Đ thi D tr kh i Dề ự ữ ố -năm 2007
Đ IIề
Câu I: Cho hàm s ố
1x
x
y−
=
(C)
1. Kh o sát và v đ th hàm s .ả ẽ ồ ị ố
2. Vi t ph ng trình ti p tuy n d c a (C) sao cho d và hai ti m c n c aế ươ ế ế ủ ệ ậ ủ
(C) c t nhau t o thành m t tam giác cân.ắ ạ ộ
Câu II:
1. Gi i ph ng trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgxả ươ
2. Tìm m đ h ph ng trình : ể ệ ươ
=+
=−−
1xyx
0myx2
có nghi m duy nh tệ ấ
Câu III: Cho m t ph ng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và các đ ng th ngặ ẳ ườ ẳ
2
z
3
3y
2
1x
:d1=
−
−
=
−
và
5
5z
4
y
6
5x
:d2−
+
==
−
1. Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) ch a dế ươ ặ ẳ ứ 1 và (Q) ⊥ (P).
2. Tìm các đi m M ể∈ d1, N ∈ d2 sao cho MN // (P) và cách (P) m tộ
kho ng b ng 2.ả ằ
Câu IV:
1. Tính
∫
π
=
2
0
2xdxcosxI
2. Gi i ph ng trình: ả ươ
x
x
22x1
x
12
log −+=
−
.
Câu Va (cho ch ng trình THPT không phân ban):ươ
1. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiênừ ữ ố ể ậ ượ ố ự
ch n mà m i s g m 4 ch s khác nhau.ẵ ỗ ố ồ ữ ố
2. Trong m t ph ng Oxy cho các đi m A(0, 1) B(2, –1) và các đ ngặ ẳ ể ườ
th ng: dẳ1: (m – 1)x + (m – 2)y + 2 – m = 0
d2: (2 – m)x + (m – 1)y + 3m – 5 = 0
Ch ng minh dứ1 và d2 luôn c t nhau. G i P = dắ ọ 1 ∩ d2. Tìm m sao cho
PBPA +
l n nh tớ ấ
Câu Vb (cho ch ng trình THPT phân ban):ươ
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
.
2. Cho lăng tr đ ng ABCAụ ứ 1B1C1 có t t c các c nh đ u b ng a. M làấ ả ạ ề ằ
trung đi m c a đo n AAể ủ ạ 1. Ch ng minh BM ứ⊥ B1C và tính d(BM, B1C).
Bài gi iả
Câu I:
1. Kh o sát hàm s ả ố (B n đ c t gi i)ạ ọ ự ả
2. Ta có
( )
2
1
y ' 0, x 1
x 1
−
= < ∀
−
T đ th ta th y đ ti p tuy n t o v i hai ti m c n m t tam giácừ ồ ị ấ ể ế ế ạ ớ ệ ậ ộ
vuông cân ta ph i có h s góc c a ti p tuy n là –1 t c là:ả ệ ố ủ ế ế ứ
( ) ( )
2x ,0x11x1
1x
121
2
2==⇒=−⇔−=
−
−
. T i xạ1 = 0 ⇒ y1 = 0 ⇒ ph ng trình ti p tuy n là y = –xươ ế ế
. T i xạ2 = 2 ⇒ y2 = 2 ⇒ ph ng trình ti p tuy n là y = –x + 4ươ ế ế
Câu II :
1. Gi i ph ng trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx (1)ả ươ
Đ t: t = tgx ặ
2
t1
t2
x2sin +
=⇒
. Pt (1) thành
( )
2
2t
1 t 1 1 t
1 t
� �
− + = +
� �
+
� �
( ) ( )
22
1 t t 1 (t 1)(1 t )− + = + +�
( ) ( )
2
t 1 0 hay 1 t t 1 (1 t )+ = − + = +�
t 1 hay t 0= − =�
Do đó (1) ⇔ tgx = 0 hay tgx = –1
⇔ x = kπ hay x =
4
π
−
+ kπ, k
ﾢ
Cách khác
(1) ⇔ (cosx – sinx)(cosx + sinx)2 = cosx + sinx
(hi n nhiên cosx = 0 không là nghi m)ể ệ
⇔ cosx + sinx = 0 hay (cosx – sinx)(cosx + sinx) = 1
⇔ tgx = -1 hay cos2x = 1⇔ x =
4
π
−
+ kπ hay x = kπ, k
ﾢ
2. Tìm m đ h sau có nghi m duy nh tể ệ ệ ấ
(I)
−=
=−−
⇔
=+
=−−
x1xy
0myx2
1xyx
0myx2
V i đi u ki n: ớ ề ệ
≤
≥
1x
0xy
ta có
(I)
( ) ( ) ( )
2
2
y 2x m
y 2x m 1 x
xy 1 x y x 1
x
= −
= −
−
� �
= − =
( ) ( )
2
2
1 x 2x m x 2 m x 1 0
x
−= − + − − =� �
(∗)
( hi n nhiên x = 0 không là nghi m c a (ể ệ ủ ∗) )
Đ t ặ
( )
2
f (x) x 2 m x 1= + − −
, ( a = 1 )
ycbt ⇔ tìm m đ ph ng trình (ể ươ ∗) có đúng 1 nghi m th a x ệ ỏ ≤ 1
⇔ af(1) < 0 hay
f (1) 0 0(vn, do ac 0 )
c b
hay
1 1(VN) 1
a 2a
= ∆ = <
� �
� �
� �
= − > −
� �
� �
⇔
2 m−
< 0 ⇔ m > 2
Câu III :
1. d1 đi qua A(1, 3, 0), VTCP
( )
2,3,2a −=
M t ph ng (P) có PVT ặ ẳ
( )
2,2,1nP−=
M/ph ng (Q) ch a dẳ ứ 1 và ⊥ (P) nên (Q) có PVT
[ ]
( )
1,2,2n,an PQ −−−==
V y (Q) qua A có PVT ậ
( )
1,2,2nQ−−−=
nên ph ng trình (Q):ươ
–2(x – 1) – 2(y – 3) – 1(z – 0) = 0 ⇔ 2x + 2y + z – 8 = 0
2. P/trình tham s dố1:
x 1 2t
y 3 3t
z 2t
= +
= −
=
( )
1
M d M 1 2t,3 3t, 2t+ −� �
P/trình tham s dố2:
x 5 6t '
y 4t '
z 5 5t '
= +
=
= − −
( )
2
M d N 5 6t ',4t ', 5 5t '+ − −� �
V y ậ
( )
5t2't5,3t3't4,4t2't6MN −−−−++−=
M t ph ng (P) có PVT ặ ẳ
( )
2,2,1nP−=
Vì MN // (P)
0n.MN P=⇔
( ) ( ) ( )
1 6t ' 2t 4 2 4t ' 3t 3 2 5t ' 2t 5 0 t t '− + − + − + − − − = = −� �
. Ta l i có kho ng cách t MN đ n (P) b ng d(M, P) vì MN // (P)ạ ả ừ ế ằ
( ) ( )
2
441
1t22t332t21 =
++
−+−−+
6 12t 6 6 12t 6 hay 6 12t 6 t 1hay t 0− + = − + = − + = − = =� � �
. t = 1 ⇒ t' = –1 ⇒ M1(3, 0, 2) N1(–1, –4, 0)
. t = 0 ⇒ t' = 0 ⇒ M2(1, 3, 0) N2(5, 0, –5)
Câu IV :
1. Tính
∫
π
=
2
0
2xdxcosxI
Đ t: u = xặ2 ⇒ du = 2xdx ; dv = cosxdx , ch n v = sinxọ
V y I = ậ
π π
π
= −
� �
2 2
2 2 2
0
0 0
x cosxdx x sinx 2 xsinxdx
Ta có
ππ
=2
22
0
x sinx 4
I1 =
2
0
xsinxdx
π
; Đ t u = x ặ⇒ du = dx
dv = sinxdx, ch n v = ọ− cosx
I1 =
π π
π
= − +
� �
2 2
2
0
0 0
xsinxdx xcosx cosxdx
=
[ ]
2
0
xcosx sinx 1
π
− + =
V y : I = ậ
22
2
0
x cosxdx 2
4
π
π
= −
2. Gi i ph ng trình ả ươ
xx
2
2 1
log 1 x 2 (*)
x
−= + −
Đi u ki n ề ệ
x x 0
2 1 0 2 1 2 x 0
x 0 x 0
� �
� �
− > > = >� �
� �
� �
� �
(*) ⇔
−= − +
xx
22 1
log 1 2 x
x
và x > 0
− − = − +�x x
2 2
log (2 1) log x 1 2 x
và x > 0
⇔ (2x − 1) + log2(2x − 1) = x + log2x (**)
Xét hàm f(t) = t + log2t đ ng bi n nghiêm cách khi t > 0ồ ế
Do đó f(u) = f(v) ⇔ u = v, v i u > 0, v > 0ớ
V y t (**) ậ ừ ⇔ 2x − 1 = x ⇔ 2x − x −1 = 0 (***)
L i xét hàm g(x) = 2ạx − x − 1 khi x > 0
g'(x) = 2xln2 − 1 , g'(x) = 0 ⇔
= = >
x2
1
2 log e 1
ln2
⇔
2 2
x log (log e) 0= >
Ta có g//(x) > 0 v i m i x nên g'(x) là hàm tăng trên Rớ ọ