1
Đề số 6
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
A. PHẦN CHUNG
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
xx
xx
2
3 4 1
lim
11

b)
x
xx
29
lim33

c)
x
xx
2
lim
273

d)
xx
xx
223
lim 21


Câu 2: Cho hàm số
.
a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình
x x x
54
3 5 2 0
có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng
(–2; 5)
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
b)
y x x
23
( 1)( 2)
c)
yx22
1
( 1)
d)
y x x
22
e)
x
yx
4
2
2
21
3




B.PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC=
a2
, I là trung điểm cạnh AC, AM là đường
cao của SAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
a) Chứng minh AC SB, SB (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy
ABCD.
a) Chứng minh rằng (SAC) (SBD), (SBD) (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC.
--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
2
Đề số 6
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Câu 1:
a)
x x x x x
x x x
xx
2
3 4 1 ( 1)(3 1)
lim lim lim (3 1) 2
1 1 1
11

b)
xx
xx
x
29
lim lim ( 3) 6
33
3
c)
xx
xx
x
2
lim lim 7 3 6
22
73


d)
x x x
xx xx
x x x
x x x
22
1 3 1 3
222
23
lim lim lim
2 1 2 1 2 1


  
x
x
x
2
13
2
lim 2
1
2





Câu 2:
Ta có tập xác định của hàm số là D = R
a) Khi m = 3 ta có
xx x khi x
khi x
fx xkhi x
khi x
( 1)( 2) 1, 2
,2
() 23 , 2
3 , 2




f(x) liên tục tại mọi x 2.
Tại x = 2 ta có: f(2) = 3;
f x x
xx
lim ( ) lim ( 1) 3
22

f(x) liên tục tại x = 2.
Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
b)
xx khi x x khi x
fx xm khi x
m khi x
22 2 12
() 22
2




Tại x = 2 ta có: f(2) = m ,
fx
x
lim ( ) 3
2
Hàm số f(x) liên tục tại x = 2
f f x m
x
(2) lim ( ) 3
2
Câu 3: Xét hàm số
f x x x x
54
( ) 3 5 2
f liên tục trên R.
Ta có:
f f f f(0) 2, (1) 1, (2) 8, (4) 16
ff(0). (1) 0
PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
c1(0;1)
ff(1). (2) 0
PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
c2(1;2)
ff(2). (4) 0
PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
c3(2;4)
PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
Câu 4:
a)
y x x x
42
' 5 3 4
b)
x
y
x3
2
4
'
1
c)
x
y
xx
2
1
'2
d)
xx
yx
x
3
2
22
2
56 2 3
'3
3

 


3
Câu 5a: a) AC BI, AC SI AC SB.
SB AM, SB AC SB (AMC)
b) SI (ABC)
SB ABC SBI,( )
AC = 2a BI = a = SI SBI vuông cân
SBI 0
45
c) SB (AMC)
SC AMC SCM,( )
Tính được SB = SC =
a2
= BC SBC đều M là trung điểm
của SB
SCM 0
30
Câu 5b:
a) Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên
SO ABCD
AC BD
()
SO BD BD SAC
AC BD ()

(SAC) (SBD)
SO (ABCD
SO SBD
)
()
(SBD) (ABCD)
b) Tính
d S ABCD( ,( ))
SO (ABCD)
d S ABCD SO( ,( ))
Xét tam giác SOB có
a a a
OB SB a SO SA OB SO
2
2 2 2
2 7 14
,2
2 2 2
Tính
d O SBC( ,( ))
Lấy M là trung điểm BC OM BC, SM BC BC (SOM) (SBC) (SOM).
Trong SOM, vẽ OH SM OH (SBC)
d O SBC OH( ,( ))
Tính OH:
SOM có
a
SO OM .OS a a
OH OH
aOH OM OS OM OS
OM
2 2 2
2
2 2 2 2 2
14 1 1 1 7 210
230 30
2
c) Tính
d BD SC( , )
Trong SOC, vẽ OK SC. Ta có BD (SAC) BD OK OK là đường vuông góc chung của
BD và SC
d BD SC OK( , )
.
Tính OK:
SOC có
a
SO OC .OS a a
OK OK
aOK OC OS OC OS
OC
2 2 2
2
2 2 2 2 2
14 1 1 1 7 7
216 4
2
2
========================
S
A B
C
M
DO
H
K
S
A
B
C
I
M
1
Đề số 7
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. PHẦN BẮT BUỘC:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a)
xxx
2
lim 5
 
b)
x
x
x2
3
3
lim 9

Câu 2 (1 điểm): Cho hàm số
xkhi x
xx
fx
A khi x
2
2 1 1
2
2 3 1
() 1
2



Xét tính liên tục của hàm số tại
x1
2

Câu 3 (1 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]:
xx
35 3 0
.
Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x( 1)(2 3)
b)
x
y2
1 cos 2

Câu 5 (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
BAD 0
60
, đường
cao SO = a.
a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. Chứng minh rằng: BC
(SOK)
b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số:
y x x
3
2 7 1
(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.
Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA
(ABC), SA= a. M
là một điểm trên cạnh AB,
ACM
, hạ SH
CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.
b) Hạ AK SH. Tính SK và AH theo a và
.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P):
x
yx
2
12
và (C):
xx
yx
23
126
.
a) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm.
Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB = SC
= SD =
5
2
a
. Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD.
a) Chứng minh rằng: SO
(ABCD).
b) Chứng minh rằng: (SIJ)
(ABCD). Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC).
c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
2
Đề số 7
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Câu 1:
a)
x x x
xx
xx xx
2
2
2
55
lim 5 lim lim 0
5
511
  

 



b)
xx
x
x
x2
33
3 1 1
lim lim 36
9
 
Câu 2:
xkhi x
xx
fx
A khi x
2
2 1 1
2
2 3 1
() 1
2



=
khi x
x
A khi x
11
12
1
2


Tại
x1
2

ta có:
fA
1
2




,
xx
1
2
1
lim 2
1

fx()
liên tục tại
x1
2

x
fA
x
1
2
11
lim 2
21




Câu 3: Xét hàm số
f x x x
3
( ) 5 3
fx()
liên tục trên R.
ff(0) 3, (1) 3
ff(0). (1) 0
PT đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(0;1)
.
Câu 4:
a)
y x x x x y x
2
( 1)(2 3) 2 3 4 1
b)
xx
xx
yy
xx
2
22
2sin cos sin
22
1 cos '
24. 1 cos 4. 1 cos
22

Câu 5:
a) AB = AD = a,
BAD 0
60
BAD
đều
BD a
BC OK, BC SO BC (SOK).
b) Tính góc của SK và mp(ABCD)
SO (ABCD)
SK ABCD SKO,( )
BOC
có
aa
OB OC 3
,
22

a
OK
OK OB OC
2 2 2
1 1 1 3
4
SO
SKO OK
43
tan 3

c) Tính khoảng cách giữa AD và SB
AD // BC AD // (SBC)
d AD SB d A SBC( , ) ( ,( ))
Vẽ OF SK OF (SBC)
Vẽ AH // OF, H CF AH (SBC)
d AD SB d A SBC AH( , ) ( ,( ))
.
CAH có OF là đường trung bình nên AH = 2.OF
SOK có OK =
a3
4
, OS = a
a
OF
OF OS OK
2 2 2
1 1 1 57
19
a
AH OF 2 57
219

Câu 6a:
y x x
3
2 7 1
yx
2
' 6 7
S
AB
C
D
OK
F
H
0
60