PHÒNG GD & ĐT HUYỆN NÔNG CỐNG
GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM LẦN 7
Năm học 2023 - 2024
Môn: Toán 7
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1.(4.0 điểm).
1. Tính giá trị của các biểu thức sau (tính hợp lý nếu có thể)
a)
22 0
11
25 (2 .3) .( ) 2024
44
A−
= + + +−
b)
1.2.3 2.4.6 4.8.12 7.14.21
1.3.5 2.6.10 4.12.20 7.21.35
B++ +
=++ +
c)
2567
567 2
ab c d
Cbcd a
=++ +
, biết
2567
567 2
ab c d
bcd a
= = =
và
,,, 0abcd≠
Câu 2. (4.0 điểm)
a) Tìm x, biết
( )
2
8
2 3215 12
xx
x
++ −= ++
b) Bốn bao gạo có tổng cộng 375kg. Lần thứ nhất người ta lấy đi 1kg ở bao thứ nhất;
2kg ở bao thứ hai; 3kg ở bao thứ ba; 4kg ở bao thứ tư. Lần thứ hai người ta lấy đi tiếp
1
5
số kg gạo còn lại của bao thứ nhất;
số kg gạo còn lại của bao thứ hai;
1
3
số kg gạo còn
lại của bao thứ ba;
1
2
số kg gạo còn lại của bao thứ tư thì số kg gạo còn lại sau lần lấy
thứ hai của bốn bao bằng nhau. Tìm số kg gạo mỗi bao lúc đầu.
Câu 3.(4.0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn:
24x y xy+− =
b) Tìm số nguyên tố
ab
( )
0ab>>
, biết
ab ba−
là số chính phương.
Câu 4.(6.0 điểm)Cho
ABC∆
có ba góc nhọn,
AB AC<
, trung tuyến
.AM
Trên nửa mặt
phẳng bờ
AB
chứa điểm
,C
vẽ đoạn thẳng
AE
vuông góc với
AB
và
.AE AB=
Trên nửa
mặt phẳng bờ
AC
chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng
AD
vuông góc với
AC
và
.AD AC=
1. Chứng minh: BD=CE
2. Trên tia đối của tia MA lấy
N
sao cho
.MN MA=
Chứng minh:
0
180 .ACN BAC= −
và
.ADE CAN∆=∆
3. Gọi giao điểm của DE với AB, AC lần lượt là Q, P. Chứng minh: AP < AQ
Câu 5.(2 điểm) Cho P =
4034
1
...
4
1
3
1
2
1
1+++++
và Q =
4033
1
...
7
1
5
1
3
1
1+++++
Chứng tỏ rằng:
2018
2017
1<
Q
P
……………………..Hết……………………
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN: TOÁN - LỚP 7
Câu
ĐÁP ÁN
Điểm
1(4
điểm)
a)
22 0
11
25 (2 .3) .( ) 2024
44
A−
= + + +−
42
2
11
5 2 .3 . 1
24
1
5 36 1 4
119
4
−

= + ++


= − ++
−
=
0,5
0,5
b)
1.2.3 2.4.6 4.8.12 7.14.21
1.3.5 2.6.10 4.12.20 7.21.35
B++ +
=++ +
1.2.3(1 2.2.2 4.4.4 7.7.7)
1.3.5.(1 2.2.2 4.4.4 7.7.7)
1.2.3
1.3.5
2
5
+++
=+++
=
=
0,5
0,5
c)
2567
567 2
ab c d
Cbcd a
=++ +
, biết
2567
567 2
ab c d
bcd a
= = =
và
,,, 0abcd≠
Đặt
2567
567 2
ab c d
bcd a
= = =
= k
4
2567
.. .
567 2
ab c d k
bcd a
⇒=
1k⇒=±
4C⇒=±
1,0
2.(4
điểm)
a) Tìm x, biết
( )
2
8
2 3215 12
xx
x
++ −= ++
Ta có
23212312 2312 44x x x xx x++ −= ++− ≥ ++− = =
với mọi x
Dấu ‘=’ xảy ra khi
31
(2 3)(1 2 ) 0 22
xx x
−
+ − ≥⇒ ≤≤
Lại có
2
2
88
5( 1) 2 2 4
5( 1) 2 2
xx
+ +≥⇒ ≤ =
++
với mọi x
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = -1
Do đó
( )
2
31
8
2 321 1
22
5 12 1
x
xx x
xx
−
≤≤
++ −= ⇒ ⇒=−
++ = −
Vậy x = -1
0,5
0,5
0,5
0,5
b) Bốn bao gạo có tổng cộng 375kg. Lần thứ nhất người ta lấy đi 1kg ở
bao thứ nhất; 2kg ở bao thứ hai; 3kg ở bao thứ ba; 4kg ở bao thứ tư. Lần
thứ hai người ta lấy đi tiếp
1
5
số kg gạo còn lại của bao thứ nhất;
số kg
gạo còn lại của bao thứ hai;
1
3
số kg gạo còn lại của bao thứ ba;
số kg
gạo còn lại của bao thứ tư thì số kg gạo còn lại sau lần lấy thứ hai của bốn
bao bằng nhau. Tìm số kg gạo mỗi bao lúc đầu.
Gọi số kg gạo 4 bao lúc đầu lần lượt là: x +1; y +2; z + 3; t + 4 (kg)
Với x, y, z, t > 0
Sau khi lấy đi lần thứ nhất thì số kg gạo mỗi bao còn lại lần lượt là x, y, z,
t (kg) và tổng số kg gạo còn lại của 4 bao là 375 – (1+2+3+4) = 365 (kg)
nên x + y + z + t = 365
Sau khi lấy đi lần thứ hai thì số kg gạo mỗi bao còn lại lần lượt là:
4321
;;;
5432
xyzt
Ta có
432
5 4 3 2 15 16 18 24
x y zt x y z t
= ==⇒===
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
365 5
15 16 18 24 15 16 18 24 73
x y z t xyzt+++
= = = = = =
+++
Suy ra x = 5.15 = 75; y = 5.16 = 80; z = 5.18 = 90; t = 5.24 = 120
Vậy số kg gạo mỗi bao lúc đầu lần lượt là: 76; 82; 93; 124 (kg)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
3
(4
điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn:
24x y xy+− =
Ta có:
24x y xy+− =
suy ra
2 40x xy y− +−=
( ) ( ) ( )( )
24 28024 217
212 12 7 2 112 7
x xy y x xy y
xy y x y
⇔− +−=⇔− +−=
⇔ −−−=⇔−−=
Lập bảng
21x−
1
7
-1
-7
12y−
7
1
-7
-1
x
1
4
0
-3
y
-3
0
4
1
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Vậy (x; y) cần tìm là (1; -3) ; (4; 0) ; (0; 4) ; (-3; 1)
0,5
0.5
0.5
0.5
b) Tìm số nguyên tố
ab
( )
0ab>>
, biết
ab ba−
là số chính phương.
Ta có:
2
10 10
9( )
3( )
ab ba a b b a
ab ba a b
ab ba a b
− = +− −
⇒−= −
⇒−= −
ab ba−
là số chính phương khi (a - b) là số chính phương
Do a, b là các chữ số và
0 , 9, 0ab a b<≤>>
nên
08ab≤−≤
Suy ra (a - b) là SCP khi a - b = 1 hoặc a – b = 4
+ Nếu a – b = 1
{ }
21,32,43,54,65,76,87,98ab⇒∈
Mà
ab
là số nguyên tố nên
ab
= 43 thỏa mãn.
+ Nếu a – b = 4
{ }
51,62,73,84,95ab⇒∈
mà
ab
là số nguyên tố
ab
= 73
Vậy
ab
= 43 và
ab
= 73
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
Bài 4
(6
điểm)
Cho
ABC∆
có ba góc nhọn,
AB AC<
, trung tuyến
.AM
Trên nửa mặt
phẳng bờ
AB
chứa điểm
,C
vẽ đoạn thẳng
AE
vuông góc với
AB
và
.AE AB=
Trên nửa mặt phẳng bờ
AC
chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng
AD
vuông góc với
AC
và
.AD AC=
1. Chứng minh: BD=CE
2. Trên tia đối của tia MA lấy
N
sao cho
.MN MA=
Chứng minh:
0
180 .ACN BAC= −
và
.ADE CAN∆=∆
3. Gọi giao điểm của DE với AB, AC lần lượt là Q, P.
Chứng minh: AP < AQ
1. Xét
ABD∆
và
AEC∆
có:
()AD AC gt=
và
( ); (AE AB gt BAD CAE= =
cùng phụ với
)BAC
(..) (ABD AEC c g c BD CE⇒∆ =∆ ⇒ =
2 cạnh tương ứng)
2,0
2)Xét
ABM∆
và
NCM∆
có:
( ); ( ); (AM MN gt BM CM gt AMB NMC= = =
đ đ)
(..)ABM NCM c g c ABM NCM⇒∆ =∆ ⇒ =
(hai góc tương ứng)
Do đó:
0
180 ( )ACN ACB BCN ACB ABC BAC dfcm=+=+=−
+Ta có:
0
180DAE DAC BAE BAC BAC DAE ACN= +−=−⇒ =
Xét
ADE∆
và
ACN∆
có:
CN AE=
(cùng bằng AB),
( ); ( )AC AD gt DAE ACN cmt= =
()ADE CAN cgc⇒∆ =∆
2,0
3)Theo tính chất góc ngoài, ta có:
;AQP QAD QDA APQ PAE PEA=+=+
Mà
AB AC<
nên
AE AD ADE AED<⇒ <
Theo chứng minh trên ta có:
QAD PAE=
Từ đó suy ra
QAD QDA PAE PEA+<+
Hay
AQP APQ AP AQ< ⇒<
2,0
P
Bài 5
(2
điểm)
Cho P =
4034
1
...
4
1
3
1
2
1
1+++++
và Q =
4033
1
...
7
1
5
1
3
1
1+++++
Chứng tỏ rằng:
2018
2017
1<
Q
P
Đặt K = P – Q =
Ta có : Q = > = (1)
Lại có:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra Q >
Do đó
0.5
0.5
0.5
0.5
4034
1
...
6
1
4
1
2
1++++
4033
1
...
7
1
5
1
3
1
1+++++
4034
1
...
6
1
4
1
1++++
K+
2
1
K=++++++++= 4034
1
...
6
1
4
1
2
1
2
1
...
2
1
2
1
2
1
2
2017
⇒
20172
1K
KK
K
2017
2018
2017 =+
2018
2017
Q
K
⇒
2018
20182017 ++
Q
QK
⇔
2018
2017
1
Q
P