S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ K L KỞ Ụ Ạ Ắ Ắ
TR NG THPT NGUY N HUƯỜ Ễ Ệ Đ THI TH Đ I H C Ề Ử Ạ Ọ
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Th i gian làm bài: 180 phútờ.
PHÂN CHUNG CHO TÂT CA CAC THI SINH (7,0 điêm)
Câu I (2 điêm)
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a ham sô ả ự ế ẽ ồ ị ủ
2 1
1
x
yx
−
=−
2. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C), bi t kho ng cách t đi m I(1;2) đ n ti p tuy n b ng ế ươ ế ế ủ ế ả ừ ể ế ế ế ằ
2
.
Câu II (2 điêm)
1) Giai ph ng trình ươ
2
17
sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( )
2 2 12
x
x x x
π π
+ + = + +
2) Giai hê ph ng trình : ươ
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
− + =
− + = −
Câu III (1 điêm): Tinh tích phân: I =
4
0
tan .ln(cos )
cos
x x dx
x
π
Câu IV (1 điêm):
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A v i AB = a, các m t bên là các tam giác cân t iạ ớ ặ ạ
đ nh S. Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng t o v i m t ph ng đáy góc 60ỉ ặ ẳ ạ ớ ặ ẳ 0. Tính côsin c a góc gi a hai m tủ ữ ặ
ph ng (SAB) và (SBC) .ẳ
Câu V: (1 điêm) Cho a,b,c la cac sô d ng thoa man a + b + c = 1. Ch ng minh r ng: ươ ứ ằ
3
a b b c c a
ab c bc a ca b
+ + +
+ +
+ + +
PHÂN RIÊNG (3 điêm) Thi sinh chi đ c lam môt trong hai phân (phân A hoăc B) ươ
A. Theo ch ng trinh Chuânươ
Câu VI.a (1 điêm)
Trong măt phăng toa đô Oxy cho điêm A(1;1) và đ ng th ng ườ ẳ
∆
: 2x + 3y + 4 = 0.
Tim t a đ đi m B thu c đ ng th ng ọ ộ ể ộ ườ ẳ
∆
sao cho đ ng th ng AB và ườ ẳ
∆
h p v i nhau góc 45ợ ớ 0.
Câu VII.a (1 điêm): Trong không gian v i hê toa đô Oxyz, cho điêm M(1;-1;1) ơ
va hai đ ng th ng ườ ẳ
1
( ) : 1 2 3
x y z
d
+
= =
− −
và
Ch ng minh: điêm M, (d), (d’) cung năm trên môt măt phăng. Viêt ph ng trinh măt phăng đo.ư ươ
Câu VIII.a (1 điêm)
Gi i ph ng trinh: ả ươ
2 2
2(24 1)
(24 1) (24 1)
log log
+
+ +
+ =
x
x x x x
log x x x
Theo ch ng trinh Nâng caoươ
Câu VI.b (1 điêm)
Trong măt phăng toa đô Oxy cho đ ng tron ươ
2 2
( ) : 1C x y+ =
, đ ng thăng ươ
( ) : 0d x y m
+ + =
. Tim
m
đê
( )C
căt
( )d
tai A va B sao cho diên tich tam giac ABO l n nhât. ơ
Câu VII.b (1 điêm)
Trong không gian v i hê toa đô Oxyz, cho ba m t ph ng:ơ ặ ẳ
(P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0
và đ ng th ng ườ ẳ
1
∆
:
2
2
−
−
x
=
1
1+y
=
3
z
. G i ọ
2
∆
là giao tuy n c a (P) và (Q).ế ủ
Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) vuông góc v i (R) và c t c hai đ ng th ng ế ươ ườ ẳ ớ ắ ả ườ ẳ
1
∆
,
2
∆
.
Câu VIII.b (1 điêm) Gi i b t ph ng trình: logả ấ ươ x( log3( 9x – 72 ))
≤
1
----------Hêt---------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐI MỂ
Câu - ý N i dungộĐi mể
1.1 *T p xác đ nh :ậ ị
{ }
\ 1D
=
ﾡ
*Tính
2
1
' 0
( 1)
y x D
x
−
= < ∀
−
Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng ố ị ế ả
( ;1)
−
và
(1; )
+
*Hàm s không có c c tr ố ự ị
*Gi i h n ớ ạ
1x
Lim y
+
= +
1x
Lim y
−
= −
2
x
Lim y
+
=
2
x
Lim y
−
=
Đ th có ti m c n đ ng :x=1 , ti m c n ngang y=2 ồ ị ệ ậ ứ ệ ậ
*B ng bi n thiên ả ế
*V đ th ẽ ồ ị
0.25
0.25
0.25
0.25
1.2 *Ti p tuy n c a (C) t i đi m ế ế ủ ạ ể
0 0
( ; ( )) ( )M x f x C
có ph ng trình ươ
0 0 0
'( )( ) ( )y f x x x f x= − +
Hay
2 2
0 0 0
( 1) 2 2 1 0x x y x x
+ − − + − =
(*)
*Kho ng cách t đi m I(1;2) đ n ti p tuy n (*) b ng ả ừ ể ế ế ế ằ
2
0
4
0
2 2 2
1 ( 1)
x
x
−=�+ −
gi i đ c nghi m ả ượ ệ
0
0x=
và
0
2x=
*Các ti p tuy n c n tìm : ế ế ầ
1 0x y
+ − =
và
5 0x y
+ − =
0.25
0.25
0.25
0.25
2.1 *Bi n đ i ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ế ổ ươ ươ ươ ớ
os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0
6
c x x c x
π
− + + + =
os(2 ) 5 os( ) 3 0
3 6
c x c x
π π
+ + + + =�
2
2 os ( ) 5 os( ) 2 0
6 6
c x c x
π π
+ + + + =�
Gi i đ c ả ượ
1
os( )
6 2
c x
π
+ = −
và
os( ) 2
6
c x
π
+ = −
(lo i)ạ
*Gi i ả
1
os( )
6 2
c x
π
+ = −
đ c nghi m ượ ệ
2
2
x k
ππ
= +
và
52
6
x k
ππ
= − +
0.25
0.25
0.25
0.25
2.2 *Bi n đ i h t ng đ ng v i ế ổ ệ ươ ươ ớ
2 2 3
3 2
( ) 1
( ) 1
x xy x y
x y x xy
− = −
− − = −
*Đ t n ph ặ ẩ ụ
2
3
x xy u
x y v
− =
=
, ta đ c h ượ ệ
2
1
1
u v
v u
= −
− = −
*Gi i h trên đ c nghi m (u;v) là (1;0) và (-2;-3) ả ệ ượ ệ
*T đó gi i đ c nghi m (x;y) là (1;0) và (-1;0) ừ ả ượ ệ
0.25
0.25
0.25
0.25
3 *Đ t t=cosx ặ
Tính dt=-sinxdx , đ i c n x=0 thì t=1 , ổ ậ
4
x
π
=
thì
1
2
t
=
T đó ừ
1
1
2
2 2
1
1
2
ln lnt t
I dt dt
t t
= − =
� �
*Đ t ặ
2
1
ln ;u t dv d t
t
= =
1 1
;du dt v
t t
= = −�
Suy ra
1
2
1
2
1 1
1 1 2 1
ln ln 2
1 1
2
2 2
I t dt
t t t
= − + = − −
*K t qu ế ả
2
2 1 ln 2
2
I
= − −
0.25
0.25
0.25
0.25
4 *V hình ẽ
*G i H là trung đi m BC , ch ng minh ọ ể ứ
( )SH A B C
⊥
*Xác đ nh đúng góc gi a hai m t ph ng (SAB) , (SAC) v i m t đáy là ị ữ ặ ẳ ớ ặ
0
60SEH SFH
= =
*K ẻ
H K S B
⊥
, l p lu n suy ra góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SBC) ậ ậ ữ ặ ẳ
b ng ằ
HK A
.
*L p lu n và tính đ c AC=AB=a ,ậ ậ ượ
2
2
a
HA
=
,
0
3
tan 60 2
a
SH H F
= =
*Tam giác SHK vuông t i H có ạ
2 2 2
1 1 1 3
10
K H a
HK HS H B
= + =�
*Tam giác AHK vuông t i H có ạ
2
20
2
tan 3
3
10
a
A H
A K H K H a
= = =
3
cos 23
A K H
=�
0.25
0.25
0.25
0.25
5*Bi n đ i ế ổ
1 1
1 (1 )(1 )
a b c c
ab c ab b a a b
+ − −
= =
+ + − − − −
*T đó ừ
1 1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
V T a b c a c b
− − −
= + +
− − − − − −
Do a,b,c d ng và a+b+c=1 nên a,b,c thu c kho ng (0;1) => 1-a,1-b,1-cươ ộ ả
d ng ươ
*áp d ng b t đ ng th c Côsi cho ba s d ng ta đ c ụ ấ ẳ ứ ố ươ ượ
3
1 1 1
3. . .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
V T a b c a c b
− − −
− − − − − −
=3 (đpcm)
Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ
1
3
a b c
===
0.25
0.25
0.25
0.25
6.a *
∆
có ph ng trình tham s ươ ố
1 3
2 2
x t
y t
= −
= − +
và có vtcp
( 3;2)u
= −
ur