S GIÁO D C - ĐÀO T OỞ Ụ Ạ Đ THI CH N H C SINH GI I B C PTTHỀ Ọ Ọ Ỏ Ậ
TH A THIÊN HU Ừ Ế NĂM H C 2001-2002.Ọ
----------------------- -------------------------------------------------
Đ CHÍNH TH C Ề Ứ MÔN: TOÁN (VÒNG 2).
SBD: (180 phút, không k th i gian giao đ )ể ờ ề
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: a/ Gi i ph ng trình: ả ươ
2 3 2
3(x 2x 2) 10 x 2x 2x 1+ + = + + +
b/ Ch ng minh: logứ89 + log810 + log811 < 2log23.
Bài 2: a/ V i A, B, C là ba góc c a m t tam giác, ch ng minh r ng ph ng trình:ớ ủ ộ ứ ằ ươ
2
x 2x
A B C
3 sin sin sin
2 2 2
−
= + +
có 4 nghi m phân bi t.ệ ệ
b/ Gi i ph ng trình: ả ươ
2
x 1 2 x 2
x.3 (x 1).3 1 x x 0
−
+ − + − − =
Bài 3: Trong m t ph ng, cho t giác (l i) có : t ng kho ng cách t m i đ nh đ n các c nh là m tặ ẳ ứ ồ ổ ả ừ ỗ ỉ ế ạ ộ
s không đ i đ i v i t t c các đ nh. Ch ng minh r ng t giác đó là hình bình hành.ố ổ ố ớ ấ ả ỉ ứ ằ ứ
Bài 4: Cho t p h p E = { xậ ợ ∈ N/ 1 ≤ x ≤ 2001}, k, r là hai s cho tr c:ố ướ
2 ≤ k ≤ 20001, r ∈ N*.
H i có bao nhiêu b (aỏ ộ 1, a2, ..., ak) th a mãn các đi u ki n sau:ỏ ề ệ
(i) ai ∈ E,
i 1,k=
.
(ii) a1 < a2 < ...< ak.
(iii) Min{ai+1 – ai /
i 1,k 1= −
} = r
S GIÁO D C - ĐÀO T OỞ Ụ Ạ KỲ THI CH N H C SINH GI I B C PTTHỌ Ọ Ỏ Ậ
TH A THIÊN HU Ừ Ế NĂM H C 2001-2002.Ọ
-----------------------
H NG D N CH M VÀ BI U ĐI M Đ THI MÔN TOÁNƯỚ Ẫ Ấ Ể Ể Ề
L P 12 -VÒNG 2.Ớ
Bài 1:
Câu a: Gi i ph ng trình: ả ươ
2 3 2
3(x 2x 2) 10 x 2x 2x 1+ + = + + +
(1).
•
3 2 2
x 2x 2x 1 (x 1)(x x 1)+ + + = + + +
nên đi u ki n là: x ề ệ ≥ -1.
•x2 + 2x + 2 = (x +1) + (x2 + x + 1), đ t ặ
a x 1= +
,
•V i đi u ki n x ớ ề ệ ≥ -1: (1) tr thành: ở
3(a2 + b2) = 10ab ⇔ 3a2 – 10ab + 3b2 = 0 ⇔ (a – 3b)(3a – b) = 0 ⇔ a = 3b hay a = b/3.
•a = 3b ⇔
x 1+
=3
2
x x 1+ +
⇔ x + 1 = 9(x2 + x + 1) ⇔ 9x2 + 8x + 8 = 0 (vô nghi m)ệ
•a = b/3 ⇔ 3a = b ⇔3
x 1+
=
2
x x 1+ +
⇔9(x + 1) = x2 + x + 1 ⇔ x2 - 8x - 8 = 0
x 4 2 6=� �
•V y ph ng trình có hai nghi m:ậ ươ ệ
x 4 2 6=
.
Cách khác: Bình ph ng và phân tích thành tích.....ươ
Câu b: Ch ng minh: logứ89 + log810 + log811 < 2log23.
•Tr c h t ch ng minh: logướ ế ứ n(n+1) > logn+1(n+2) , ∀n>1 (1).
•Vì:
n 1
n 1 n 1
n
log (n 2) log (n 2).log n
log (n 1)
++ +
+= +
+
, áp d ng b t đ ng th c Cói cho hai s d ng ta có:ụ ấ ẳ ứ ố ươ
•
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
log (n 2) log n 2 log (n 2).log n log n(n 2) 2 log (n 2).log n
+ + + + + + +
+ + + + +� � �
•
2
n 1 n 1 n 1 n 1
2 log (n 1) .log n 2 log (n 2).log n
+ + + +
= + +� �
•
n 1 n 1
log (n 2) log n 1
+ +
+ + <�
n 1
n
log (n 2) 1
log (n 1)
+
+<�+
suy ra (1) th a.ỏ
•T công th c (1) ta có: logừ ứ 89 + log810 + log811 < 3log89 = 2log23.
•Cách khác: Có th gi i (1) b ng cách xét hàm y = logể ả ằ x(x+1) =
ln(x 1)
ln x
+
v i x>1 và suy ra y’>0...ớ
Bài 2:
Câu a:
•Vì A,B,C ∈(0; π) nên:
A B C
sin sin sin 0
2 2 2
+ + >
. Do đó:
(1)
2
3
A B C
| x 2x | log sin sin sin m (2)
2 2 2
� �
− = + + =�� �
� �
•Nên s nghi m c a (1) chính là s giao đi m c a hai đ ng: y = f(x) = |xố ệ ủ ố ể ủ ườ 2-2x| (C) và (d): y = m.
•Kh o sát và v đ th (C)ả ẽ ồ ị
•D a vào đ th ta đ c: (2) có 4 nghi m khi ch khi 0< m <1ự ồ ị ượ ệ ỉ
y
x
O2
y = m
•
3
A B C A B C
log sin sin sin 1 1 sin sin sin 3 (3)
2 2 2 2 2 2
� �
+ + < < + + <� �
� �
� �
•Ch ng minh (3)ứ : A,B,C ∈(0; π) nên:
A B C A B C
sin ;sin ;sin (0;1) sin sin sin 3 (4)
2 2 2 2 2 2
+ + <� �
.
A,B ∈(0; π) nên:
A B A B
sin 0;sin 0;cos 1;cos 1
2 2 2 2
> > < <
A B A B B A A B C
sin sin sin .cos sin .cos sin cos (5)
2 2 2 2 2 2 2 2
+
+ > + = =�
T (5): ừ
2 2
A B C C C C C
sin sin sin cos sin cos sin 1 (6)
2 2 2 2 2 2 2
+ + > + + =
T (4) và (6) suy ra: (3) đúng. V y ph ng trình (1) có đúng 4 nghi m.ừ ậ ươ ệ
Chú ý thêm:
A B C 3
1 sin sin sin
2 2 2 2
< + +
Câu b:
•Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i: ươ ươ ươ ớ
2
2 x x 1
(x 1).(3 1) x.(3 1) 0
−
− − + − =
•Xét x = 0; x = ± 1: Thay vào (1) ta th y đ u th a nên ph ng trình có các nghi m: x = 0; x = ấ ề ỏ ươ ệ ±
1.
•Xét x ≠ 0; x ≠ ± 1: Khi đó (1) ⇔
2
x x 1
2
3 1 3 1 0 (2)
x x 1
−
− −
+ =
−
V i t ớ≠ 0, xét hàm s : ố
t
3 1
f (t) t
−
=
.
* V i t > 0 thì 3ớt – 1 > 0 ⇒f(t) > 0 và v i t < 0 thì 3ớt – 1 < 0 ⇒ f(t) > 0, do đó:
Vì (2) ⇔ f(x) + f(x2 – 1) = 0 nên (2) vô nghi m.ệ
•V y ph ng trình đã cho có t t c là 3 nghi m: x = 0; x = ậ ươ ấ ả ệ ± 1.
Bài 3:
•G i ọ
n
r
là vect pháp tuy n đ n v c a đ ng th ng a, ơ ế ơ ị ủ ườ ẳ
n
r
có g c trên a. M và N là hai đi m vố ể ở ề
m t n a m t ph ng có b a ch a vect ộ ữ ặ ẳ ờ ứ ơ
n
r
.
Khi đó ta có:
2
M
HM.n t .n=
uuuur r r
(1)
2
N
KN.n t .n=
uuur r r
(2)
T gi thi t ta đ c: từ ả ế ượ M = d(M,a) và tN = d(N,a) và t (1) và (2)ừ
suy ra:
MN.n d(N,a) d(M,a)= −
uuuur r
(3).
•G i ọ
1
n
uur
,
2
n
uur
,
3
n
uur
,
4
n
uur
là các vect pháp tuy n đ n v có g c trên các c nhơ ế ơ ị ố ạ
AB,BC,CD,DA và mi n trong t giác ABCD. G i k là t ng kho ng ở ề ứ ọ ổ ả
cách t m t đ nh đ n các đ ng th ng ch a c nh c a t giác. Khi đóừ ộ ỉ ế ườ ẳ ứ ạ ủ ứ
ta có:
AB
uuur
(
1
n
uur
+
2
n
uur
+
3
n
uur
+
4
n
uur
) =[d(B,AB) – d(A,AB)] + [d(B,BC) – d(A,BC)] + [d(B,CD) – d(A,CD)] +
[d(B,DA) – d(A,DA)]
Do đó:
AB
uuur
(
1
n
uur
+
2
n
uur
+
3
n
uur
+
4
n
uur
) = k – k = 0 (4). T ng t ta có: ươ ự
BC
uuur
(
1
n
uur
+
2
n
uur
+
3
n
uur
+
4
n
uur
) = 0 (5).
•Vì A,B,C không th ng hàng nên t (4) và (5) ta suy ra: ẳ ừ
1
n
uur
+
2
n
uur
+
3
n
uur
+
4
n
uur
=
0
r
(6).
•T (6) suy ra: ừ
2
1
n
uur
+
2
2
n
uur
+
1 2
2n .n
uur uur
=
2
3
n
uur
+
2
4
n
uur
+
3 4
2n .n
uur uur
nên: (
1
n
uur
,
2
n
uur
) = (
3
n
uur
,
4
n
uur
) (7).
•T (6) suy ra: ừ
2
2
n
uur
+
2
3
n
uur
+
2 3
2n .n
uur uur
=
2
1
n
uur
+
2
4
n
uur
+
1 4
2n .n
uur uur
nên: (
2
n
uur
,
3
n
uur
) = (
1
n
uur
,
4
n
uur
) (8).
•Do: (
1
n
uur
,
2
n
uur
) + (
2
n
uur
,
3
n
uur
) + (
3
n
uur
,
4
n
uur
) + (
1
n
uur
,
4
n
uur
) = 3600 nên:
(
1
n
uur
,
2
n
uur
)+(
2
n
uur
,
3
n
uur
) = (
3
n
uur
,
4
n
uur
)+(
1
n
uur
,
4
n
uur
) = 1800, suy ra:(
1
n
uur
,
3
n
uur
) = 1800, t ng t : (ươ ự
2
n
uur
,
4
n
uur
) = 1800.
(9)
a
K
N
M
H
n
r
•T (9) suy ra các c nh đ i c a t giác song song nhau: AB // CD, BC // AD. V y ABCD là hìnhừ ạ ố ủ ứ ậ
bình hành.
Cách khác: Sau khi ch ng minh đ c (6). G i 0 là m t đi m tùy ý.ứ ượ ọ ộ ể
Đ t: ặ
1 1 2 2 3 3 4 4
ON n , ON n , ON n , ON n= = = =
uuuur uur uuuur uur uuuur uur uuuur uur
suy ra Ni thu c đ ng tròn tâm O, bán kínhộ ườ
1. Do (6) suy ra O là tr ng tâm c a t giác Nọ ủ ứ 1N2N3N4 suy ra O là trung đi m c a đo n n iể ủ ạ ố
hai trung đi m c a hai c nh Nể ủ ạ 1N2, N3N4 và t đó suy ra: Nừ1N2 // N3N4 , suy ra N1N2N3N4 là
hình ch nh t, suy ra: ữ ậ
2 4 1 3
n n , n n= − = −
uur uur uur uur
nên AB // CD,BC // AD. V y ABCD là hình bình hành.ậ
Bài 4:
•Đ t n = 2001.ặ
(a1,a2,...,ak) th a (i) (ii) t ng ng m t t p con k ph n t c a E.ỏ ươ ứ ộ ậ ầ ử ủ
Kí hi u: ệ Alà t p các t p con c a E v i: A = {aậ ậ ủ ớ 1, a2, ..., ak} a1< a2 < ...< ak;
Min{ai+1-ai /
i 1,k 1= −
} ≥ r; ur(k) là s ph n t c a ố ầ ử ủ A.
•Tr ng h p 1ườ ợ : ur(k) = 0 n u k > n – (k – 1)(r – 1).ế
Th t v y: k > n – (k – 1)(r – 1) ậ ậ ⇔ (k – 1)r > n – 1 (*).
Ta có : ai+1-ai ≥ r
i 1,k 1= −
⇒ ak –a1 ≥ (k - 1)r mà ak –a1 ≤ n – 1 ⇒(k – 1)r ≤ n – 1 mâu thu nẫ
v i (*), do đó không t n t i A, suy ra ớ ồ ạ A= ∅ ⇒ ur(k) = 0 .
•Tr ng h p 2:ườ ợ
k
r n (k 1)(r 1)
u (k) C
− − −
=
n u k ế≤ n – (k – 1)(r – 1).
Th t v y: Xét M = { 1, 2, ...., n-(k– 1)(r – 1)} và ậ ậ B là các t p con k ph n t c a M.ậ ầ ử ủ
Xét ánh x : ạA
f
B : f(A) = B xác đ nh nh sau: A = {aị ư 1, a2, ..., ak} ∈ A thì:
B = {a1, a2 – (r – 1), ..., ai – (i – 1)(r – 1), ..., ak – (k – 1)(r – 1)}; bi = ai – (i – 1)(r – 1);
bi +1 – bi = ai + 1 -ai - (r – 1) ≥ 1; bk = ak – (k – 1)(r – 1) ≤ n - (k– 1)(r – 1).
Suy ra: bi ∈ M suy ra: B∈B.
Ch ng t f song ánh: ta đ c A ứ ỏ ượ ≠ A’ ⇒ f(A) ≠ f(A’) và ∀B∈B, B = {b1, b2, ..., bk} b1<b2< ...< bk
L y t o nh: aấ ạ ả i = bi + (i – 1)(r – 1),
i 1, k
ki m ch ng đ c aể ứ ượ 1< a2< ...< ak và ai + 1 -ai ≥ 1
i 1, k 1−�
Suy ra: A = {a1, a2, ..., ak}∈ A và f(A) = B. V y f song ánh. Do đó: ậ
k
r n (k 1)(r 1)
u (k) C
− − −
=
.
•T hai tr ng h p (1) và (2) trên ta có: ừ ườ ợ
k
r n (k 1)(r 1)
u (k) C
− − −
=
v i quy c ớ ướ
k
m
C 0=
khi m < k. Do đó:
s b s (aố ộ ố 1, a2, ..., ak) th a đ bài là: uỏ ề r(k) – ur + 1(k).
________________________________________