ngược lại, xét phương trình có dạng:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
.
Ta có:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
CHUYÊN ĐỀ 21. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
• Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) .
x ax a y by b z cz c a b c d
x a y b z c a b c d
Do đó, phương trình
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
xác định một mặt cầu khi và chỉ khi
2 2 2
0a b c d
. Ngoài ra, nếu
2 2 2
0a b c d
thì phương trình đó xác định mặt cầu
tâm
( ; ; )I a b c
và bán kính
2 2 2
R a b c d
.
Ví dụ 3: Mỗi phương trình sau có là phương trình mặt cầu hay không? Vì sao?
a)
2 2 2
2 2 2 2 1 0x y z x y z
;
b)
2 2
2 6 8 3 0x y x y z
.
Giải
a) Phương trình
2 2 2
2 2 2 2 1 0x y z x y z
không phải là phương trình của một mặt
cầu vì các hệ số của
2
x
và
2
y
khác nhau.
b) Phương trình
2 2
2 6 8 3 0x y x y z
không phải là phương trình của một mặt cầu vì
không có biểu thức
2
z.
Ví dụ 4: Phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu? Tìm tâm và bán kính của mặt cầu
(nếu có).
a)
2 2 2
4 10 2 14 0x y z x y z
;
b)
2 2 2
2 4 6 20 0x y z x y z
.
Giải
a) Ta có:
2 2 2
4 10 2 14 0x y z x y z
2 2 2
2 2 2
2 2 2 5 2 1 14 0
( 2) ( 5) ( 1) 16.
x y z x y z
x y z
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm
(2; 5;1)I
bán kính
16 4R
.
b) Ta có:
2 2 2
2 4 6 20 0x y z x y z
2 2 2
2 2 2
2 1 2 2 2 3 20 0
( 1) ( 2) ( 3) 6 0.
x y z x y z
x y z
Vậy phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.
III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG THỰC TIỄN
Phương trình mặt cầu có nhiều ứng dụng trong thực tiễn như trong thiết kế xây dựng, tính toán
các yếu tố kĩ thuật,... Ta sẽ tìm hiểu qua một số ví dụ dưới đây.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
(đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng
điện thoại di động được đặt ở vị trí
( 3; 2;7)I
.
a) Sử dụng phương trình mặt cẩu để mô tả ranh giối bên ngoài của vùng phủ sóng trong không
gian, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là
3 km
.
b) Điểm
( 2;1;8)A
nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoại ở điểm
( 2;1;8)A
thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?
c) Điểm
(2;3; 4)B
nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoại ở điểm
(2;3; 4)B
thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?
Giải
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giối bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là:
2 2 2
( 3) ( 2) ( 7) 9.xyz
b) Ta có:
2 2 2
[ 2 ( 3)] (1 2) (8 7) 3 3IA
.
Vì
IA R
nên điểm
A
nằm trong mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm
( 2;1;8)A
có thể
sử dụng dịch vụ của trạm này.
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
c) Ta có:
2 2 2
[2 ( 3)] (3 2) (4 7) 35 3IB
.
Vì
IB R
nên điểm
B
nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm
(2;3;4)B
không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
(đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được
đặt ở vị trí
(21;35;50)I
.
a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng,
biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là
4 km
.
b) Nếu người đi biển ở vị trí
(42;37;0)C
thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng
hay không?
c) Nếu người đi biển ở vị trí
(5121;658;0)D
thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải
đăng hay không?
Giải
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng
là:
2 2 2 2
( 21) ( 35) ( 50) 4000 .xyz
b) Ta có:
2 2 2
(42 21) (37 35) (0 50)IC
2945 4000.
Vì
IC R
nên điểm
C
nằm trong mặt cẩu. Vậy người đi biển ở điểm
(42;37;0)C
thì có thể
nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
c) Ta có:
2 2 2
(5121 21) (658 35) (0 50)ID
26400629 4000.
Vì
ID R
nên điểm
D
nằm ngoài mặt cầu.Vậy người đi biển ở điểm
(5121;658;0)D
không
thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Dạng 1. Viết phương trình mặt cầu
Dạng 1. Cơ bản
2 2 2 2
( ) : ( ) : ( ) ( ) ( ) .
( ; )
:
;
âm I a bT
S S x a y b z c R
BK R
c
Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu
( )S
có tâm
I
và đi qua điểm
.A
Phương pháp:
( ): :
âm IT
S
BK R IA
(dạng 1)
Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu
( )S
có đường kính
,AB
với
, A B
cho trước.
Phương pháp:
( ) : 1
: 2
R
âmT
SBK AB
I
Dạng 4. Viết phương trình mặt cầu
( )S
có tâm
I
và tiếp xúc với các trục và mp tọa độ.
Phương pháp:
( ) : :
âm IT
SBK R IM
Dạng 5. Viết phương trình mặt cầu
( )S
có tâm
I
và tiếp xúc với mặt phẳng
( ).P
là trung điểm của
.
AB
với M là hình chiếu của
I
lên trục hoặc mp tọa
độ.
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Phương pháp:
( ) : ;( )
:
T
SB I
âm I
K R d P
Khoảng cách từ điểm
( ; ; )
M M M
M x y z
đến mặt phẳng
( ): 0P ax by cz d
được xác định
bởi công thức: 2 2 2
( ;( ))
M M M
ax by cz d
d M P a b c
Dạng 6. Viết phương trình mặt cầu
( )S
đi qua bốn điểm
, , , .A B C D
Phương pháp: Gọi
2 2 2
( ): 2 2 2 0S x y z ax by cz d
Vì
, , , ( )A B C D S
nên tìm được 4 phương trình
, , , ( ).a b c d S
Dạng 7. Viết phương trình mặt cầu
( )S
đi qua 3 điểm
, , A B C
và tâm thuộc mp
( ).P
Phương pháp: Gọi
2 2 2
( ): 2 2 2 0S x y z ax by cz d
Vì
, , ( )A B C S
nên tìm được 3 phương trình và
( ; ; ) ( )I a b c P
là phương trình thứ tư.
Giải hệ bốn phương trình này
, , , ( ).a b c d S
Dạng 8. Viết phương trình mặt cầu
( )S
có tâm
I
và cắt mặt phẳng
( )P
theo giao tuyến
là một đường tròn có bán kính
.r
(dạng này mình sẽ đưa vào bài phương trình mặt phẳng,
các bạn học cũng có thể tự tìm để hiểu hơn)
Phương pháp: Dựa vào mối liên hệ
2 2 2
[ ;( )]I P
R d r
và cần nhớ
2C r
và
2
t
.S r
đ
Câu 1. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương
trình mặt cầu có tâm
1; 4;3I
và đi qua điểm
5; 3;2A
.
Câu 2. (Chuyên Sơn La -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
1;1;1A
và
1; 1;3B
. ViẾt
phương trình mặt cầu có đường kính
AB
Câu 3. (Việt Đức Hà Nội 2019) Viết phương trình mặt cầu
S
tâm
2;1;0A
, đi qua điểm
B
?
Câu 4. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội -2019) Gọi
S
là mặt cầu đi qua
4
điểm
2;0;0 , 1;3;0 , 1;0;3 , 1;2;3A B C D
. Tính bán kính
R
của
S
.
Câu 5. (Sở Bình Phước - 2018) Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho phương trình
2 2 2 2
2 2 4 2 5 9 0x y z m x my mz m
. Tìm các giá trị của
m
để phương trình trên là
phương trình của một mặt cầu.
NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT
Dạng 2. Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu, đường thẳng
Vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)
Cho mặt cầu ( ; )S I R và mặt phẳng ( ).P
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
I
lên ( )P
và có
d IH
là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ).P Khi đó:
Nếu
:d R
Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.
Nếu
:d R
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
Lúc đó ( )P là mặt phẳng tiếp diện của ( )S và
H
là tiếp điểm.
Nếu
:d R
mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu theo thiết diện
là đường tròn có tâm
H
và bán kính
2 2
.r R IH
H
I
A
R
r
d
P
P
M
2
M
1
H
I
R
R
I
H
P
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Viết phương trình mặt ( ) ( ) : 0P Q ax by cz d và tiếp xúc với mặt cầu ( ).S
Phương pháp:
Vì ( ) ( ) : 0 ( ) : 0.P Q ax by cz d P ax by cz d
Tìm tâm
I
và bán kính
R
của mặt cầu.
Vì ( )P tiếp xúc ( )S nên có
;( )
.
I P
d R d
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết mặt cầu
S
có tâm
1;2;1I
và tiếp xúc với mặt
phẳng
P
: 2 2 2 0x y z
Câu 12. (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019) Viết phương trình mặt cầu tâm
3; 2;4I
và tiếp xúc với
Câu 13. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 6 5 0S x y z x y z
.
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với
S
và song song với mặt phẳng
: 2 2 11 0P x y z
Câu 14. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
:2 2 1 0P x y z
và điểm
1; 2;0M
. Mặt cầu tâm
M
, bán kính bằng
3
cắt phẳng
P
theo
giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?
Câu 15. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1;( )2;1I
và mặt phẳng ( )P có phương trình 2 2 8 0x y z . Viết phương trình mặt cầu tâm
I
và tiếp xúc với
mặt phẳng ( )P
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình của mặt cầu có tâm
0;1;3I
và tiếp
xúc với mặt phẳng
( ) :2 2 2 0?P x y z
NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT
Dạng 3. Một số bài toán liên quan đến mặt cầu (tiếp tuyến, khoảng cách,…)
Câu 29. (Mã 104 - 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2
2 2
: 1 5S x y z
. Có tất cả
bao nhiêu điểm
, ,A a b c
(
, ,a b c
là các số nguyên) thuộc mặt phẳng
Oxy
sao cho có ít nhất hai tiếp
tuyến của
S
đi qua
A
và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
Câu 30. (Mã 102-2023) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 1 4
S x y z
và đường thẳng
d
đi qua
1; 0; 2A
, nhận
1; ; 4u a a
( với
a
) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng
d
cắt
S
tại hai điểm phân biệt mà tiếp diện của
S
tại hai
điểm đó vuông góc với nhau. Tính
2
a
NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT
Dạng 4. Ứng dụng
Câu 32. Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt đất phẳng. Tâm quả
bóng cách mặt đất 10 m. Chọn hệ trục toạ độ
Oxyz
có gốc toạ độ
O
là hình chiếu vuông góc của tâm quả
cầu trên mặt đất, tia
Oz
chứa tâm của quả cầu, các trục
,Ox Oy
thuộc mặt đất như hình vẽ. Viết phương
trình của mặt cầu bề mặt quả bóng.