UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo LỚP 9 THCS năm học 2008 - 2009
Môn : toán
Đáp án và thang điểm:
Bài Câu Nội dung Điểm
1 (4 điểm)
1.1
(2 đ)
2 4 5 21 80
10 2
A
2
21 80 1 4 5 2 5 1 2 5
5 21 80 6 2 5 1 5
2
5 1
2 3 5 6 2 5
1
2( 5 1) 5 1 5 1
A
0,5
0,5
1,0
1.2
(2 đ)
2 2
6 18 0
x x x x
.
Điều kiện để phương trình có nghĩa: 2
6 0
x x
Đặt
2 2 2
6 0 18 12 0
t x x t x x t t
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2
12 0 0 3 ( 4 0
t t t t t
loại)
2 2
1 2
1 61 1 61
3 6 9 0 15 0 ;
2 2
t x x x x x x
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 1,2
1 61
2
x
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
2 (3 điểm)
2.1
3 2
1 3 1 4 1 0 (1)
m x m x x m
3 2 2
1 1 4 4 1 0
m x m x mx x m
2 2
1 1 4 1 1 0
m x x m x x
2
1 1 4 4 1 0
x m x mx m
0,5
0,5
0,25
2.2 Ta có:
2
2
1 1 4 4 1 0
1 ( )
( ) 1 4 4 1 0 ( )
x m x mx m
x a
g x m x mx m b
0,5
1
Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (b) phải có hai
nghiệm phân biệt khác 1, tương đương với:
1
1
1 1
' 1 3 0 1, 0,
3 3
(1) 0 9 0
m
m
m m m m m
gm
(*)
Với điều kiện (*), phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có một
nghiệm x = 1 > 0 và hai nghiệm còn lại x1 và x2 (x1 < x2 ) là nghiệm của (b).
Do đó để (1) có 3 nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm âm thì x1 < x2 <0,
tương đương với:
1 2
1 2
4 1 1
01
1
11
4
4
4
1 0
0
1
m
P x x m hay m
mm hay m
mm hay m
S x x m
(**).
Kết hợp (*) và (**) ta có: Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, trong
đó có hai nghiệm âm thì cần và đủ là:
1 1
1
4 3
m hay m
0,25
0,50
0,25
0,25
3 (4,0 điểm)
3.1 Ta có:
2
2 2 2 2
2 2
2 4 4
a b a ab b a ab b
ab ab
2
0, ,
4
a b a b
R
Vậy:
2
2
, , 4 , ,
2
a b ab a b a b ab a b
R R
Dấu đẳng thức xảy ra khi
a b
0,25
0,25
0,25
0,25
Theo kết quả câu 3.1, ta có:
2 2 4
a b c a b c a b c
mà
1
a b c
(giả thiết)
nên:
2
1 4 4
a b c b c a b c
(vì a, b, c không âm nên b + c không
âm)
Nhưng:
2
4
b c bc
(không âm)
Suy ra: 16
b c abc
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
1 1
,
4 2
a b c b c a
b c
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
3.2 Ta có:
3 3
6 6 2 2
sin cos sin sP co
2 2 4 2 2 4
sin cos sin sin cos cosP
0,25
2
2
2 2 2 2 2 2
sin cos 3sin cos 1 3sin cos
P
áp dụng kết quả câu 3.1, ta có:
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
sin cos 4sin cos 1 4sin cos sin cos
4
Suy ra: 2 2
3 1
1 3sin cos 1
4 4
P
Do đó: min
1
4
P
khi và chỉ khi: 2 2
sin cos sin cos
(vì
là góc
nhọn)
0
sin
1 1 45
cos
tg
0,25
0,25
0,25
0,5
4 (6,0 điểm)
4.1.a + Ta có: BD = BF, CD = CE
và AE = AF (Tính chất của
hai tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó:
, ,
BC x y AC y z
AB x z
Theo định lí Pytago:
222
BC AB AC
2 2 2
x y x z y z
2
2 2 2
xy z x y z xy z x y z
(a)
0,5
0,5
0,5
4.1.b
Gọi
r
là bán kính, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có:
1 1 1 1
2 2 2 2
ABC
S AB AC BC r CA r AB r x y z r
(b)
Tứ giác AEIF có 3 góc vuông, nên là hình chữ nhật.
Nhưng AE = AF (cm trên), nên AEIF là hình vuông,
Do đó:
z EI r
(c)
Từ (a), (b), (c) suy ra: 2 2
AB AC xy AB AC DB DC
0,5
0,5
0,5
4.2 + Theo giả thiết: 2
AM MC
và 2
AN NC
Suy ra:
2 2
//
3 3
AM AN MN AM
MN BC
AC AB BC AC
.
+ Gọi E là giao điểm của BM và CN, theo định lí Ta-lét,
ta có:
2
3
EM EN MN
EB EC BC
.
Gọi BK là đường cao hạ từ B của tam giác ABC, ta có:
1
23 3
1
2
ABC
ABC BCM
BCM
AC BK
SAC S S
S CM
CM BK
0,5
0,5
1,0
3
2
3 5 5
5 3 12
BEC
BMC BEC
BMC
S
BE a
S S
S BM
Vậy:
2
5
4
ABC
a
S
0,5
0,5
5 (3,0 điểm)
5.1 + Gọi số ô tô lúc đầu là
x
( x nguyên và x 2)
Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1.
+ Theo giả thiết: Nếu số xe là
1
x
thì số học sinh phân phối đều cho tất cả
các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y 30).
+ Do đó ta có phương trình:
22 1 23
1 22 1 22
1 1
x
x y x y
x x
0,25
0,25
0,5
+ Vì x và y đều là số nguyên dương, nên
1
x
phải là ước số của 23.
Mà 23 nguyên tố, nên:
1 1 2
x x
hoặc
1 23 24
x x
Nếu
2
x
thì
22 23 45 30
y
(trái giả thiết)
Nếu
24
x
thì
22 1 23
y
< 30 (thỏa điều kiện bài toán).
+ Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là:
22 24 1 23 23 529
học sinh.
0,25
0,25
0,25
0,25
5.2 + Tấm bìa hình chữ nhật
1 5
có diện
tích là 5 (đvdt).
Để cắt hình chữ nhật thành các mảnh
ráp thành hình
vuông, thì cạnh
của hình vuông bằng
5
, bằng độ dài cạnh huyền của
tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có kích thước là 1
và 2 có diện tích bằng 1 (đvdt).
+ Do đó nếu cắt hình chữ nhật
1 5
theo đường chéo của
2 hình chữ nhật AEFD và GBCH, và cắt theo 2 đường
EF và GH xong ráp lại thì được hình vuông MNPQ như hình bên.
1,0
4