Đ THI TH Đ I H C S 194Ề Ử Ạ Ọ Ố
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m).Ầ Ấ Ả ể
Câu I (2,0 đi mể). Cho hàm s ố
2 3
2
x
yx
−
=−
.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. G i I là giao đi m c a hai đ ng ti m c n. Tìm đi m M thu c (C) bi t r ng ti p tuy n c a (C) t i Mọ ể ủ ườ ệ ậ ể ộ ế ằ ế ế ủ ạ
c t cácắ
đ ng ti m c n t i A và B sao cho di n tích đ ng tròn ngo i ti p tam giác IAB b ng ườ ệ ậ ạ ệ ườ ạ ế ằ
2
π
.
Câu II ( 3,0 đi m).ể
1. Gi i ph ng trình l ng giác:ả ươ ượ
4cos 3 cos 2 sin 2 3x x x− = +
2. Gi i h ph ng trình :ả ệ ươ
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y
+ + + =
+ + + + =
.
3. Tính tích phân:
2
0
2
π
− +
=−
x cosx(cosx sinx) cos x
I dx
cosx sinx
.
Câu III (1,0 đi m).ể Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A và D, AB = AD =ạ
2a, CD = a, góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 60ữ ặ ẳ ằ o. G i I là trung đi m c nh AD.Bi t haiọ ể ạ ế
m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD). Tính th tích kh i chóp S.ABCD. ặ ẳ ớ ặ ẳ ể ố
Câu IV (1,0 đi m). ểCho x,y
[ ]
2012;2013
và
x y
.Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c :ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ
P=
2 2
2
( ) ( )
x y x y
xy
++
.
II. PH N RIÊNG (3,0 đi m).Ầ ể Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B).ỉ ượ ộ ầ ầ ặ
A.Theo ch ng trình Chu n.ươ ẩ
Câu V.a ( 2,0 đi m).ể
1. Trong m t ph ng v i h to đ ặ ẳ ớ ệ ạ ộ Oxy, hãy vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ế ươ ạ ủ ABC bi t tr c tâmế ự
, chân đ ng cao h t đ nh ườ ạ ừ ỉ B là
(0; 2)K
, trung đi m c nh ể ạ AB là
(3;1)M
.
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz,ớ ệ ạ ộ vi t ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua M(1;1;1), c t đ ngế ươ ườ ẳ ắ ườ
th ng ẳ
( )
1
2 1
:3 1 2
+ −
= = −
x y z
d
và vuông góc v i đ ng th ngớ ườ ẳ
= − +
= −
= +
x t
d y t
z t
2
2 2
( ): 5
2
(
t R
).
Câu VI.a ( 1,0 đi m). ểGi iả ph ng trình: ươ
xx 32 log)1(log =+
B.Theo ch ng trình Nâng cao.ươ
Câu V.b ( 2,0 đi m)ể.
1. Trong m t ph ng to đ (Oxy), cho tam giác ABC bi t có A(1;1) bi t đ ng th ng qua trung đi m c nh ABặ ẳ ạ ộ ế ế ườ ẳ ể ạ
và AC có ph ng trình x -2y -4=0.Đ ng trung tuy n k t A có ph ng trình:3x+2y-5=0 .Tìm toa đ đ nh B,Cươ ườ ế ẻ ừ ươ ộ ỉ
bi t di n tích tam giác ABC b ng ế ệ ằ
20
và đi m B có hoành đ d ng.ể ộ ươ
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, vi t ph ng trình đ ng th ng (d) vuông góc v i m t ph ngớ ệ ạ ộ ế ươ ườ ẳ ớ ặ ẳ
(P):
1 0+ + − =x y z
đ ng th i c t c hai đ ng th ng ồ ờ ắ ả ườ ẳ
( )
1
1 1
:2 1 1
− +
= =
−
x y z
d
và
2
1
( ) : 1
x t
d y
z t
= − +
= −
= −
, v i ớ
t R
.
Câu VI.b ( 1,0 đi m). ểM t cái túi có 5 qu c u đ ,6 qu c u xanh.Ch n ng u nhiên 4 qu c u .Tính xácộ ả ầ ỏ ả ầ ọ ẫ ả ầ
su t đ trong 4 qu c u đó có c qu màu đ và màu xanhấ ể ả ầ ả ả ỏ
……….H tế……….
Giám th coi thi không gi i thích gì thêmị ả
C¢U NÔI DUNG ÑIEÅ
M
C©u I
(2,0
®iÓm)
1. (1,0 ®iÓm)
a) T p xác đ nh :ậ ị D = R
b) S bi n thiên:ự ế
* Ti m c n : ệ ậ
2 2
lim , lim
x x
y y
− +
= − = +
nên
2x
=
là ti m c n đ ngệ ậ ứ
lim 2 , lim 2
x x
y y
− +
= =
nên
2y
=
là ti m c n ngang.ệ ậ
*Chi u bi n thiên: ề ế
( )
2
10, 2
2
y x
x
= − < ∀
−
0,25
* B ng bi n thiênả ế
+
∞
-
∞
2
2
-
-
2
+
∞
-
∞
y
y'
x
0,25
+ Hàm s nghich bi n trên các kho ng; (-ố ế ả
; 2) và (2; +
∞
)
+C c tr : hàm s không có c c trự ị ố ự ị 0,25
c) Đ thồ ị
*V đ th :ẽ ồ ị
8
6
4
2
2
4
5
5
I
O
* Nh n xét: Đ th hàm s nh n đi m I(2;2) làm tâm đ i x ng.ậ ồ ị ố ậ ể ố ứ
0,25
2. (1,0 ®iÓm) .
2) G i ọ
( )
2 3
;2
a
M a C
a
−
� �
� �
−
� �
v i ớ
2a
. Ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i M cóươ ế ế ủ ạ
d ng: ạ
( ) ( )
2
2 3 1
22
a
y x a
aa
−
− = − −
−−
0,25
Gi s A,B l n l t là giao đi m c a ti p tuy n v i ti m c n đ ng và ti m c nả ử ầ ượ ể ủ ế ế ớ ệ ậ ứ ệ ậ
ngang. Khi đó ta tìm đ c ượ
2 2
2; 2
a
Aa
−
� �
� �
−
� �
,
( )
2 2;2B a −
( ) ( )
2
2
1
2 2 2
AB a a
= − +�−
Do tam giác IAB vuông t i I nên bán kính đ ng tròn ngo i ti p làạ ườ ạ ế
( ) ( )
2
2
1
2
22
AB
R a a
= = − + −
0,25
Vì
2 2
2 2 2
IAB
S R R
π π π
∆
= = =� �
0,25
Vì v y ậ
( ) ( )
2
2
1
2 2 1; 3
2
a a a
a
− + = = =�
−
Đáp s ố
( )
1;1M
hay
( )
3;3M
0,25
Câu II
(3 đi m)ể
1(1
đi m)ể
4cos 3 cos 2 sin 2 3x x x− = +
( )
4cos 3 1 cos 2 sin 2 0x x x− + − =�
2
4cos 2 3 cos 2sin .cos 0x x x x− − =�
( )
cos 2 3 cos sin 0x x x− − =�
cos 0
2 3 cos sin 0
x
x x
=
− − =
( )
( )
1
2
0.25
( )
12
x k
ππ
= +�
,
( )
k Z
0.25
( )
2 1 cos 6
x
π
� �
= −�� �
� �
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
− = = +� �
,
( )
k Z
0.25
V y pt đã cho có các nghi m: ậ ệ
2
x k
ππ
= +
,
2
6
x k
ππ
= +
,
( )
k Z
0.25
2
( 1 đi m)ể
H ph ng trình ệ ươ
2 2
2 2
4
2
x y x y
x y x y xy
+ + + =
+ + + + =
2 2 2
4 ( ) ( ) 2 4
2 2
x y x y x y x y xy
xy xy
� �
+ + + = + + + − =
� �
= − = −
� �
2
( ) 0
2
x y x y
xy
+ + + =
= −
0
( ) 2
1
( ) 2
x y
Ixy
x y
II xy
+ =�
= −
+ = −
= −
0,25
Gi i (I): ả(I)
2
2
2
2
x
y
x
y
=
= −
= −
=
0,25
Gi i (II) : ả(II)
1
2
2
1
x
y
x
y
=�
= −
= −
=
0,25
KL:V y h ph ng trình có 4 nghi m là:ậ ệ ươ ệ
(x;y)=
( ) ( )
( ) ( )
2; 2 ; 2; 2 ; 1; 2 ; 2;1− − − −
0,25
3
(1 đi m)ể
xcosx(cosx sinx) cos x
I dx
cosx sinx
π
− +
=−
2
0
2
=
xcosxdx (cosx sinx)dx I I
π π
+ + = +
� �
2 2
1 2
0 0
0,25
Tính
I xcosxdx
π
=2
10
Đ t ặ
u x du dx
dv cosxdx v sinx
= =
� �
� �
= =
� �
I xsinx sinxdx
π
ππ
= − = −
2
1
0
1
22
0
0,25
I (cosx sinx)dx (sinx cosx)
ππ
= + = − =
2
2
0
2
2
0
0,25
I I I π
= + = +
1 2 1
2
0,25
Câu III
(1 đi m)ểTa có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SBI ABCD
SCI ABCD SI ABCD
SI SBI SCI
⊥
⊥ ⊥�
=
G i H là hình chi u c a I lên BC.Theo đ nh lí 3 đ ng vuông góc SH ọ ế ủ ị ườ
⊥
BC.
Mà BC =
( ) ( )SBC ABCD
nên
SHI
= 60o là góc gi a hai m t ph ng (SBC) vàữ ặ ẳ
(ABCD).
0,25
2
2
2
2 2 2
1 1
( ) 2 (2 ) 3
2 2
1 1
3 . .
2 2
1 3
32 2
ABCD
IBC ABCD ICD IAB
S AD AB AC a a a a
S S S S a ID CD IA AB
a
a a a
∆ ∆ ∆
= + = + =
= − − = − −
= − − =
0,25
K CE ẻ
⊥
AB,
2
2
2 2 2 2
3
2.
23 3 5
2
5
4
IBC
a
Sa a
IH BC CE BE a a
∆
= = = =
+ +
Trong tam giác SIH vuông t i I, ta có : SI = IH.tan60ạo =
3 5 3 15
. 3
5 5
a a
=
0,25
A
B
D
C
S
E
H
I
V y ậ
3
2
.
1 3 15 3 15
.3
3 5 5
S ABCD
a a
V a= =
(đvtt).
0,25
Câu IV
(1 đi m)ểĐ t t=ặ
x
y
.Khi đó P=
2
( 1)( 1)t t
t
+ +
=f(t),khi đó f’(t)=
2
1
2 1tt
+ −
, 0,25
0,25
Vì
2012 2012
2012 2013 1 1
2013 2013
� � ��� x
x y t
y
.Ta có f’(t)>
2
2012 2013
2. 1 ( ) 0
2013 2012
+ − >
v i ớ
2012 ,1
2013
t� �
∀ � �
� �
2012;1
2013
max max ( ) (1) 4
t
P f t f
� �
� �
� �
= = =�
đ t đ c khi x=yạ ượ
0,25
2
2
2012;1
2013
2
2012 2012 2012 2013
min minf ( ) ( ) 1 1
2013 2013 2013 2012
4025 8100313
.
2012 2013
t
P t f
� �
� �
� �
� �
� �
= = = + +
� �
� �
� �
� �
=
Đ t đ c khi ạ ượ
2012
2013
x y=
0,25
Câu
V.a.1
(1 đi m)ể
+ Đ ng th ng ườ ẳ AC vuông góc v i ớHK nên nh n ậ
( 1; 2)HK = −
uuur
làm vtpt và AC đi qua K nên
( ) : 2 4 0.AC x y− + =
0,25
M
H
K
C
B
A