SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2012 – 2013
GIA LAI LỚP 12 – HỆ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm số
2
1
x
y
x
--
=
-
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị (C), trục Ox và hai đường thẳng
2,4
xx
==
.
Câu 2 (2,0 điểm). Tính các tích phân:
1) 4
2
0
1tan
cos
x
x
p
+
=ò 2)
1
22
0
3ln(1)
Jxxxdx
=++
ò
Câu 3 (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) lần lượt
có phương trình: (P):
2250
xyz
+++=
và (S): 222
1026100
xyzxyz
++---+=
1) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
2) Từ điểm A nằm trên mặt phẳng (P) kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B. Tìm tọa
độ điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng AB đạt giá trị nhỏ nhất.
II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
Phần 1. Theo chương trình chuẩn.
Câu 4A (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P)
lần lượt có phương trình:
21
:
111
xyx
d
-+
==
- và
():30
Pxyz
++-=
. Viết phương trình mặt
phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu 5A (2,0 điểm).
1) Giải phương trình 2
3670
zz
-+=
với ẩn
z
trên tập số phức.
2) Tìm số phức z thỏa mãn
2
22
1
ziz
i
++=+
-
sao cho số phức z có môđun nhỏ nhất.
Phần 2. Theo chương trình nâng cao.
Câu 4B (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng lần lượt có phương
trình
():0,
Pxyz
-+=
():450,():270
QxyzRxyz
++-=--+=
. Viết phương trình mặt
phẳng (
a
) qua giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R).
Câu 5B (2,0 điểm).
1) Giải bất phương trình: 22
22
38.39.30
xxxx--
-->
.
2) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
.13
=
zz và số phức
(23)
iz
+
là một số thực.
-------------------- Hết --------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ....................................................... Số báo danh: ...............................
Chữ kí giám thị 1: ................................................... Chữ kí giám thị 2: .............................................
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2012 – 2013
GIA LAI LỚP 12 – HỆ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bản hướng dẫn chấm có 4 trang
I. Hướng dẫn chung
· Học sinh làm theo cách khác nếu đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
· Làm tròn điểm theo quy định chung của Bộ cho Hệ trung học phổ thông.
II. Đáp án và thang điểm
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
1) (2,0 điểm)
a. Tập xác định:
\{1}
D
=
¡
0,25
b. Sự biến thiên
· Chiều biến thiên: 2
3
'0,
(1)
yxD
x
=>"Î
-.
Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
(;1)
-¥
và
(1;)
+¥
· Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị
0,50
· Giới hạn và tiệm cận:
limlim1
xx
yy
®+¥®-¥
==-
;
11
lim,lim
xx
yy
+-
®®
=-¥=+¥
Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng
1
x
=
và
một tiệm cận ngang là đường thẳng
1
y
=-
0,50
· Bảng biến thiên:
x
-¥
1
+¥
y’ + || +
y
+¥
-1
-1
-¥
0,25
c. Đồ thị:
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
0
(C) cắt trục tung tại (0;2) và cắt trục hoành tại (-2;0)
0,50
Câu 1
(3,0 điểm)
2) (1,0 điểm)
Trang 2
Thể tích của khối tròn xoay được tính bởi:
( )
22
444
2
222
2369
11
111
1
x
Vdxdxdx
xxx
x
æö
--
æöæö
=p=p+=p++
ç÷
ç÷ç÷
ç÷
---
èøèø -
èø
òòò
0,50
4
2
9
6ln1(86ln3)
1
xx
x
æö
=p+--=+p
ç÷
-
èø
(đvtt) 0,50
1) (1,0 điểm)
Đặt 2
1
1tan
cos
uxdudx
x
=+Þ= .
Đổi cận: khi
01;2
4
xuxu
p
=Þ==Þ=
;
0,50
Do đó:
( )
2
2
2
1
1
113
41
222
Iuduu
===-=
ò 0,50
2) (1,0 điểm)
Đặt
2
2
23
21
ln(1)
1
31
x
dudx
uxx xx
dvxdx vx
+
ì
ì=
=++
ïï
Þ++
íí
=
ï
îï
=-
î
0,50
Do đó:
1
1
323
2
0
0
21
(1)ln(1)(1)
1
x
Jxxxxdx
xx
+
=-++--
++
ò
11
2
00
0(21)(1)(21)
xxdxxxdx
=-+-=---
òò
0,25
Câu 2
(2,0 điểm)
1
32
0
215
326
xxx
æö
=---=
ç÷
èø
0,25
1) (1,0 điểm)
Mặt cầu (S) có tâm
(5;1;3)
I
, bán kính
2519105
R
=++-=
0,50
Mặt khác: 522.35
(,())6
144
dIPR
+++
==>
++
Suy ra mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
0,50
2) (1,0 điểm)
Theo giả thiết, ta có
222
ABIAR
=-
. Khi đó đoạn thẳng AB đạt giá trị
nhỏ nhất khi đoạn thẳng IA đạt giá trị nhỏ nhất.
Suy ra A là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (P)
0,25
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến
(1;2;2)
n=
r
.
Giả sử
(;;)
Aabc
(5;1;3)
IAabc
Þ=---
uur
0,25
Câu 3
(2,0 điểm)
Vì A là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (P) nên
IA
uur
cùng phương với vectơ
(1;2;2)
n=
r
và
()
AP
Î
. Do đó:
293
513
273
122
2250
2251
aba
abc
acb
abc abcc
-==
ìì
---
ì==
ïïï
Û-=Û=-
ííí
ïïï
+++=
++=-=-
îîî
. Vậy
(3;3;1)
A
--
0,50
Trang 3
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương
(1;1;1)
u=-
r
và đi qua điểm
(0;2;1)
A
-
, mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến
(1;1;1)
P
n=
uur
. 0,25
Suy ra
[,](2;0;2)
P
nu
=-
uurr
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q)
Hơn nữa
()
AdAQ
ÎÞÎ
0,25
Câu 4A
(1,0 điểm)
Do đó (
Q
):
2(0)0(2)2(1)010
xyzxz
-+--+=Û--=
0,50
1) (1,0 điểm)
Ta có
22
'(3)2112(23)
i
D=--=-=
Suy ra
'
D
có hai căn bậc hai là
23
i
± 0,50
Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm là:
1
32323
1
33
i
zi
+
==+ và 2
32323
1
33
i
zi
-
==- 0,50
2) (1,0 điểm)
Giả sử
zxyi
=+
; ,xy
Î
¡
.
Ta có 2
1
1
i
i
=+
- 0,25
Do đó
2
22
1
ziz
i
++=+
-
(*)
221
xyiixyii
Û+++=+++
(2)(2)(1)(1)
xyixyi
Û+++=+++
2222
(2)(2)(1)(1)30
xyxyxy
Û+++=+++Û++=
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn
(;)
Mxy
của số phức z thỏa điều kiện (*)
là đường thẳng
:30
dxy
++=
0,25
Câu 5A
(2,0 điểm)
Môđun của z nhỏ nhất khi điểm biểu diễn M của số phức z nằm gần
gốc tọa độ O nhất.
Mà
Md
Î
, suy ra M là hình chiếu của O trên đường thẳng d
Ta nhận thấy đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm A(-3;0) và cắt trục Oy
tại điểm B(0;-3)
Suy ra
OAB
D
vuông cân tại O,
OMABM
^Þ
là trung điểm của AB
hay
33
;
22
M
æö
--
ç÷
èø
. Vậy
33
22
zi
=--
0,50
Các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt có vectơ pháp tuyến
(1;1;1)
P
n=-
uur
,
(1;4;1)
Q
n=
uur
,
(2;1;1)
R
n
=--
uur
.
[,](5;0;5)
PQ
unnÞ==-
ruuruur
0,25
Suy ra
[,](5;5;5)
R
nun==
rruur
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (
a
)
Lấy điểm
(0;1;1)
A thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)
()
A
a
ÞÎ
0,25
Câu 4B
(1,0 điểm)
Do dó,
():5(0)5(1)5(1)0
xyx
a
-+-+-=
20
xyz
Û++-=
0,50
1) (1,0 điểm) Câu 5B
(2,0 điểm) Ta có 22
22
38.39.30
xxxx--
-->
22
2()
18.39.30
xxxx----
Û-->
0,25
Trang 4
Đặt 2
3,0
xx
tt
--
=>
. Ta được bất phương trình: 2
1
98101
9
ttt
+-<Û-<<
Đối chiếu điều kiện, ta được 22
2
11
0333
99
xxxx
t
-----
<<Û<Û<
0,25
22
220
xxxx
Û--<-Û+->
2
1
x
x
<-
é
Ûê
>
ë 0,25
V
ậy tập nghiệm của bất phương trình là:
(
)
;2(1;)
S
=-¥-È+¥
0,25
2) (1,0 điểm)
Giả sử
zxyi
=+
; ,xy
Î
¡
.
Suy ra
(23)(23)()(23)(32)
izixyixyxyi
+=++=-++
là số thực khi
3
320
2
xyyx
+=Û=-
0,25
Mặt khác
2
2222
3
.13131342
2
zzxyxxxx
æö
=Û+=Û+-=Û=Û=±
ç÷
èø
Với
23
xy
=Þ=-
Với
23
xy
=-Þ=
0,50
Vậy có hai số thức thỏa yêu cầu bài toán là
23
zi
=-
,
23
zi
=-+
0,25
--------------------------------- Hết --------------------------------