PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG<br />
ĐỀ CHÍNH THỨC<br />
<br />
GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN<br />
NĂM HỌC 2017-2018<br />
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 7<br />
<br />
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)<br />
Đề thi này gồm 01 trang<br />
<br />
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!<br />
104.81 16.152<br />
Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A <br />
44.675<br />
<br />
Câu 2. (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn:<br />
<br />
x y z<br />
<br />
và 2 x 2 2 y 2 3z 2 100 .<br />
3 4 5<br />
<br />
Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018 0 .<br />
Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2.<br />
Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau:<br />
2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
<br />
Tính giá trị của biểu thức: M <br />
<br />
ab bc cd d a<br />
<br />
<br />
<br />
cd d a ab bc<br />
<br />
Câu 5. (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: f x ax 2 bx c<br />
<br />
(x là ẩn; a, b, c là hệ số).<br />
<br />
Biết rằng: f 0 2018 , f 1 2019 , f 1 2017 . Tính f 2019 .<br />
Câu 6. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =<br />
<br />
27 2 x<br />
(với x là số nguyên).<br />
12 x<br />
<br />
Câu 7. (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c<br />
Câu 8. (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 600. Tia Oz là phân giác của góc xOy. Từ điểm B bất kì trên<br />
tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vuông góc với Oy, Oz tại H và K. Qua B kẻ đường song song với Oy cắt<br />
Oz tại M. Chứng minh rằng BH=MK.<br />
Câu 9. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho<br />
MA=2cm, MB=3cm và AMC 1350 . Tính MC.<br />
Câu 10. (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3;...; 200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa<br />
lấy luôn tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.<br />
-------------HẾT-----------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!<br />
Họ và tên thí sinh: .................................... Số báo danh: ...............Phòng thi: .......<br />
<br />
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG<br />
<br />
HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU CHỌN HSG<br />
<br />
Năm học: 2017 – 2018<br />
Môn Toán – Lớp 7<br />
Hướng dẫn chung:<br />
-Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm<br />
tối đa.<br />
-Câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó.<br />
Nội dung<br />
10 .81 16.15<br />
2 .5 .3 2 4.32.5 2<br />
A<br />
=<br />
44.675<br />
28.33.5 2<br />
<br />
Câu<br />
<br />
4<br />
<br />
=<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
2 4.3 2.5 2 (5 2.3 2 1) 225 1<br />
= 4<br />
2 .3<br />
2 8.33.5 2<br />
<br />
2 5.7 14<br />
224<br />
= 4 = 4 =<br />
2 .3<br />
2 .3 3<br />
<br />
2<br />
<br />
x 2 y 2 z 2 2 x 2 2 y 2 3z 2 2 x 2 2 y 2 3z 2 100<br />
x y z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
Từ<br />
ta suy ra:<br />
9 16 25 18<br />
32<br />
75<br />
25<br />
25<br />
3 4 5<br />
x 6<br />
<br />
2<br />
y 8<br />
x 36<br />
x 10<br />
2<br />
Suy ra: y 64 <br />
( Vì x, y, z cùng dấu)<br />
x 6<br />
z 2 100<br />
y 8<br />
<br />
<br />
z 10<br />
<br />
KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10)<br />
4<br />
<br />
3<br />
<br />
2018<br />
<br />
0 với mọi x, y nên<br />
Vì (x - 2) 0; (2y – 1)<br />
4<br />
2014<br />
0 với mọi x, y.<br />
(x - 2) + (2y – 1)<br />
4<br />
Mà theo đề bài : (x - 2) + (2y – 1) 2014 0<br />
Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0<br />
Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0<br />
<br />
suy ra x = 2, y =<br />
<br />
1<br />
2<br />
<br />
Khi đó tính được: M = 24.<br />
<br />
Điểm<br />
<br />
4<br />
<br />
2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
2a b c d<br />
a 2b c d<br />
a b 2c d<br />
a b c 2d<br />
1 <br />
1 <br />
1 <br />
1<br />
Suy ra :<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
a bc d a bc d a b c d a b c d<br />
<br />
<br />
<br />
(*)<br />
<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d)<br />
ab bc cd d a<br />
<br />
<br />
<br />
= -4<br />
M <br />
cd d a ab bc<br />
Nếu a + b + c + d 0 thì từ (*) a = b = c = d<br />
ab bc cd d a<br />
<br />
<br />
<br />
= 4<br />
M <br />
cd d a ab bc<br />
<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,5<br />
<br />
Từ:<br />
<br />
4<br />
<br />
0,25<br />
0,5<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
KL: ......<br />
<br />
5<br />
<br />
Xét x =0: f (0) 2018 c 2018<br />
Xét x =1: f (1) 2019 a b c 2018 a b 1 (1)<br />
Xét x =-1: f (1) 2017 a b c 2017 a b 1 (2)<br />
Cộng vế (1) và (2) suy ra a=0<br />
Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1<br />
Từ đó tìm được f x x 2018<br />
Suy ra: f 2019 1<br />
27 2 x<br />
3<br />
= 2+<br />
.<br />
12 x<br />
12 x<br />
3<br />
Suy ra Q lớn nhất khi<br />
lớn nhất<br />
12 x<br />
3<br />
* Nếu x > 12 thì 12 x 0 <br />
0.<br />
12 x<br />
3<br />
* Nếu x < 12 thì 12 x 0 <br />
0.<br />
12 x<br />
3<br />
Từ 2 trường hợp trên suy ra<br />
lớn nhất khi 12-x>0<br />
12 x<br />
3<br />
Vì phân số<br />
có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có<br />
12 x<br />
<br />
Ta có:<br />
<br />
6<br />
<br />
Q=<br />
<br />
giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất.<br />
Hay 12 x 1 x 11<br />
Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11<br />
<br />
7<br />
<br />
Do a Z+ 5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c<br />
Vậy 5b > 5c b>c 5b 5c<br />
Hay (a3 + 3a2 + 5) (a+3)<br />
2<br />
a (a+3) + 5 a + 3<br />
Mà a2 (a+3) a + 3 5 a + 3<br />
a + 3 Ư (5)<br />
Hay: a+ 3 { 1 ; 5 } (1)<br />
Do a Z+ a + 3 4<br />
(2)<br />
Từ (1) và (2) suy ra a + 3 = 5 a =2<br />
Từ đó tính được: 5b =23 + 3.22 + 5 = 25 = 52 b = 2<br />
Và 5c =a + 3 = 2+3= 5 c = 1<br />
Vậy: a = 2; b = 2; c = 1<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,5<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
- Chứng minh tam giác BOM cân tại B vì<br />
<br />
x<br />
<br />
BOM BMO 30<br />
<br />
0<br />
<br />
0,5<br />
<br />
- BK là đường cao của tam giác cân BMO<br />
nên K là trung điểm của OM =>KM=KO (1)<br />
<br />
0,5<br />
B<br />
<br />
8<br />
<br />
z<br />
<br />
- Chứng minh BKO OHB (c.h g.n)<br />
M<br />
<br />
- Suy ra BH=OK (2)<br />
<br />
K<br />
<br />
0,5<br />
0,25<br />
<br />
O<br />
<br />
- Từ (1) và (2) suy ra BH=MK. đpcm<br />
<br />
0,25<br />
<br />
H<br />
y<br />
<br />
9<br />
<br />
- Dựng tam giác ADM vuông cân tại A<br />
D<br />
(D, B khác phía đối với AM)<br />
- Chứng minh ABM ACD (c.g.c) vì:<br />
A<br />
AD=AM ( AMD vuông cân tại A)<br />
BAM CAD (cùng phụ với CAM<br />
AB=AC (giả thiết)<br />
- Suy ra: CD=BM=3cm<br />
- Tính được MD2=AD2+AM2 = 8<br />
- Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M<br />
M<br />
- Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1<br />
B<br />
C<br />
=>CD=1cm<br />
- Xét 100 số 101; 102; 103; ....; 200. Trong 100 số này rõ ràng không có số nào là bội<br />
của số kia (vì 101.2>200).<br />
Do đó k 101 (1)<br />
- Xét 101 số bất kì lấy ra từ 200 số đã cho: 1 a1 a2 a3 ... a101 200 .<br />
Ta viết 101 số vừa lấy ra dưới dạng:<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,5<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
a1 2n1.b1<br />
a2 2n2 .b2<br />
a3 2n3 .b3<br />
...........<br />
<br />
10<br />
<br />
a101 2n101.b101<br />
<br />
Với ni là số tự nhiên, còn bi là các các số lẻ. ( i 1;101 )<br />
Suy ra các bi là các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ...;199}.<br />
Vì có 101 các số bi mà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số bi và bj nào đó bằng<br />
nhau.<br />
n<br />
Suy ra trong hai số ai 2n .bi và a j 2 .b j sẽ có một số là bội của số còn lại.<br />
Như vậy nếu lấy ra 101 số trong 200 số đã cho thì luôn có 2 số mà số này là bội của số<br />
kia (2)<br />
Từ (1) và (2) suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 101.<br />
i<br />
<br />
j<br />
<br />
----------Hết---------<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />