--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A. PH N CHUNG CHO T T C CÁC H C SINH (G m 5 câu)Ầ Ấ Ả Ọ ồ
Câu 1 (3 đi m). Gi i các ph ng trình l ng giác sau:ể ả ươ ượ
a)
cos 2 5sin 2 0x x
+ + =
.
b)
sin (2sin 3) cos
2cos 1
x x x
x
+=
−
.
c)
2
1 3sin (tan 1) sin (sin cos )x x x x x+ − = +
.
Câu 2 (1 đi m). T t p h p ể ừ ậ ợ
{ }
0;1;2;3;4;5;6A=
, có th l p đc bao nhiêu s t nhiên ch n có 4 ch s ể ậ ượ ố ự ẵ ữ ố
khác nhau và l n h n 3000.ớ ơ
Câu 3 (2 đi m). M t h p có ch a 4 qu c u màu đ, 5 qu c u màu xanh và 7 qu c u màu vàng. L y ể ộ ộ ứ ả ầ ỏ ả ầ ả ầ ấ
ng u nhiên cùng lúc 4 qu c u t h p đó. Tính xác su t sao cho:ẫ ả ầ ừ ộ ấ
a) 4 qu c u ch n đc không cùng màu.ả ầ ọ ượ
b) 4 qu c u ch n đc có đúng m t qu c u màu đ và không quá hai qu c u màu vàng.ả ầ ọ ượ ộ ả ầ ỏ ả ầ
Câu 4 (1 đi m). Trong m t ph ng v i h t a đ ể ặ ẳ ớ ệ ọ ộ
Oxy
cho đng th ng ườ ẳ
: 2 0d x y+ =
và đng tròn ườ
2 2
( ) : 2 4 20 0.C x y x y+ − + − =
Tìm trên đng th ng ườ ẳ
d
đi m ểM và trên đng tròn ườ
đi m ểN sao cho N
là nh c aả ủ M qua phép t nh ti n theo vect ị ế ơ
(3; 1).v= −
r
Câu 5 (2 đi m). Cho t di n ể ứ ệ ABCD. G i ọM, N l n l t là trung đi m c a ầ ượ ể ủ AB, AC và G là đi m trên đo nể ạ
th ng ẳDN sao cho
4DN NG
=
. Trên đo n th ng ạ ẳ BG l y đi mấ ể I (I khác v i ớB và G).
a) D ng thi t di n c a t di n c t b i m t ph ng ự ế ệ ủ ứ ệ ắ ở ặ ẳ (IMN), thi t di n là hình gì?ế ệ
b) Xác đnh v trí đi m ị ị ể I trên đo n th ngạ ẳ BG đ thi t di n là hình bình hành. Khi đó hãy tính t sể ế ệ ỉ ố
BI
BG
.
B. PH N RIÊNG (H c sinh ch đc làm m t trong hai câu: 6a ho c 6b)Ầ ọ ỉ ượ ộ ặ
Câu 6a (1 đi m) ể(Theo ch ng trình chu n)ươ ẩ .
Cho dãy s ố
( )
n
u
bi t ế
1 1
2; 3
n n
u u u n
+
= − = +
v i ớ
1.n
L p công th c s h ng t ng quát ậ ứ ố ạ ổ
n
u
c a dãy s trên.ủ ố
Câu 6b (1 đi m) ể(Theo ch ng trình nâng cao).ươ
Tìm h s c a s h ng ch a ệ ố ủ ố ạ ứ
9
x
trong khai tri n ể
2
12
n
x
x
� �
−
� �
� �
bi t r ng : ế ằ
3 2 2
1
8 3( 1).
n n
A n C
−
− = +
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CÂU N I DUNGỘ
1a)
(1đ)
2 2
cos 2 5sin 2 0 1 2sin 5sin 2 0 2sin 5sin 3 0
sin 3
1
sin 2
2
6( ).
72
6
( loﾹi)
x x x x x x
x
x
x k
k
x k
ππ
ππ
+ + = − + + = − − =� �
=
−
=
= − +
� �
= +
ﾢ
1b)
(1đ)
Đi u ki n: ề ệ
1
cos 2 ( ).
2 3 x x k k
ππ
+�۹� � ﾢ
V i đi u ki n đó, ph ng trình t ng đng v iớ ề ệ ươ ươ ươ ớ
2 2
2sin 3 sin 2cos cos cos 3 sin 2cos 2
1 3
cos sin cos 2 cos cos 2
2 2 3
2 2 2
3 3
2
2 2
3 9 3
( loﾹi)
( t h a i u k i n) .� �� �
x x x x x x x
x x x x x
x x k x k
x x k x k
π
π π
π π
π π π
π
+ = − + =�
� �
+ = − =� � � �
� �
� �
= − + = − +
� �
� �
� �
� �
= − + + = +
� �
� �
V y ph ng trình có nghi m là ậ ươ ệ
2,( ).
9 3
x k k
π π
= + Z
1c)
(1đ)
Đi u ki n: ề ệ
( ).
2 x k k
ππ
+ Z
V i đi u ki n đó, ph ng trình t ng đng v iớ ề ệ ươ ươ ươ ớ
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
sin sin cos
3sin 1 1 sin sin cos 0 3sin cos (cos sin ) 0
cos cos
3sin (sin cos ) cos (sin cos ) 0 (3sin cos )(sin cos ) 0
ta
sin cos 0 tan 1
3sin cos 0 3tan 1
x x x
x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x
x x x
x x x
−
� � � �
− + − − = + − =�
� � � �
� � � �
− − − = − − =� �
− = =
� �
� � �
� �
− = =
� �
n 1
1
tan 3
4( ).
6
x
x
x k
k
x k
ππ
ππ
=
=
= +
� �
= +
Z
Câu 2
(1đ)
G i ọ
abcd
là s t nhiên ch n có 4 ch s khác nhau và l n h n 3000 đc l p t A, ố ự ẵ ữ ố ớ ơ ượ ậ ừ
khi đó
{3; 4;5;6}a
và
{0;2;4;6}d
. Có 2 tr ng h p:ườ ợ
N u ế
{3;5}a
: Có 2 cách ch n ọa, 4 cách ch n ọd và
2
5
A
cách ch n ọ
bc
. Do
đó tr ng h p này có ườ ợ
2
5
2.4. 160A=
s .ố
N u ế
{4;6}a
: Có 2 cách ch nọ a, 3 cách ch n ọd và
2
5
A
cách ch n ọ
bc
. Do
đó tr ng h p này có ườ ợ
2
5
2.3. 120A=
s .ố
Tóm l i có 160+120=280 s th a yêu c u.ạ ố ỏ ầ
Câu 3 S ph n t c a không gian m u là ố ầ ử ủ ẫ
4
16
1820CΩ = =
.
3a)
(1đ)
G i A là bi n c “4 qu ch n đc không cùng màu”. Khi đó ọ ế ố ả ọ ượ
A
là bi n c “4 qu ế ố ả
l y đc có cùng màu”. ấ ượ
Ta có:
4 4 4
4 5 7
41.
A
C C CΩ = + + =
Do đó xác su t c a bi n c ấ ủ ế ố
A
là:
41
( ) 1820
A
P A Ω
= =
Ω
.
V y xác su t c a bi n c A là ậ ấ ủ ế ố
41 1779
( ) 1 ( ) 1 0,98.
1820 1820
P A P A= − = − =
3b)
(0,75đ)
G i B là bi n c “4 qu l y đc có đúng m t qu c u màu đ và không quá 2 qu ọ ế ố ả ấ ượ ộ ả ầ ỏ ả
c u màu vàng”. Khi đó ầ
1 3 1 1 2 1 2 1
4 5 4 7 5 4 7 5
. . . . . 740.
B
C C C C C C C CΩ = + + =
Xác su t c a bi n c B là ấ ủ ế ố
740 37
( ) 0, 41.
1820 91
B
P B Ω
= = =
Ω
Câu 4
(1đ)
G i ọ
( ; 2 )M x x d−
. Vì
( )
v
N T M=
r
nên t a đ c a ọ ộ ủ N là
( 3; 2 1).N x x+ − −
2 2
2
( ) ( 3) ( 2 1) 2( 3) 4( 2 1) 20 0
5 20 2.
N C x x x x
x x
+ + − − − + + − − − =� �
= =� � �
V i ớ
2x=
ta có
(2; 4)M−
và
(5; 5).N−
V i ớ
2x
= −
ta có
( 2; 4)M−
và
(1;3).N
5a
(1đ)
V hình thi t di n đúng: 0,25đẽ ế ệ
P
Q
G
N
M
B
A
C
D
I
G i ọQ là giao đi m c a ể ủ NI và BD.
Ta có
( ) ( )Q MNI BCD� �
,
( ), ( )MN MNI BC BCD� �
và
//MN BC
nên giao
tuy n c aế ủ (MNI) và (BCD) là đng th ng ườ ẳ d đi
qua Q song song v i ớBC, c t ắCD t i ạP.
Khi đó t giác ứMNPQ là thi t di n c a hình ế ệ ủ
chóp c t b i ắ ở (IMN).
Vì MN//PQ nên thi t di n là hình thang.ế ệ
CÂU N I DUNGỘ
5b
(0,75đ)
Q
H
P
I
G
N
M
D
C
A
B
Thi t di n ế ệ MNPQ là hình bình hành khi
2
BC
MN PQ= =
. Do đó, g i ọQ là trung đi m ể
BD và I là giao đi m c a ể ủ BG và NQ. Khi đó
v i đi m ớ ể I xác đnh nh v y thì thi t di n thu ị ư ậ ế ệ
đc khi c t t di nượ ắ ứ ệ ABCD b i m t ph ngở ặ ẳ
(MNI) là hình bình hành.
Trong (BDN), k ẻGH//NQ
( )H BD
. Ta có:
14 .
4
HQ HQ NG QB HQ
QD QB ND
= = = =�
4 4 .
4 5
BI BQ BQ QH
BG BH BQ QH QH QH
= = = =
+ +
6a)
(1đ)
Ta có
1
3
n n
u u n
+
− =
v i m i ớ ọ
1n
, do đó:
2 1
3 2
4 3
1
3
6
9
.............
3( 1)
n n
u u
u u
u u
u u n
−
− =
− =
− =
− = −
Suy ra
1 1
3 6 9 ... 3( 1)
n n
u u n S
−
− = + + + + − =
trong đó
1n
S
−
là t ng c a ổ ủ
1n
−
s h ng liên ố ạ
ti p c a c p s c ng có s h ng đu b ng 3 và công sai ế ủ ấ ố ộ ố ạ ầ ằ d=3. Do đó
2
1
( 2)( 1).3 3( )
3 6 9 ... 3( 1) ( 1).3 .
2 2
n
n n n n
S n n
−
− − −
= + + + + − = − + =
V y ậ
2 2
1 1
3 3 3 3 4
2 .
2 2
n n
n n n n
u u S
−
− − −
= + = − + =
6b)
(1đ)
Đi u ki n: ề ệ
3,n n N
.
3 2 2 2
1
2 3 2 2 2
3 2 2
! ( 1)!
8 3( 1) 8 3. 3
( 3)! 2!( 3)!
3( 2)( 1)
( 2)( 1) 8 3 2( 3 2 ) 16 3 9 12
2
2 25 13 12 0 ( 12)(2 1) 0
12.
n n
n n
A n C n
n n
n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n
−
−
− = + − = +�− −
− −
− − − = + − + − = − +� �
− + − = − − + =� �
=�
Khi đó
2 2
12
1 1
2 2 .
n
x x
x x
� � � �
− = −
� � � �
� � � �
S h ng t ng quátố ạ ổ
12 2
2
1 12 12 12
1.( 2 ) .( 2) .
kk
k k k k
kk
x
T C x C
x x
−
+−
� �
= − = −
� �
� �
ch a ứ
9
x
khi
2 (12 ) 9 3 21 7.k k k k− − = = =� �
V y s h s c a s h ng ch a ậ ố ệ ố ủ ố ạ ứ
9
x
là:
7 7
12
.( 2) 101376.C− = −