Hiendvtiger.violet.vn KỲ THI T T NGHI P TRUNG H C PH THÔNGỐ Ệ Ọ Ổ
Đ THI TH T T NGHI PỀ Ử Ố Ệ Môn thi: TOÁN − Giáo d c trung h c ph thôngụ ọ ổ
CODE 07 Th i gian làm bài: 150 phút, không k th i gian giao đờ ể ờ ề
------------------------------ ---------------------------------------------------
I. PH N CHUNG DÀNH CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 đi m)Ầ Ấ Ả ể
Câu I (3,0 đi m): ểCho hàm s : ố
3 2
12 3
3
y x x x= - + -
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th ả ự ế ẽ ồ ị
( )C
c a hàm s đã cho.ủ ố
2) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a ế ươ ế ế ủ
( )C
t i đi m trên ạ ể
( )C
có hoành đ b ng 4. V ti p tuy n nàyộ ằ ẽ ế ế
lên cùng h tr c to đ v i đ th ệ ụ ạ ộ ớ ồ ị
( )C
Câu II (3,0 đi m):ể
1) Gi i ph ng trình: ả ươ
1 2
9 3 18 0
x x+ +
- - =
2) Tính tích phân:
2
1
ln
ex x
I dx
x
+
=￲
3) Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s : ị ớ ấ ỏ ấ ủ ố
5 4 3
( ) 5 5 1f x x x x= - + +
trên đo n [–1;2]ạ
Câu III (1,0 đi m):ể
Cho hình chóp đ u ềS.ABCD có c nh đáy 2ạa, góc gi a m t bên và m t đáy b ng 60ữ ặ ặ ằ 0. Tính th tích c aể ủ
hình chóp.
II. PH N RIÊNG (3,0 đi m) Ầ ể Thí sinh ch đ c ch n m t trong hai ph n d i đâyỉ ượ ọ ộ ầ ướ
1. Theo ch ng trình chu nươ ẩ
Câu IVa (2,0 điêm): Trong không gian v i h to đ ớ ệ ạ ộ Oxyz, cho
(2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)A B C- - - -
.
1) Vi t ph ng trình đ ng th ng ế ươ ườ ẳ AB và ph ng trình m t ph ng (ươ ặ ẳ P) đi qua đi m ểC đ ng th iồ ờ
vuông góc v i đ ng th ng ớ ườ ẳ AB.
2) Tìm to đ hình chi u vuông góc c a đi m ạ ộ ế ủ ể C lên đ ng th ng ườ ẳ AB. Vi t ph ng trình m t c uế ươ ặ ầ
tâm C ti p xúc v i đ ng th ng ế ớ ườ ẳ AB.
Câu Va (1,0 điêm): Tìm s ph c liên h p c a s ph c ố ứ ợ ủ ố ứ z bi t r ng: ế ằ
3 9 2 11z iz i+ = +
.
2. Theo ch ng trình nâng caoươ
Câu IVb (2,0 điêm): Trong không gian v i h to đ ớ ệ ạ ộ Oxyz cho
(2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)A B C- - - -
1) Vi t ph ng trình đ ng th ng ế ươ ườ ẳ AB và tính kho ng cách t đi m ả ừ ể C đ n đ ng th ng ế ườ ẳ AB
2) Vi t ph ng trình m t c u ế ươ ặ ầ
( )S
tâm C, ti p xúc v i đ ng th ng ế ớ ườ ẳ AB. Tìm to đ ti p đi m c aạ ộ ế ể ủ
đ ng th ng ườ ẳ AB v i m t c u ớ ặ ầ
( )S
.
Câu Vb (1,0 đi m):ể Tính môđun c a s ph c ủ ố ứ z =
.
---------- H t ----------ế
Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Giám th coi thi không gi i thích gì thêm.ượ ử ụ ệ ị ả
H và tên thí sinh: ........................................ọ S báo danh: ...............................................ố
Ch ký c a giám th 1: ..................................ữ ủ ị Ch ký c a giám th 2: .................................ữ ủ ị
x
y
d
4
2
-4/ 3
O
3
BÀI GI I CHI TI TẢ Ế .
Câu I :
3 2
12 3
3
y x x x= - + -
￲ T p xác đ nh: ậ ị
D=ﾡ
￲ Đ o hàm: ạ
24 3y x x
￲= - + -
￲ Cho
2
0 4 3 0 1 ; 3y x x x x
￲= - + - = = =� �
￲ Gi i h n: ớ ạ
; lim lim
x x
y y
￲ - ￲ ￲ +￲
= +￲ = - ￲
￲ B ng bi n thiênả ế
x–￲1 3 +￲
y￲
–0 + 0 –
y
+￲0
4
3
-
–￲
￲ Hàm s ĐB trên kho ng (ố ả 1;3), NB trên các kho ng (ả–￲;1), (3;+￲)
Hàm s đ t c c đ i ố ạ ự ạ
C￑ 0y=
t i ạ
C￑ 3x=
; đ t c c ti u ạ ự ể
CT
4
3
y= -
t i ạ
CT 1x=
￲
2
2 4 0 2 3
y x x y
￲￲ = - + = = = -� �
. Đi m u n là ể ố
( )
2
3
2;I-
￲ Giao đi m v i tr c hoành: cho ể ớ ụ
3 2 0
1
0 2 3 0 3
3
x
y x x x x
￲=
￲
= - + - =� � ￲=
￲
￲
Giao đi m v i tr c tung: cho ể ớ ụ
0 0x y= =�
￲ B ng giá tr : ả ị x 0 1 2 3 4
y0
4
3
-
2
3
-
0
4
3
-
￲ Đ th hàm s : nh hình vồ ị ố ư ẽ
￲
0 0
4
43
x y= = -�
￲
0
( ) (4) 3f x f
￲ ￲
= = -
￲ V y, ti p tuy n c n tìm là: ậ ế ế ầ
4 32
: 3( 4) 3
3 3
d y x y x+ = - - = - +�
Câu II
1 2
9 3 18 0 9.9 9.3 18 0
x x x x+ +
- - = - - =�
(*)
￲ Đ t ặ
3x
t=
(ĐK: t > 0), ph ng trình (*) tr thànhươ ở
(nhan)
(loai)
22
9 9 18 0 1
t
t t t
￲=
￲
- - = ￲ ￲= -
￲
￲
￲ V i ớt = 2:
3
3 2 log 2
xx= =�
￲ V y, ph ng trình (*) có nghi m duy nh t: ậ ươ ệ ấ
3
log 2x=
.
2 2 2
1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln
e e e e
x x x x
I dx dx dx dx
x x
x x x
� �
+￲
￲￲
= = + = +
￲￲
￲￲
� �
� � � �
￲ Xét
1
11
1ln 1
ee
I dx x
x
= = =
￲
2a
60
M
O
C
B
A
D
S
￲ Xét
22
1
ln
e
x
I dx
x
=￲
￲ Đ t ặ
2
1
ln
11
u x du dx
x
dv dx v
xx
￲
￲
￲
￲￲
==
￲￲
￲￲
� �
￲
� �
� �
=
� � = -
� �
￲
￲￲
￲
￲
. Thay vào công th c tích phân t ng ph n ta đ c:ứ ừ ầ ượ
22
1
1 1
1 1 1 1 1 1 2
ln ( ) 1 1
e e
e
I x dx
x e x e e e
x
= - - - = - - = - - + = -
￲
￲ V y, ậ
1 2
2 2
1 1 2I I I e e
= + = + - = -
￲ Hàm s ố
5 4 3
( ) 5 5 1f x x x x= - + +
liên t c trên đo n [ụ ạ –1;2]
￲
4 3 2 2 2
5 20 15 5 ( 4 3)y x x x x x x
￲= - + = - +
￲ Cho
(nhan)
(nhan)
(loai)
2
2 2
2
0 [ 1;2]
5 0
0 5 ( 4 3) 0 1 [ 1;2]
4 3 0 3 [ 1;2]
x
x
y x x x x
x x x
￲= -�
￲￲
=
￲￲
￲= - + = = -� �� �
￲￲
- + =
￲￲
￲= -�
￲
￲
￲ Ta có,
5 4 3
(0) 0 5.0 5.0 1 1f= - + + =
5 4 3
(1) 1 5.1 5.1 1 2f= - + + =
5 4 3
( 1) ( 1) 5.( 1) 5.( 1) 1 10f- = - - - + - + = -
5 4 3
(2) 2 5.2 5.2 1 7f= - + + = -
￲ Trong các k t qu trên, s nh nh t là ế ả ố ỏ ấ
10-
và s l n nh t là 2ố ớ ấ
￲ V y, ậ
khi khi
[ 1;2] [ 1;2]
min 10 1; max 2 1y x y x
- -
= - = - = =
Câu III
￲ G i ọO là tâm c a m t đáy thì ủ ặ
( )SO A BCD^
nên SO là đ ng caoườ
c a hình chóp.ủ
G i ọM là trung đi m đo n ể ạ CD. Theo tính ch t c a hình chóp đ uấ ủ ề
ﾡ
0
( )
( ) 60
( ) ( )
CD SM SCD
CD OM A BCD SMO
CD SCD A BCD
￲
￲^ ￲
￲
￲
￲^ =��
￲
￲
￲= ￲
￲
￲
￲
(góc gi a m t ữ ặ
( )SCD
và m t đáy)ặ
￲ Ta có,
ﾡ ﾡ
0
tan . tan . tan 60 3
2
SO BC
SMO SO OM SMO a
OM
= = = =�
￲ V y, th tích hình chóp c n tìm là:ậ ể ầ
3
1 1 1 4 3
. . . 2 .2 . 3
3 3 3 3
a
V B h A B BC SO a a a= = = =
(đvtt)
THEO CH NG TRÌNH CHU NƯƠ Ẩ
Câu IVa: V i ớ
(2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)A B C- - - -
.
￲ Đi m trênể đ ng th ng ườ ẳ AB:
(2;1; 1)A-
￲ vtcp c a đ ng th ng ủ ườ ẳ AB:
( 6; 2;4)u A B= = - -
uuur
r
Suy ra, PTTS c a đ ng th ng ủ ườ ẳ AB:
2 6
1 2 ( )
1 4
x t
y t t
z t
￲
￲= -
￲
￲
￲= - ￲
￲
￲
￲= - +
￲
￲
￲
ﾡ
￲ M t ph ng (ặ ẳ P) đi qua đi m: ể
(1; 2;3)C-
￲ Vì
( )P A B^
nên: vtpt c a mp(ủP) là:
( 6; 2;4)n A B= = - -
uuur
r
￲ V y, PTTQ c a mpậ ủ
( )P
:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z- + - + - =
6( 1) 2( 2) 4( 3) 0
6 2 4 10 0
x y z
x y z
- - - + + - =�
- - + - =�
￲ Thay ptts c a ủAB vào PTTQ c a mp(ủP) ta đ c:ượ
6(2 6 ) 2(1 2 ) 4( 1 4 ) 10 0
1
56 26 0 0, 5
2
t t t
t t
- - - - + - + - =�
- = = =� �
￲ Thay t = 0,5 vào ph ng trình tham s c a ươ ố ủ AB ta đ c:ượ
1; 0; 1x y z= - = =
￲ V y, to đ hình chi u c n tìm là ậ ạ ộ ế ầ
( 1;0;1)H-
￲ Vì m t c u (ặ ầ S) tâm C ti p xúc v i đ ng th ng ế ớ ườ ẳ AB nên nó đi qua đi m ểH
￲ Tâm m t c u: ặ ầ
(1; 2;3)C-
￲ Bán kính m t c u: ặ ầ
2 2 2
(1 1) ( 2 0) (3 1) 2 3R CH= = + + - - + - =
￲ V y, ph ng trình m t c u: ậ ươ ặ ầ
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 12x y z- + + + - =
Câu Va:￲ Ta có,
3 9 2 11 3 2 9 11z iz i z iz i+ = + - = - +�
(1)
￲ Đ t ặ
z a bi z a bi= + = -�
, thay vào ph ng trình (1) ta đ cươ ượ
2
3( ) 2 ( ) 9 11 3 3 2 2 9 11
3 2 9 1
3 2 (3 2 ) 9 11 3 2 11 3
a bi i a bi i a bi ai bi i
a b a
a b b a i i b a b
+ - - = - + + - + = - +�
� �
� �
- = - = -
� �
- + - = - +� � �
� �
� �
- = =
� �
� �
￲ V y, ậ
1 3 1 3z i z i= - + = - -�
THEO CH NG TRÌNH NÂNG CAOƯƠ
Câu IVb: V i ớ
(2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)A B C- - - -
.
￲ Đ ng th ng ườ ẳ AB : xem bài gi i câu IVa.1 c a ch ng trình chu n.ả ủ ươ ẩ
￲ Đ ng th ng ườ ẳ AB đi qua
(2;0; 1)A-
, có vtcp
( 6; 2;4)u A B= = - -
uuur
r
(1;3; 4)CA = -
uur
. Suy ra,
3 4 4 1 1 3
[ , ] ; ; (4;20;16)
2 4 4 6 6 2
CA u
� �
- - ￲
￲￲
￲
= =
￲
￲￲
￲- - - - ￲
￲
￲
� �
uur r
￲ Áp d ng công th c kho ng cách t đi m C đ n đ ng th ng ụ ứ ả ừ ể ế ườ ẳ AB ta đ cượ
2 2 2
2 2 2
[ , ] (4) (20) (16) 572
( , ) 12 2 3
56
( 6) ( 2) (4 )
CA u
d C A B u
+ +
= = = = =
- + - +
uur r
r
M t c u ặ ầ
( )S
có tâm C ti p xúc ếAB có tâm
(1; 2;3)C-
, bán kính
( , ) 2 3R d C A B= =
￲ Ph ng trình m t c u: ươ ặ ầ
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 12x y z- + + + - =
￲ G i ti p đi m c n tìm là ọ ế ể ầ
H A B￲
thì H có to đ ạ ộ
(2 6 ;1 2 ; 1 4 )H t t t- - - +
￲ Vì
CH A B^
nên
. 0CH A B =
uuur uuur
. Gi i ra đ c ả ượ t = 0,5. Và suy ra,
( 1;0;1)H-
Câu Vb:￲ Ta có,
3 3 2 2 3 3
( 3 ) ( 3) 3.( 3) . 3. 3. 3 3 9 3 3 2 .i i i i i i i+ = + + + = + + - =
￲ V y, ậ
670
2010 3 3 670 2010 670 2010 4 167 2 2010
( 3 ) ( 3 ) (2 ) 2 . 2 .( ) . 2z i i i i i i
� �
= + = + = = = = -
� �
� �
Do đó,
2011 2010
( 3 ) 2 ( 3 )z i i= + = - +
2010 2 2 2011
2 . ( 3) 1 2z= + =�
Hiendvtiger.violet.vn