ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2012 của ĐẠI HỌC KHOA
HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI
Ngày thi: 04/03/2012. Thời gian làm bài: 180 phút
MÔN GIẢI TÍCH
Bài 1. Cho P(x) là đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện ∫10xkP(x)dx=0,k=1,2,…,n. Chứng
minh rằng
∫10(P(x))2dx=(n+1)2(∫10P(x)dx)2
Bài 2. Cho hàm số f khả vi liên tục trên đoạn [0,1] sao cho f(0)=0,f(1)=1 và ∣∣f′(x)∣∣≤2 với
mọi x∈[0,1]. Chứng minh rằng
∫10f(x)dx>18
Bài 3. Cho dãy số thực {an} thỏa mãn điều kiện
limn→∞(2an+1−an)=2012
Chứng minh rằng dãy số {an} hội tụ.
Bài 4. Cho hai hàm số f và g xác định và liên tục trên đoạn [0,1]. Giả sử có tồn tại dãy số {xn}
trong đoạn [0,1] sao cho f(xn)=g(xn+1) với mọi n∈N. Chứng minh rằng tồn tại một điểm
α∈[0,1] sao cho f(α)=g(α).
Bài 5. Tìm một hàm số f khả vi liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện sau:
1. f(Q)⊂Q với ( Q là tập các số hữu tỉ);
2. f(R∖Q)⊂R∖Q;
3. f′ không là hàm hằng.