Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 10 năm 2017-2018 có đáp án - Trường THPT Con Cuông

Chia sẻ: Lotte Xylitol Cool | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

70
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh 10 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 10 năm 2017-2018 có đáp án - Trường THPT Con Cuông, giúp các bạn ôn tập dễ dàng hơn và nắm các phương pháp giải bài tập, củng cố kiến thức cơ bản. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 10 năm 2017-2018 có đáp án - Trường THPT Con Cuông

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1.(5,0 điểm) Cho phương trình bậc hai x 2  5 x  m  0 (1) với x là ẩn số. a) Giải phương trình (1) khi m = 6. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x 1 x 2  x 2 x 1  6 . Câu 2. (3,0 điểm)  x 2  x3 y  xy 2  xy  y  1 Giải hệ phương trình:  4 2  x  y  xy (2 x  1)  1 Câu 3.(5,0 điểm) 4sin   cos  sin 3   2 cos3   2   1  b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các BD  BC; AE  AC . Điểm K trên đoạn 3 4 a) Cho góc  thỏa mãn tan   2 . Tính giá trị biểu thức P  thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số AD . AK Câu 4. ( 5,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm 16 AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD : x  3y 1  0 , E  ;1 . 3  a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD và BE. b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm. Câu 5. (2,0 điểm) Cho a , b, c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1 1  . 2 2 a b c abc 2 ---- Hết ---Họ tên thí sinh :........................................................................... Số báo danh :..................................... HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu 1. Nội dung Điểm Phương trình x 2  5 x  m  0 5,0 a) Giải phương trình (1) khi m  6 1,5 Khi m  6 PT (1) có dạng: x 2  5 x  6  0 0,5 Ta có:  '  4  1  5  0 0,5 PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1  2 và x2  3 0,5 b) Tìm giá trị m thỏa mãn 3,5 Lập ∆ = 25 - 4m Phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 khi ∆ ≥ 0 hay m  0,5 25 4 Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1  x2  5; x1 x2  m 0,5 ìïx + x > 0 hay m > 0. Hai nghiệm x1 , x2 dương khi ïí 1 2 ïïîx1x 2 > 0 Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là 0 < m  Ta có: Suy ra ( x1 + x 2 ) 2 0,5 = x1 + x 2 + 2 x1 .x 2 = 5 + 2 m x1 + x 2 = 5 + 2 m Ta có x1 x 2  x 2 x1  6  x1.x 2 Hay 25 (*) 4   0,5 x1  x 2  6 m 5  2 m  6  2m m  5m  36  0 (1) Đặt t  m  0 , khi đó (1) thành:  2t3 + 5t2 - 36 = 0 0,5  (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0  t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0 Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)). 0,5 Với 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm. Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 0,5 x1 x 2  x 2 x1  6 . 2.  x 2  x3 y  xy 2  xy  y  1 Giải hệ phương trình:  4 2  x  y  xy (2 x  1)  1 3,0 ( x 2  y )  xy ( x 2  y )  xy  1 Hệ   2 2  x  y   xy  1 1,0 a  x 2  y Đặt  . Hệ trở thành: b  xy a  ab  b  1 (*)  2 a  b  1 0,5 a 3  a 2  2a  0 a (a 2  a  2)  0 Hệ (*)    2 2 b  1  a b  1  a 0,5 Từ đó tìm ra (a; b)  (0; 1); (1; 0); (2;  3)  x2  y  0 Với (a; b)  (0; 1) ta có hệ   x  y  1.  xy  1  x2  y  1  ( x; y )  (0; 1);(1;0);(1;0) . Với (a; b)  (1; 0) ta có hệ   xy  0 0,5 Với (a; b)  (2; 3) ta có hệ 3 3    x 2  y  2 y   y      x  1; y  3 . x x  xy 3   3 2  x  2x  3  0 ( x  1)( x  x  3)  0   0,5 Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( x; y )  (1; 1);(0;  1);(1; 0);(1; 0);(1; 3) . 3. 5,0 a) Cho góc  thỏa mãn tan   2 . Tính giá trị biểu thức P   4sin   cos    sin 2   cos 2   4sin   cos  P  sin 3   2 cos3  sin 3   2 cos3  4 sin   co s  sin 3   2 co s 3  2,5 1.0  4sin 3   sin 2  cos   4sin  cos 2   cos3  sin 3   2 cos3  0,5  4 tan 3   tan 2   4 tan   1 tan 3   2 0,5  4.8  4  4.2  1 7  8 2 2 0,5  2   3 1  4 b) AD trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số . AK b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các BD  BC; AE  AC . Điểm K  Vì AE  2,5 A 1   1  3  AC  BE  BC  BA (1) 4 4 4 E K 0,5 B D C      Giả sử AK  x AD  BK  xBD  1  x  BA (1)  2  3    Mà BD  BC nên AK  x.AD  BK    Do BC; BA không cùng phương nên 1 3 8 9   2x  BD  (1  x)BA 3 0,5 m 2x 3m   0 &1  x  0 4 3 4 0.5 1  3 0,5 Từ đó suy ra x  ; m  . Vậy AK  AD  4. 0,5 AD 3 AK Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình  16  CD : x  3y 1  0 , E  ;1  .  3  5,0 Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao 2,5 a) của CD và BE. Ta có BA EA   2  E là chân đường phân giác trong BC EC A 0,5 D I B E C Do BD = BC  BE  CD  BE : 3 x  y  17  0 0,5 x  3y 1  0 I  BE  CD  tọa độ điiểm I là nghiệm của hệ  3x  y  17  0 0,5 Giải hệ phương trình  I  5; 2  1,0 b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm. Đặt BC  a  0  AB  2a, AC  a 5, CE  2,5 a 5 3 0,5   450  IB  IC  BC  a Do CBE 2 (1) 2 Tam giác EIC vuông tại I  IE  EC  IC  IE  2  2 0,5 a 2 (2) 3 2  Từ (1) và (2)  IB  3IE  B (4;5) Gọi C (3c  1; c) từ 0,5 c  1 BC  2 5  c 2  4c  3  0   c  3 0,5 Với c  1  C (2;1), A(12;1) (KTM) Với c  3  C (8;3), A(0; 3) (TM) 0,5 Vậy A(0; 3), B (4;5), C (8;3) Cho a , b, c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  1 . 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1 1  . 2 2 2 a b c abc 2,0 Áp dụng BĐT AM- GM ta có ab  bc  ca  33 a 2 b 2 c 2 1= a + b + c  3 3 abc  3 abc  P P 0,5 1  ab  bc  ca  33 abc 3 3 abc  9abc 1 9  2 2 a b c ab  bc  ca 2 1 1 7 1    2 2 a b c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca 2 0,5 0,5