PHÒNG GIÁO D C – ĐÀO T O ĐC THỤ Ạ Ứ Ọ
Đ THI CH N ĐI TUY N H C SINH GI I C P HUY N NĂM H C 2013-2014Ề Ọ Ộ Ể Ọ Ỏ Ấ Ệ Ọ
MÔN TOÁN 9
Th i gian làm bài: 150 phútờ
Bài 1: Rút g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
a)
A 4 10 2 5 4 10 2 5 5= + + + − + −
b)
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
x y x x y y
x y
Bxy x x y y x y
− −
= + −
− −
v i xy > 0; x ớ y
Bài 2: Tìm các s nguyên x, y th a mãn ố ỏ
2
y 2xy 7x 12 0+ − − =
Bài 3: Gi i các ph ng trình ả ươ
a)
5 x 5 x
x x 6
x 1 x 1
− −
+ =
+ +
b)
( ) ( )
10 14
x 2013 x 2014 1− + − =
Bài 4: Cho ABC vuông t i A (AC > AB), đng cao AH (H ạ ườ BC). Trên tia HC l y đi m D sao cho HDấ ể
= HA. Đng vuông góc v i BC t i D c t AC t i E.ườ ớ ạ ắ ạ
a) Ch ng minh r ng ứ ằ BEC ADC. Tính BE theo m = AB
b) G i M là trung đi m c a BE. Ch ng minh r ng ọ ể ủ ứ ằ BHM BEC. Tính
ﾷ
AHM
c) Tia AM c t BC t i G. Ch ng minh r ng ắ ạ ứ ằ
GB HD
BC AH HC
=+
Bài 5: a) Cho
( )
( )
3 3 2 2
x y 3 x y 4 x y 4 0+ + + + + + =
và xy > 0
Tìm GTLN c a ủ
b) V i a, b, c là các s th c d ng. Ch ng minh r ng ớ ố ự ươ ứ ằ
5 5 5 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a 3
+ +
+ +
+ + + + + +
Bài gi i c a Nguy n Ng c Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãnả ủ ễ ọ
Bài 1: a) Đt ặ
( )
= + + + − + = + − = + − = +
2
x 4 10 2 5 4 10 2 5 x 8 2 6 2 5 8 2 5 1 6 2 5
x 5 1 = +
. Do đó A = 1
b)
( )
( ) ( )
( )
− −
= + −
− −
x y x x y y
B 1 x x y y x y
Xét các tr ng h p x < y < 0; y < x < 0; x > y > 0 và y > x > 0 ta đu đcườ ợ ề ượ
=B 1
Bài 2: Cách 1:
( ) ( ) ( )
+ − − = + = + +
2
2
y 2xy 7x 12 0 x y x 3 x 4
(x + 3)(x + 4) là tích c a 2 s nguyên liên ti p nên không th là 1 s chính ph ngủ ố ế ể ố ươ
Dó đó
x 3 0 x 3
x 4 0 x 4
+ = = −
+ = = −
T đó ta tìm đc (x; y) ừ ượ {(-3; 3); (-4; 4)}
Cách 2:
( )
+ − − = + − − = − + − = −
2 2 2
y 2xy 7x 12 0 4y 8xy 28x 48 0 4y 49 4x 2y 7 1
( ) ( )
2y 7 2y 7 4x 1 − + + = −
ta có
2y 7 1 x 4
2y 7 4x 1 y 4
− = = −
+ + = − =
2y 7 1 x 3
2y 7 4x 1 y 3
− = − = −
+ + = =
Bài 3: a) Cách 1: ĐKXĐ: x -1. Đt ặ
−
=
+
5 x
x a
x 1
và
−
+ =
+
5 x
x b
x 1
.
Ta có
− − − + + + −
+ = + + = =
+ + +
2 2
5 x 5 x 5x x x x 5 x
a b x x 5
x 1 x 1 x 1
Do đó
a 2
b 3
ab 6
a b 5 a 3
b 2
=
=
=
+ = =
=
. V i ớ
2
2
2
5 x
x 2
a 2 x 3x 2 0
x 1 x 3x 2 0
b 3 x 3x 2 0
5 x
x 3
x 1
−
=
= − + =
+
− + =
=− + =
−
+ =
+
( ) ( )
x 1
x 1 x 2 0 x 2
=
− − = =
V i ớ
( )
2
2
2
2
5 x
x 3
a 3 x 2x 3 0
x 1 x 2x 3 0 x 1 2 0
b 2 x 2x 3 0
5 x
x 2
x 1
−
=
= − + =
+
− + = − + =
=− + =
−
+ =
+
, vô nghi mệ
V y ph ng trình có t p nghi m S = {1; 2}ậ ươ ậ ệ
Cách 2:
( ) ( )
( )
− −
+ = − + = + − + − + =
+ +
2
2 2 4 3 2
5 x 5 x
x x 6 5x x x 5 6 x 1 x 5x 11x 13x 6 0
x 1 x 1
( ) ( )
− + − + = − + − + =
4 3 2 2 2
x 5x 11x 13x 6 0 x 3x 2 x 2x 3 0
T đó ta tìm đc t p nghi m S = {1; 2}ừ ượ ậ ệ
b)
( ) ( )
− + − = − + − =
10 14 5 7
x 2013 x 2014 1 x 2013 x 2014 1
Ta có x = 2013, x = 2014 là 2 nghi m c a ph ng trình. Ta ch ng minh 2 nghi m này là duy nh tệ ủ ươ ứ ệ ấ
Xét x < 2013
− < − − > − > − + − >
7 5 7
x 2014 1 x 2014 1 x 2014 1 x 2013 x 2014 1
Xét 2013 < x < 2014
5
7
0 x 2013 1 x 2013 x 2013
0 x 2013 1
1 x 2014 0 0 x 2014 1 x 2014 x 2014
< − < − < −
< − <
− < − < < − <
− < −
5 7
x 2013 x 2014 x 2013 x 2014 x 2013 2014 x 1 − + − < − + − = − + − =
Xét x > 2014
− < − − > − > − + − >
5 5 7
x 2014 1 x 2013 1 x 2013 1 x 2013 x 2014 1
V y ph ng trình có nghi m x = 2013, x = 2014ậ ươ ệ
Bài 4: a) Xét EDC và BAC có
ﾷ
ﾷ
ﾷ
0
EDC BAC 90 (gt)
C chung
= =
EDC BAC (g – g)
EC BC
DC AC
=
Xét BEC và ADC có
A
B
C
H D
E
M
G
m
ﾷ
EC BC
DC AC
C chung
=
BEC ADC (c – g - c)
ﾷ
ﾷ
BEC ADC=
. M t khác AH = HD (gt) nên ặ
ﾷ
ﾷ
ﾷ
ﾷ
0 0 0 0
ADH 45 ADC 135 BEC 135 AEB 45 = = = =
AEB vuông cân t i A. ạ
Do đó
BE m 2=
b) Xét AHB và CAB có
ﾷ
ﾷ
ﾷ
0
AHB CAB 90 (gt)
B chung
= =
AHB CAB (g – g)
2 2 2
AB BH BE BH BM BH
AB BH.BC 2AB 2BH.BC BE 2BH.BC
BC AB 2BC BE BC BE
= = = = = =
(Vì BE = 2BM). Xét BHM và BEC có
ﾷ
BM BH
BC BE
MBH chung
=
BHM BEC (c – g - c)
ﾷ
ﾷ
ﾷ
0 0
BHM BEC 135 AHM 45 = = =
c) Xét AHC và BAC có
ﾷ
ﾷ
ﾷ
0
AHC BAC 90 (gt)
C chung
= =
AHC BAC (g – g)
AH AB
HC AC
=
(1)
M t khác ặAEB vuông cân t i A có AM là trung tuy n thì AM cũng là phân giác hay AG là đngạ ế ườ
phân giác c a ủABC. Suy ra
GB AB
GC AC
=
(2). T (1) và (2) ta có:ừ
( )
GB AH GB.HC AH.GC GB.HC AH. BC GB GB.HC AH.BC AH.GB
GC HC
= = = − = −
AH.GB GB.HC HD.BC + =
(Vì HD = AH)
( )
GB. AH HC HD.BC + =
GB HD
BC AH HC
= +
Bài 5: a)
( )
( )
3 3 2 2
x y 3 x y 4 x y 4 0+ + + + + + =
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
x y x xy y 2 x xy y x 2xy y 4 x y 4 0 + − + + − + + + + + + + =
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
1
x xy y x y 2 x y 2 0 x y 2 2x 2xy 2y 2x 2y 4 0
2
− + + + + + + = + + − + + + + =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1x y 2 x y x 1 y 1 2 0 x y 2 0 x y 2
2
+ + − + + + + + = + + = + = −

Mà xy > 0 do đó x, y < 0
Áp d ng BĐT CauChy ta có ụ
( ) ( ) ( ) ( )
x y
x y 1
2
− + −
− − =
nên xy ≤ 1, do đó
22
xy
− −
V y ậ
1 1 x y
M 2
x y xy
+
= + = −
, GTLN c a M là -2. Đt đc khi x = y = -1ủ ạ ượ
b) Cách 1: Ta có:
( )
( )
( )
3
3 2 2 3 3
2 2
a 2a b 3a 2a b a ab b a b ab a b
a ab b 3
−
− + + + +
+ +
( )
2
2 2
a ab b ab a b 0 − + −
luôn đúng.
Do đó
3 5 3 2
2 2 2 2
a 2a b a 2a a b
a ab b 3 a ab b 3
− −
+ + + +
. Ch ng minh t ng t ta đcứ ươ ự ượ
5 5 5 3 3 3 3 3 3 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c a b c a b c a b b c c a
a ab b b bc c c ca a 3 3
+ + + + − − −
+ + +
+ + + + + +
M t khác: Vai trò a, b, c nh nhau nên gi s ặ ư ả ử
a b c 0 >
( ) ( ) ( )
3 3 3 2 2 2 2 2 2
a b c a b b c c a a a b b b c c c a+ + − − − = − + − + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
a a b b b a a c c c a a b a b a c b c b c 0= − + − + − + − = − + + − − +
T đó suy ra ừ
5 5 5 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a 3
+ +
+ +
+ + + + + +
. D u “=” x y ra khi a = b = cấ ả
Cách 2: Áp d ng BĐT Bunhia m r ng ta cóụ ở ộ
5 5 5 6 6 6
2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a a a b ab b b c bc c c a ca
+ + = + +
+ + + + + + + + + + + +
( )
2
3 3 3
3 3 3 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c a b ab b c bc c a ca
+ +
+ + + + + + + +
M t khác ặ
( ) ( )
22 2 3 3
a b 0 a ab b ab a b ab a b− − + + +
t ng t ươ ự
( )
3 3
b c bc b c+ +
( )
3 3
c a ca c a+ +
. Suy ra
( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 a b c ab a b bc b c ca c a+ + + + + + +
( )
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
3 a b c a b c ab a b bc b c ca c a+ + + + + + + + + +
( )
2
3 3 3 3 3 3
3 3 3 2 2 2 2 2 2
a b c a b c
a b c a b ab b c bc c a ca 3
+ + + +
+ + + + + + + +
D đoán:ự M i câu 1 đ theo thang đi m 10 và m i câu 2 đ theo thang đi m 20ỗ ể ỗ ể