Đề thi chọn HSG trường THCS Nguyễn Bá Loan năm học 2013-2014
GV ra đề: Trần Ngọc Duy – ĐT: 0974267203- Email: tranngocduy1979nbl@gmail.com 1
PHÒNG GD&ĐT MỘ ĐỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS NGUYỄN BÁ LOAN NĂM HỌC 2013-2014
MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (4đ)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) A = x2 +7x + 12 b) B = x4 + 64
c) C = x3 - 6x2 – x + 30 d) D = x(x+4)(x+6)(x+10) + 128
Bài 2: (3đ)
a) Cho E = x1931 – 1931x1930 +1931x1929 – 1931x1928 + …- 1931x2 + 1931x + 83.
Tính giá trị của biểu thức A tại x = 1930
b) Cho hai đa thức f(x) = 2x3 + x2 + 7x + 1 và g(x) = 2x – 1
Tìm x
Z để M =
()
()
fx
gx
nhận giá trị nguyên.
Bài 3: (2đ)
a) Tìm ƯCLN(n3 + 2n, n4 + 3n2 +1)
b) CMR: Tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9
Bài 4: (2đ)
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H =
2
1930
3
42
xx
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x2 + 2xy +2y2 – 4y +
1
42013
Bài 5: (2đ)
a) Tìm a, b để P(x) = ax2013 + bx2014 + 3x + b chia hết cho đa thức x2 -1
b) Tìm đa thức h(x) sao cho h(x) chia cho x – 2 dư 10, chia cho x - 7 dư 5 và chia cho
x2 - 9x + 14 được thương là x3 + 2 và còn dư.
Bài 6: (3,5đ)
a) Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao
AA'
,
', 'BB CC
cắt nhau tại H.
Tính
' ' '
' ' '
HA HB HC
AA BB CC

.
b) Cho G = a3 + b3 + c3 – 3abc , với a, b, c là độ dài ba cạnh của
ABC. Nếu G = 0 thì
ABC là tam giác gì?
Bài 7: (3,5đ)
Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc của hình bình hành cắt nhau
tạo thành tứ giác EFGH.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
b) Cho AB = a, BC = b (a < b). Tính HF theo a và b.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi chọn HSG trường THCS Nguyễn Bá Loan năm học 2013-2014
GV ra đề: Trần Ngọc Duy – ĐT: 0974267203- Email: tranngocduy1979nbl@gmail.com 2
c) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì để diện tích EFGH bằng
2
()
2
ba
.
------------- HẾT------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
PHÒNG GD&ĐT MỘ ĐỨC KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG
TRƯỜNG THCS NGUYỄN BÁ LOAN CẤP TRƯỜNG VÒNG 2
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2đ) Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = 20142 + 20122 + 20102 +…+ 42 + 22 – (20132 +20112 + 20092 + …+ 32 + 1)
b) B =
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 1 3 1 4 1 5 1 2014 1
. . . ....
2 3 4 5 2014
Bài 2: (4đ) Với n
,1Nn
. Chứng minh rằng:
a) C =
4 3 2
n +6n +11n +6n 24
b) D =
2 2 1
5 26.5 8 59
n n n

c) E =
2
2
2 5 7
n
d) F =
n
16 - 15n - 1 225
Bài 3: (4đ)
a) Giải phương trình:
2005 2003 2001 1999 13 11 9 7
7 9 11 13 1999 2001 2003 2005
x x x x x x x x
b) Xác định m để phương trình
22
1
x m x
xx


vô nghiệm.
c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
2
83
41
x
x
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) + 2014
Bài 4: (2đ)
Cho biểu thức M =
5 4 3 2
75
120 12 24 12 5
x x x x x
. CMR: M nhận giá trị nguyên
xZ
Bài 5: (3,5đ)
a) Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AN, BM, CP cắt nhau tại O.
Chứng minh rằng:
..
AP BN CM ON OM OP
PB NC MA AN BM CP
b) Cho tam giác ABC vuông tại A., đường phân giác BD. Qua D kẻ đường thẳng song song với
AB cắt BC tại E. Tính độ dài AB, BC, DE và diện tích tam giác BDE. Biết AD = 3 cm,
DC = 5 cm.
Bài 6: (4,5đ)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi chọn HSG trường THCS Nguyễn Bá Loan năm học 2013-2014
GV ra đề: Trần Ngọc Duy – ĐT: 0974267203- Email: tranngocduy1979nbl@gmail.com 3
Cho hình bình hành ABCD. Một điểm M tùy ý trên đường chéo AC, đường thẳng BM cắt DC
tại E và cắt đường thẳng AD tại F. CMR:
a) MB2 = ME.MF
b)
1 1 1
BF BE BM

.
c) Tích CE.AF không đổi khi M di chuyển trên đường chéo AC.
------------- HẾT------------
PHÒNG GD&ĐT MỘ ĐỨC KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG
TRƯỜNG THCS NGUYỄN BÁ LOAN CẤP TRƯỜNG VÒNG 3
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (2đ) Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A =
1 1 1 1
...
2 3 4 2014
2013 2012 2011 1
...
1 2 3 2013
b) B =
25
33
x y x y
x y x y


với
3yx
và
22
6 15 5 0x xy y
Bài 2: (3đ) Với n
,1Nn
. Chứng minh rằng:
a) C =
2
( 2)(25 1) 24n n n
b) D =
4
n +4
là hợp số
c) E =
21
n
không chia hết cho 7
d) F =
2
2
15 8 6
30 21 13
nn
nn


là phân số tối giản
Bài 3: (4đ)
a) Giải phương trình:
1954 2014 60xx
b) Xác định m để phương trình
22
1
x m x
xx


có nghiệm duy nhất.
c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
2
2
1
1
xx
xx


d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
8 3 26 3 1931xx
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi chọn HSG trường THCS Nguyễn Bá Loan năm học 2013-2014
GV ra đề: Trần Ngọc Duy – ĐT: 0974267203- Email: tranngocduy1979nbl@gmail.com 4
Bài 4: (3đ)
a) Tìm số tự nhiên n để
3 1 8
n
b) Tìm số nguyên dương n để phân số
13
2
n
n
là phân số tối giản.
c) Cho a, b, n
*
N
CMR: Nếu
1
a
b
thì
a a n
b b n
.
d) So sánh hai số hữu tỉ
2014
2015
2014 2013
2014 2013
K
và
2015
2016
2014 2013
2014 2013
L
Bài 5: (2,0đ)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC . Chứng minh rằng:
a)
12
a b c
b c c a a b
b) Nếu
1 1 1
( ) 9abcabc



thì
ABC là tam giác đều.
Bài 6: (4,0đ)
Cho hình thang ABCD có AB vuông góc với CD tại S và AB + CD = 16 cm. Gọi
E, F, G, H lần lượt là trung điểm của BC, BD, DA, AC.
a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b) CMR: AD – BC = 2GE.
c) Xác định độ dài cạnh AB và CD để tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất.
d) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: OB.OH = OC.OF
Bài 7: (2,0đ)
Tỉ số diện tích giới hạn bởi đường trung tuyến, đường phân giác của góc A và
cạnh BC đối với diện tích tam giác ABC. Kí hiệu là
A
ABC
TS
.
a) CMR:
1
2
A
ABC
AB AC
TS AB AC
b) Áp dụng: Với AB = 10 cm. Xác định độ dài cạnh AC của
ABC
để SADM = 25% SABC.
------------- HẾT------------