SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC
ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN 2, NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán 10 - Khối A
(Thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1. (3 điểm)
a. Tìm tập xác định của hàm số sau:
2
2
2014 1
2 1 2
21 46
x x x
yx x
x x
b. Giải phương trình sau:
3 3 5 2 4
x x x
c. Giải hệ phương trình:
2 2 12
2
( 1)( 2) 6
x y
x y
xy x y x y
Câu 2. (2 điểm)
a. Tìm m để phương trình 4 3
4 8
x x x m
có 4 nghiệm phân biệt
b. Cho hệ phương trình 2 2 2
1
2 2
x y m
x y m
. Tìm
m
để tích
xy
lớn nhất
Câu 3. (3 điểm)
a. Cho tam giác ABC đều. Trên cung AB không chứa điểm C của đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC lấy điểm M biết MA=1, MB=2. Tính độ dài đoạn MC.
b. Cho 2 điểm
(5;1), ( 1; 2)
A B
và đường thẳng
: 2 3 1 0
x y
. Tìm trên đường thẳng
điểm M sao cho khoảng cách
MA MB
nhỏ nhất.
c. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho tam giác ABC, phân giác trong AD có
phương trình
2 0
x y
, đường cao CH có phương trình
2 5 0
x y
. Điểm
3;0
M
thuộc cạnh AC thoả mãn
2
AB AM
. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC
Câu 4. (1 điểm)
Cho hai số
,
x y
là những số thực dương và thỏa mãn
5
x y
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức sau: 4 2
4
x y x y
Pxy
Câu 5. (1 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 4, gọi a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác. Chứng
minh rằng: 2 2 2
27( ) 208
a b c abc
----------Hết----------
(Học sinh không dùng tài liệu. Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên học sinh:………………………………………...SBD:……………….............
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐÁP ÁN KSCL LẦN 2, LỚP 10, NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN; Khối A và khối A1
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học
sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN:
Câu 1.
a. Tìm tập xác định của hàm số sau: 2
2
2014 1
2 1 2
21 46
x x x
yx x
x x
ĐKXĐ: 2
2014
0
21 46
2 1 2 0
x
x x
x x
0.25đ
Giải (1) được tập nghiệm
1( 2; 23) 2014;S

0.25đ
Giải (2) được tập nghiệm
2
1
; 3;
3
S
 
0.25đ
Vậy tập xác định là
1
2; 3; 23 2014;
3
D

0.25đ
b. Giải phương trình sau:
3 3 5 2 4
x x x
1
đ
ĐKXĐ:
2 5
x
0.25đ
PT
3 3 2 4 5 2 4 2 (2 4)(5 )
x x x x x x
0.25đ
2
2 4 2 4 2 5 0 2 4 2 5
x
x x x
x x
0.25đ
Giải pt:
2 4 2 5 2 4 20 4 4
x x x x x
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
2, 4
x x
0.25đ
c. Giải hệ phương trình:
2 2 12
2
( 1)( 2) 6
x y
x y
xy x y x y
1
đ
Hệ
2 2
( 1) ( 1) 5
( 1)( 1)[( 1) ( 1)] 6
x y
x y x y
0.25đ
Đặt
1
1
u x
v y
, thu được hệ
2 2
5
( ) 6
u v
uv u v
0.25đ
Giải ra được:
3
. 2
u v
u v
suy ra
1 1
1 2
u x
v y
hoặc
1 2
1 1
u x
v y
0.25đ
Vậy hệ có 2 nghiệm là:
3
2
x
y
hoặc
2
3
x
y
0.25đ
Câu 2
a. Tìm m để phương trình 4 3
4 8
x x x m
có 4 nghiệm phân biệt
1
đ
PT 2 2 2
( 2 ) 4( 2 ) 0
x x x x m
(1) 0.25đ
Đặt 2
2 , 1
t x x t
. Khi đó (1) có dạng: 2
4 0
t t m
(2) 0.25đ
(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1
0
( 1) 0
1
2
f
S
(*) 0.25đ
Giải (*) được
4 5
m
là các giá trị thỏa mãn ycbt 0.25đ
b. Cho hệ phương trình 2 2 2
1
2 2
x y m
x y m
. Tìm
m
để tích
xy
lớn nhất
1
đ
Hệ 2
1
1 3
2 2
x y m
xy m m
0.25đ
Hệ có nghiệm 2 2 2
1
1 3
( 1) 4 3 2 5 0
5
2 2
3
m
m m m m m m
0.25đ
Xét hàm số
2
1 3 5
( ) , ; 1 ;
2 2 3
f m m m m
 
Lập bảng biến thiên hàm số
( )
f m
trên
5
; 1 ;
3
 
0.25
Từ bảng biến thiên suy ra : xy lớn nhất khi và chỉ khi f(m) đạt giá trị lớn nhất trên
5
; 1 ;
3
 
. Vậy xy lớn nhất bằng
16
9
khi
5
3
m
0.25đ
Câu 3
.
a
. Cho tam giác ABC đều. Trên cung AB không chứa điểm C của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC lấy điểm M biết MA=1, MB=2. Tính độ dài đoạn MC.
1
đ
Từ giả thiết suy ra
฀
0
120
AMB 0.25đ
Trong tam giác AMB theo định lí cosin ta có:
฀
2 2 2
2 . .cos 7
AB AM BM AM BM AMB
0.25đ
suy ra cạnh của tam giác là
7
và
฀
฀
0
60
AMC ABC 0.25đ
Trong tam giác AMC có:
฀
2 2 2 2
2 . .cos 6 0 3
AC MA MC MA MC AMC MC MC MC
0.25đ
b. Cho 2 điểm
(5;1), ( 1; 2)
A B
và đường thẳng
: 2 3 1 0
x y
. Tìm trên đường
thẳng
điểm M sao cho khoảng cách
MA MB
nhỏ nhất.
1
đ
Chỉ ra 2 điểm A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng
0.25đ
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với d suy ra
( 3; 2)
d
n
, nên d có
phương trình là
3( 5) 2( 1) 0 3 2 13 0
x y x y
41 23
;
13 13
I d I
0.25đ
gọi A’ đối xứng với A qua
suy ra '
17 59
;
13 13
A
Ta có:
' '
MA MB MA MB A B
suy ra
MA MB
nhỏ nhất khi và chỉ khi A’, M, B
thẳng hàng
0.25đ
'
:17 6 5 0
A B x y
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
7
17 6 5 0
7 9
13 ;
2 3 1 0 9
13 13
13
x
x y M
x y y
0.25đ
c. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho tam giác ABC, phân giác trong AD có
phương trình
2 0
x y
, đường cao CH có phương trình
2 5 0
x y
. Điểm
3;0
M thuộc cạnh AC thoả mãn
2
AB AM
. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác
ABC
1
đ
Đường thẳng d qua M vuông góc với AD của có phương trình
3 0
x y
; Gọi I, E
là giao diểm của AD, AB với d. Dễ thấy tam giác AME cân tại A
Toạ độ I là nghiệm của hệ
3 0 5 1
; 2; 1
2 0 2 2
x y I E
x y
0.25
AB là đường thẳng qua E vuông góc với CH
: 2 3 0
AB x y
Toạ độ A là nghiệm của hệ
2 3 0
1;1
2 0
x y A
x y
0.25
Do
2
AB AM
mà
( ;3 2 )
B AB B b b
suy ra
3 1
b b
b=3 ta có: B(3;-3) loại
b=-1 ta có: B(-1;5) thỏa mãn
0.25
Phương trình
: 2 3 0
AM x y
Toạ độ C là nghiệm của hệ
2 3 0
1; 2
2 5 0
x y C
x y
0.25
Câu 4. Cho hai số
,
x y
là những số thực dương và thỏa mãn
5
x y
. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 4 2
4
x y x y
Pxy
1
đ
Ta có:
4 1 4 1 5
2 4 4 2
x y y
P x
y x y x
0.25đ
d
I
B C
A
D
E
M
H
4 1 5 3
2 . 2 .
4 2 2
yx
y x
0.25đ
Do đó min
1
3
4
2
x
Py
0.25đ
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
3
2
khi x=1, y=4 0.25đ
Câu 5. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 4, gọi a,b,c là độ dài các cạnh
của tam giác. Chứng minh rằng: 2 2 2
27( ) 208
a b c abc
1
đ
Ta có:
4 4 2
a b c a b c c c
; tương tự
2; 2
a b
0.25đ
Áp dụng cô si với 3 số 2-a;2-b;2-c ta được:
3
2 2 2 8
(2 )(2 )(2 )
3 27
a b c
a b c
0.25đ
8
8 4( ) 2( )
27
8
8 2( ) 27
a b c ab bc ca abc
ab bc ca abc
0.25đ
2 2 2 2
2 2 2
8
8 ( ) 27
27( ) 208
a b c a b c abc
a b c abc
0.25đ