PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ
THANH HÓA
Đ THI H C SINH GI I NĂM H C 2015 - 2016Ề Ọ Ỏ Ọ
MÔN: TOÁN L P 9Ớ
Th i gian làm bài: 150 phútờ
Bài 1: (4,0 đi m) ể
Cho P =
23
22
xxx
xxxx
+
23
22
xxx
xxxx
1. Rút g n P. V i giá tr nào c a x thì P > 1ọ ớ ị ủ
2. Tìm x nguyên bi t P đt giá tr nguyên l n nh tế ạ ị ớ ấ
Bài 2: (4,0 đi m)ể
1. Gi i ph ng trìnhả ươ
xx
xx
233
135
= 4
2. Tìm s nguyên x, y th a mãnố ỏ x2 + xy + y2 = x2y2
Bài 3: (4,0 đi m)ể
1. Cho a = x +
x
1
b = y +
y
1
c = xy +
xy
1
Tính giá tr bi u th c: A = aị ể ứ 2 + b2 + c2 – abc
2. Ch ng minh r ng v i m i x > 1 ta luôn có.ứ ằ ớ ọ 3(x2 -
2
1
x
) < 2(x3 -
3
1
x
)
Bài 4: (4,0 đi m)ể Cho t giác ABCD có AD = BC; AB < CD. G i I, Q, H, P l n l t làứ ọ ầ ượ
trung đi m c a AB, AC, CD, BDể ủ
1. Ch ng minh IPHQ là hình thoi và PQ t o v i AD, BC hai góc b ng nhau.ứ ạ ớ ằ
2. V phía ngoài t giác ABCD, d ng hai tam giác b ng nhau ADE và BCF. Ch ngề ứ ự ằ ứ
minh r ng trung đi m các đo n th ng AB, CD, EF cùng thu c m t đng th ng.ằ ể ạ ẳ ộ ộ ườ ẳ
Bài 5: (2,0 đi m)ể Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đng cao AHườ
dài 36cm. Tính đ dài BD, DC.ộ
Bài 6: (2,0 đi m) ểV i a, b là các s th c th a mãn đng th c (1 + a)(1 + b) = ớ ố ự ỏ ẳ ứ
4
9
.
Hãy tìm GTNN c a P =ủ
4
1a
+
4
1b
ĐÁP ÁN Đ THI H C SINH GI I MÔN TOÁN L P 9Ề Ọ Ỏ Ớ
Bài Câu Tóm t t cách gi iắ ả Đi mể
1
1
Đi u ki n x > 0; xề ệ
1; 4
P =
+
= +
=
P > 1
> 1
- 1 > 0
> 0
> 0 Theo đ/k x > 0 x + 3 > 0
x – 1 > 0 x > 1
K t h p đi u ki n x > 0; xế ợ ề ệ 1; 4
Suy ra x > 1; x 4 thì P > 1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2 P =
= 2 +
V i x > 0; xớ 1; 4
P nguyên x – 1 là c c a 4ướ ủ
P đt giá tr nguyên l n nh t ạ ị ớ ấ x – 1 = 1 x = 2
V y P đt giá tr l n nh t b ng 6 khi x =ậ ạ ị ớ ấ ằ 2
0,5
0,5
0,5
2
1
Đi u ki n x – 3 + ề ệ 0
Ph ng trình t ng đngươ ươ ươ
- - 4 - 4x + 12 = 0 (*)
Xét x < -
Thì (*) - 3x + 5 + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
2x = -28
x = - 14 (Th a mãn đk)ỏ
Xét -
≤ x < 1 Thì (*)
- 3x + 5 + x – 1 – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
0,25
0,5
0,25
0,25
x =
(Th a mãn đk)ỏ
Xét 1 ≤ x <
Thì (*)
- 3x + 5 – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
x =
(lo i)ạ
Xét x ≥
Thì (*) 3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
x = -
(Lo i)ạ
V y ph ng trình có nghi m xậ ươ ệ
0,25
0,25
0,25
2
Ta có x2 + xy + y2 = x2y2
(x + y)2 = xy(xy + 1)
+ N u x + y = 0 ế xy(xy + 1) = 0
V i xy = 0. K t h p v i x + y = 0 ớ ế ợ ớ x = y = 0
V i xy = -1. K t h p v i x + y = 0 ớ ế ợ ớ
ho c ặ
+ N u x + yế 0 (x + y)2 là s chính ph ngố ươ
xy(xy + 1) là hai s nguyên liên ti p khác 0 nên chúng nguyênố ế
t cùng nhau. Do đó không th cùng là s chính ph ngố ể ố ươ
V y nghi m nguyên c a ph ng trình là (x; y) = (0; 0); (1; -1);ậ ệ ủ ươ
(-1; 1)
0,5
0,5
0,5
0,5
3
1
a2 = x2 +
+ 2
b2 = y2 +
+ 2
c2 = x2y2 +
+ 2
ab = (x +
)(y +
) = xy +
+
+
= c +
+
abc = (c +
+
).c
= c2 + c(
+
)
= c2 + (xy +
)(
+
)
= c2 + x2 + y2 +
+
= a2 – 2 + b2 – 2 + c2
0,5
0,5
0,5
0,5
A = a2 + b2 + c2 – abc = 4
2
3(x2 -
) < 2(x3 -
)
3(x -
)(x +
) < 2(x -
)(x2 +
+ 1)
3(x +
) < 2(x2 +
+ 1) (1)
( Vì x > 1 nên x -
> 0)
Đt x + ặ
= t thì x2 +
= t2 – 2
Ta có (1) 2t2 – 3t – 2 > 0
(t – 2)(2t + 1) > 0 (2)
Vì x > 1 nên (x – 1)2 > 0 x2 + 1 > 2x x +
> 2 hay t > 2
(2) đúng. Suy ra đi u ph i ch ng minh ề ả ứ
0,5
1,0
0,5
4
1
IP = HQ; IP//HQ (Tính ch t đng trung bình) và AD = BCấ ườ
(GT)
IPHQ là h.b.h
Có IP = IQ =
AD =
BC nên IPHQ là hình thoi
G i Pọ ; Q là giao đi m c a PQ v i AD và BCể ủ ớ
Nh n th y ∆ HPQ cân đnh H ậ ấ ỉ
HPQ = HQP (Góc đáy tam giác cân) (1)ở
Mà PH // BC BQ P = HPQ (So le trong) (2)
QH // AD AP P = HQP (So le trong) (3)
T (1); (2); (3) Suy ra APừ P = BQ P ( đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
2
G i K, M, N l n l t là trung đi m c a EF, DF, CE ọ ầ ượ ể ủ
T gi thi t ∆ ADE = ∆ BCF và d a vào tính ch t c a đngừ ả ế ự ấ ủ ườ
trung bình trong tam giác ta có ∆ HMP = ∆ HNQ (c.c.c)
Suy ra MHP = NHQ MHQ = NHP MHN và PHQ có cùng tia
phân giác
M t khác d có IPHQ và KMHN là các hình thoi.ặ ễ
Suy ra HK và HI l n l t là phân giác c a MHN và PHQ. Suyầ ượ ủ
ra H, I, K th ng hàngẳ
0,5
0,5
0,5
0,5
5
Đt BD = x, DC = y. Gi s x < y. Pitago trong tam giác vuôngặ ả ử
AHD ta tính đc HD = 27cm. V tia phân giác c a góc ngoàiượ ẽ ủ
t iạ A, c t BC E. Ta có AE ắ ở AD nên AD2 = DE.DH. Suy ra
DE =
=
= 75cm
Theo tính ch t đng phân giác trong và ngoài c a tam giácấ ườ ủ
=
=
(1)
M t khác x + y = 40 (2)ặ
Thay y = 40 – x vào (1) và rút g n đcọ ượ
x2 – 115x + 1500 = 0 (x – 15)(x – 100) = 0
Do x < 40 nên x = 15, t đó y = 25. ừ
V y DB = 15cm, DC = 25cmậ
0,5
0,5